En matemáticas , el espacio de Thom, el complejo de Thom o la construcción de Pontryagin-Thom (llamado así por René Thom y Lev Pontryagin ) de topología algebraica y topología diferencial es un espacio topológico asociado a un paquete de vectores , sobre cualquier espacio paracompacto .
Construcción del espacio Thom
Una forma de construir este espacio es la siguiente. Dejar
ser un rango n verdadero paquete del vector sobre el espacio paracompacto B . Luego, para cada punto b en B , la fibra es un -espacio vectorial real dimensional . Elija una estructura ortogonal en E, un producto interior que varíe suavemente sobre las fibras; podemos hacer esto usando particiones de unidad. Dejar ser el paquete de discos unitarios con respecto a nuestra estructura ortogonal, y sea sea el paquete de esferas unitarias, luego el espacio de Thom es el cociente de espacios topológicos. es un espacio puntiagudo con la imagen deen el cociente como punto base. Si B es compacto, entonceses la compactación de un punto de E .
Por ejemplo, si E es el paquete trivial, luego y . Escriturapara B con un punto de base disjunto,es el gran producto de y ; es decir, la n -ésima suspensión reducida de.
El isomorfismo de Thom
El significado de esta construcción comienza con el siguiente resultado, que pertenece al tema de la cohomología de haces de fibras . (Hemos expresado el resultado en términos de coeficientes para evitar complicaciones derivadas de la orientabilidad ; ver también Orientación de un paquete de vectores # espacio Thom .)
Dejar ser un paquete de vectores real de rango n . Luego hay un isomorfismo, ahora llamado isomorfismo de Thom
para todo k mayor o igual a 0, donde el lado derecho es cohomología reducida .
Este teorema fue formulado y probado por René Thom en su famosa tesis de 1952.
Podemos interpretar el teorema como una generalización global del isomorfismo de suspensión en trivializaciones locales, porque el espacio de Thom de un paquete trivial en B de rango k es isomorfo a la k- ésima suspensión de, B con un punto disjunto agregado (cf. # Construcción del espacio de Thom .) Esto se puede ver más fácilmente en la formulación del teorema que no hace referencia al espacio de Thom:
Isomorfismo de Thom - Sea ser un anillo y ser un conjunto de vectores reales orientados de rango n . Entonces existe una clase
donde B está incrustado en E como una sección cero, de modo que para cualquier fibra F la restricción de u
es la clase inducida por la orientación de F . Es más,
es un isomorfismo.
En términos concisos, la última parte del teorema dice que u genera libremente como un derecho -módulo. La clase u generalmente se llama la clase Thom de E . Desde el retrocesoes un isomorfismo de anillo , viene dada por la ecuación:
En particular, el isomorfismo de Thom envía el elemento de identidad depara ti . Nota: para que esta fórmula tenga sentido, u se trata como un elemento de (dejamos caer el anillo)
Importancia del trabajo de Thom
En su artículo de 1952, Thom mostró que la clase Thom, las clases Stiefel-Whitney y las operaciones Steenrod estaban todas relacionadas. Utilizó estas ideas para demostrar en el artículo de 1954 Quelques propriétés globales des variétés differentiables que los grupos de cobordismo podrían computarse como los grupos de homotopía de ciertos espacios de Thom MG ( n ). La demostración depende y está íntimamente relacionada con las propiedades de transversalidad de las variedades suaves —véase el teorema de transversalidad de Thom . Al invertir esta construcción, John Milnor y Sergei Novikov (entre muchos otros) pudieron responder preguntas sobre la existencia y singularidad de las variedades de alta dimensión: esto ahora se conoce como teoría de la cirugía . Además, los espacios MG (n) encajan para formar espectros MG ahora conocidos como espectros de Thom , y los grupos de cobordismo son de hecho estables . Por tanto, la construcción de Thom también unifica la topología diferencial y la teoría de la homotopía estable y, en particular, es parte integral de nuestro conocimiento de los grupos de esferas de homotopía estable .
