En teoría de números , las funciones de números enteros positivos que respetan productos son importantes y se denominan funciones completamente multiplicativas o funciones totalmente multiplicativas . Una condición más débil también es importante, respetando solo productos de números coprimos , y tales funciones se denominan funciones multiplicativas . Fuera de la teoría de números, el término "función multiplicativa" a menudo se considera sinónimo de "función completamente multiplicativa" como se define en este artículo.
Definición
Una función completamente multiplicativa (o función totalmente multiplicativa ) es una función aritmética (es decir, una función cuyo dominio son los números naturales ), tal que f (1) = 1 y f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) mantiene para todos los números enteros positivos a y b . [1]
Sin el requisito de que f (1) = 1, todavía se podría tener f (1) = 0, pero entonces f ( a ) = 0 para todos los enteros positivos a , por lo que esta no es una restricción muy fuerte.
La definición anterior se puede reformular usando el lenguaje del álgebra: una función completamente multiplicativa es un homomorfismo del monoide (es decir, los enteros positivos bajo multiplicación) a algún otro monoide.
Ejemplos de
El ejemplo más sencillo de una función completamente multiplicativa es un monomio con coeficiente principal 1: Para cualquier entero positivo particular n , defina f ( a ) = a n . Entonces f ( bc ) = ( bc ) n = b n c n = f ( b ) f ( c ), y f (1) = 1 n = 1.
La función de Liouville es un ejemplo no trivial de una función completamente multiplicativa como lo son los caracteres de Dirichlet , el símbolo de Jacobi y el símbolo de Legendre .
Propiedades
Una función completamente multiplicativa está completamente determinada por sus valores en los números primos, una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . Por lo tanto, si n es un producto de potencias de primos distintos, digamos n = p a q b ..., entonces f ( n ) = f ( p ) a f ( q ) b ...
Mientras que la convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es multiplicativa, la convolución de Dirichlet de dos funciones completamente multiplicativas no necesita ser completamente multiplicativa.
Hay una variedad de afirmaciones sobre una función que son equivalentes a que sea completamente multiplicativa. Por ejemplo, si una función f es multiplicativa, entonces es completamente multiplicativa si y solo si su inverso de Dirichlet es dónde es la función de Möbius . [2]
Las funciones completamente multiplicativas también satisfacen una ley distributiva. Si f es completamente multiplicativo, entonces
donde * representa el producto de Dirichlet yrepresenta la multiplicación puntual . [3] Una consecuencia de esto es que para cualquier función completamente multiplicativa f uno tiene
que se puede deducir de lo anterior poniendo tanto , dónde es la función constante . Aquíes la función del divisor .
Prueba de propiedad distributiva
Serie Dirichlet
La función L de una serie de Dirichlet completamente (o totalmente) multiplicativa satisface
lo que significa que la suma de todos los números naturales es igual al producto de todos los números primos.