En geometría , una hipersuperficie es una generalización de los conceptos de hiperplano , curva plana y superficie . Una hipersuperficie es una variedad o variedad algebraica de dimensión n − 1 , que está incrustada en un espacio ambiental de dimensión n , generalmente un espacio euclidiano , un espacio afín o un espacio proyectivo . [1] Las hipersuperficies comparten, con las superficies en un espacio tridimensional , la propiedad de estar definidas por una sola ecuación implícita, al menos localmente (cerca de cada punto) y, a veces, globalmente.
Una hipersuperficie en un espacio (euclidiano, afín o proyectivo) de dimensión dos es una curva plana. En un espacio de dimensión tres, es una superficie.
define una hipersuperficie algebraica de dimensión n − 1 en el espacio euclidiano de dimensión n . Esta hipersuperficie también es una variedad suave , y se llama hiperesfera o ( n – 1) -esfera .
En Rn , una hipersuperficie lisa es orientable . [2] Cada hipersuperficie lisa compacta conectada es un conjunto de niveles y separa R n en dos componentes conectados; esto está relacionado con el teorema de separación de Jordan-Brouwer . [3]
Una hipersuperficie algebraica es una variedad algebraica que puede definirse mediante una única ecuación implícita de la forma
donde p es un polinomio multivariado . Generalmente se supone que el polinomio es irreducible . Cuando este no es el caso, la hipersuperficie no es una variedad algebraica, sino solo un conjunto algebraico . Puede depender de los autores o del contexto si un polinomio reducible define una hipersuperficie. Para evitar la ambigüedad, a menudo se utiliza el término hipersuperficie irreducible .