Si las operaciones de Steenrod están disponibles, podemos usarlas y el isomorfismo del teorema para construir las clases de Stiefel-Whitney. Recuerde que las operaciones de Steenrod (mod 2) son transformaciones naturales
definido para todos los enteros no negativos m . Si, luego coincide con el cuadrado de la taza. Podemos definir la i th clase Stiefel-Whitney del paquete de vectores por:
Consecuencias para variedades diferenciables
Si tomamos el paquete de arriba como el paquete tangente de una variedad suave, la conclusión de lo anterior se llama fórmula de Wu , y tiene la siguiente fuerte consecuencia: dado que las operaciones de Steenrod son invariantes bajo equivalencia de homotopía, concluimos que el Las clases Stiefel-Whitney de una variedad también lo son. Este es un resultado extraordinario que no se generaliza a otras clases de características. Existe un resultado similar, famoso y difícil, que establece la invariancia topológica para las clases racionales de Pontryagin , debido a Sergei Novikov .
Espectro de Thom
Cobordismo real
Hay dos formas de pensar sobre el bordismo: una considerando dos -colectores son cobordantes si hay un -manifold con límite tal que
Otra técnica para codificar este tipo de información es incorporar una y considerando el paquete normal
La variedad incrustada junto con la clase de isomorfismo del paquete normal en realidad codifica la misma información que la clase de cobordismo. . Esto se puede demostrar [2] usando un cobordismo y encontrar una incrustación en algunos que da una clase de homotopía de mapas al espacio de Thom definido a continuación. Mostrando el isomorfismo de
requiere un poco más de trabajo. [3]
Definición del espectro de Thom
Por definición, el espectro de Thom [4] es una secuencia de espacios de Thom
donde escribimos para el paquete vectorial universal de rango n . La secuencia forma un espectro . [5] Un teorema de Thom dice quees el anillo de cobordismo desorientado ; [6] la demostración de este teorema se basa fundamentalmente en el teorema de transversalidad de Thom . [7] La falta de transversalidad impide calcular anillos de cobordismo de, digamos, variedades topológicas de los espectros de Thom.
Ver también
- Cobordismo
- Operación de cohomología
- Problema de la varilla de acero
- Teorema de Hattori-Stong
Notas
- ^ Prueba del isomorfismo. Podemos incrustar B enya sea como la sección cero; es decir, una sección en el vector cero o como la sección infinita; es decir, una sección en el vector infinito (topológicamente la diferencia es inmaterial). Usando dos formas de incrustación tenemos el triple:
- .
- ^ "Teorema de Thom" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 17 de enero de 2021.
- ^ "Transversalidad" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 17 de enero de 2021.
- ^ Ver págs. 8-9 en Greenlees, JPC (15 de septiembre de 2006). "Espectros para algebristas conmutativos". arXiv : matemáticas / 0609452 .
- ^ http://math.northwestern.edu/~jnkf/classes/mflds/2cobordism.pdf
- ^ Stong , pág. 18
- ^ http://math.northwestern.edu/~jnkf/classes/mflds/4transversality.pdf
Referencias
- Sullivan, Dennis (2004). "El trabajo de René Thom sobre homología geométrica y bordismo" . Boletín de la American Mathematical Society . 41 (3): 341–350. doi : 10.1090 / S0273-0979-04-01026-2 .
- Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90613-4.Una referencia clásica para la topología diferencial , que trata el vínculo con la dualidad de Poincaré y la clase Euler de paquetes de esferas.
- Mayo, J. Peter (1999). Un curso conciso en topología algebraica . Prensa de la Universidad de Chicago . págs. 183–198. ISBN 0-226-51182-0.
- "Explicación de la construcción Pontryagin-Thom" . MathOverflow .
- Stong, Robert E. (1968). Notas sobre la teoría del cobordismo . Prensa de la Universidad de Princeton .
- Thom, René (1954). " Quelques propriétés globales des variétés différentiables ". Commentarii Mathematici Helvetici . 28 : 17–86. doi : 10.1007 / BF02566923 . S2CID 120243638 .
- Ando, Matthew; Blumberg, Andrew J .; Gepner, David J .; Hopkins, Michael J .; Rezk, Charles (2014). "Unidades de espectros de anillo y espectros de Thom". Revista de topología . 7 (4): 1077–1117. arXiv : 0810.4535 . doi : 10.1112 / jtopol / jtu009 . Señor 0286898 . S2CID 119613530 .
enlaces externos
- http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
- "Thom space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Publicaciones del blog de Akhil Mathew: https://amathew.wordpress.com/tag/thom-space/