En el área matemática de la teoría del orden , un retículo completamente distributivo es un retículo completo en el que las uniones arbitrarias se distribuyen sobre encuentros arbitrarios .
Formalmente, se dice que una red completa L es completamente distributiva si, para cualquier familia doblemente indexada { x j , k | j en J , k en K j } de L , tenemos
donde F es el conjunto de funciones de elección f eligiendo para cada índice j de J algún índice f ( j ) en K j . [1]
La distributividad completa es una propiedad auto-dual, es decir, la dualización del enunciado anterior produce la misma clase de retículas completas. [1]
Sin el axioma de elección, ninguna red completa con más de un elemento puede satisfacer la propiedad anterior, ya que uno puede simplemente dejar que x j , k sea igual al elemento superior de L para todos los índices j y k con todos los conjuntos K j siendo no vacío pero sin función de elección. [ cita requerida ]
Caracterizaciones alternativas
Existen varias caracterizaciones diferentes. Por ejemplo, la siguiente es una ley equivalente que evita el uso de funciones de elección [ cita requerida ] . Para cualquier conjunto S de conjuntos, se define el conjunto S # como el conjunto de todos los subconjuntos X de la red completa que tiene intersección no vacía con todos los miembros de S . Entonces podemos definir la distributividad completa a través del enunciado
El operador () # podría llamarse operador de corte transversal . Esta versión de distributividad completa solo implica la noción original al admitir el axioma de elección .
Propiedades
Además, se sabe que las siguientes afirmaciones son equivalentes para cualquier retícula completa L : [2]
- L es completamente distributivo.
- L se puede incrustar en un producto directo de cadenas [0,1] mediante una incrustación de orden que conserva los encuentros y uniones arbitrarios.
- Tanto L y su doble fin L op son Posets continuas . [ cita requerida ]
Los productos directos de [0,1], es decir, conjuntos de todas las funciones de algún conjunto X a [0,1] ordenados puntualmente , también se denominan cubos .
Celosías completamente distributivas gratuitas
Cada poset C se puede completar en una celosía completamente distributiva.
Un retículo completamente distributivo L se llama el retículo completamente distributivo libre sobre un poset C si y solo si hay un orden incrustado tal que para cada retícula completamente distributiva M y función monótona , hay un homomorfismo completo único satisfactorio . Para cada poset C , existe la red completamente distributiva libre sobre un poset C y es única hasta el isomorfismo. [3]
Este es un ejemplo del concepto de objeto libre . Desde un conjunto X se puede considerar como un conjunto parcialmente ordenado con el orden discreta, el resultado anterior garantiza la existencia de la red completamente distributiva libre sobre el conjunto X .
Ejemplos de
- El intervalo unitario [0,1], ordenado de forma natural, es una red completamente distributiva. [4]
- De manera más general, cualquier cadena completa es una red completamente distributiva. [5]
- La celosía del conjunto de poderpara cualquier conjunto X es una red completamente distributiva. [1]
- Por cada poset C , hay un enrejado completamente distributiva libre sobre C . [3] Consulte la sección sobre celosías completamente distributivas gratuitas más arriba.
Ver también
Referencias
- ^ a b c B. A. Davey y HA Priestley, Introducción a celosías y orden 2da edición, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-78451-4 , 10.23 Leyes distributivas infinitas, págs. 239-240
- ^ GN Raney, Una representación de unión subdirecta para celosías completas completamente distributivas , Proceedings of the American Mathematical Society, 4: 518 - 522, 1953.
- ^ a b Joseph M. Morris, Aumento de tipos con indeterminación angelical y demoníaca ilimitada , Matemáticas de la construcción de programas, LNCS 3125, 274-288, 2004
- ^ GN Raney, Enrejados completos completamente distributivos , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 3: 677 - 680, 1952.
- ^ Alan Hopenwasser, Distributividad completa , Actas de simposios en matemáticas puras, 51 (1), 285-305, 1990.