En matemáticas , se dice que un grupo , G , está completo si cada automorfismo de G es interno y no tiene centros; es decir, tiene un grupo de automorfismo externo trivial y un centro trivial .
De manera equivalente, un grupo está completo si el mapa de conjugación, G → Aut ( G ) (enviando un elemento g a la conjugación por g ), es un isomorfismo: la inyectividad implica que solo la conjugación por el elemento de identidad es el automorfismo de identidad, lo que significa que el grupo es sin centro, mientras que la sobrejetividad implica que no tiene automorfismos externos.
Ejemplos de
Como ejemplo, todos los grupos simétricos , S n , están completos excepto cuando n ∈ {2, 6} . Para el caso n = 2 , el grupo tiene un centro no trivial, mientras que para el caso n = 6 , hay un automorfismo externo .
El grupo de automorfismo de un grupo simple, G , es un grupo casi simple ; para un grupo simple no abeliano , G , el grupo de automorfismo de G está completo.
Propiedades
Un grupo completo es siempre isomorfo a su grupo de automorfismo (mediante el envío de un elemento a la conjugación por ese elemento), aunque no es necesario que se cumpla lo contrario: por ejemplo, el grupo diedro de 8 elementos es isomorfo a su grupo de automorfismo, pero no es completo. . Para una discusión, vea ( Robinson 1996 , sección 13.5).
Extensiones de grupos completos
Suponga que un grupo, G , es una extensión de grupo dada como una breve secuencia exacta de grupos
- 1 ⟶ N ⟶ G ⟶ G ′ ⟶ 1
con kernel , N y cociente, G ′ . Si el núcleo, N , es un grupo completo, entonces la extensión se divide: G es isomorfo al producto directo , N × G ′ . Una prueba utilizando homomorfismos y secuencias exactas se puede dar de manera natural: La acción de G (por conjugación ) en el subgrupo normal, N da lugar a un homomorfismo de grupos , φ: G → Aut ( N ) ≅ N . Desde Out ( N ) = 1 y N tiene un centro trivial el homomorfismo φ es sobreyectiva y tiene una sección obvia dado por la inclusión de N en G . El núcleo de φ es el centralizador C G ( N ) de N en G , por lo que G es al menos un producto semidirecto , C G ( N ) ⋊ N , pero la acción de N sobre C G ( N ) es trivial, y por lo que el producto es directo. Esta prueba es algo interesante ya que la secuencia exacta original se invierte durante la prueba.
Esto puede reformularse en términos de elementos y condiciones internas: si N es un subgrupo normal y completo de un grupo, G , entonces G = C G ( N ) × N es un producto directo. La prueba se deriva directamente de la definición: N no tiene centros, lo que da C G ( N ) ∩ N es trivial. Si g es un elemento de G entonces se induce un automorfismo de N por conjugación, pero N = Aut ( N ) y esta conjugación debe ser igual a la conjugación por un elemento n de N . Entonces conjugación por gn -1 es la identidad en N y así gn -1 está en C G ( N ) y cada elemento, g , de G es un producto ( GN -1 ) n en C G ( N ) N .
Referencias
- Robinson, Derek John Scott (1996), Un curso de teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
- Rotman, Joseph J. (1994), Introducción a la teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8 (capítulo 7, en particular los teoremas 7.15 y 7.17).