En matemáticas , especialmente en topología algebraica , el límite de homotopía y colimit [1] pg 52 son variantes de las nociones de límite y colimit extendidas a la categoría de homotopía. La idea principal es esta: si tenemos un diagrama
considerado como un objeto en la categoría de homotopía de diagramas , (donde la equivalencia de homotopía de los diagramas se considera puntual), entonces el límite de homotopía y los colimits corresponden al cono y al cocone
que son objetos en la categoría de homotopía , dónde es la categoría con un objeto y un morfismo. Tenga en cuenta que esta categoría es equivalente a la categoría de homotopía estándar ya que la última categoría de functores de homotopía tiene functores que seleccionan un objeto en y una transformación natural corresponde a una función continua de los espacios topológicos. Tenga en cuenta que esta construcción se puede generalizar a categorías de modelo , que proporcionan técnicas para construir límites de homotopía y colimits en términos de otras categorías de homotopía, como categorías derivadas . Otra perspectiva que formaliza este tipo de construcciones son los derivados [2] pg 193 que son un nuevo marco para el álgebra homotópica .
Ejemplos introductorios
Expulsión de homotopía
El concepto de homotopía colimit [1] pg 4-8 es una generalización de los empujes de homotopía , como el cilindro de mapeo utilizado para definir una cofibración . Esta noción está motivada por la siguiente observación: la expulsión (ordinaria)
es el espacio obtenido al contraer la esfera n -1 (que es el límite del disco n- dimensional) en un solo punto. Este espacio es homeomorfo a la n -esfera S n . Por otro lado, la expulsión
es un punto. Por lo tanto, aunque el disco ( contráctil ) D n fue reemplazado por un punto (que es homotopía equivalente al disco), los dos empujes no son homotopía (o débilmente ) equivalentes.
Por lo tanto, la expulsión no está bien alineada con un principio de la teoría de la homotopía, que considera que los espacios débilmente equivalentes llevan la misma información: si uno (o más) de los espacios utilizados para formar la expulsión es reemplazado por un espacio débilmente equivalente, el no se garantiza que el pushout permanezca débilmente equivalente. La expulsión de homotopía rectifica este defecto.
La expulsión de homotopía de dos mapas de espacios topológicos se define como
- ,
es decir, en lugar de encolado B tanto en A y C , dos copias de un cilindro en B están pegados y sus extremos se encolan a A y C . Por ejemplo, la homotopía colimita del diagrama (cuyos mapas son proyecciones)
es la unión .
Se puede demostrar que el pushout homotopy no comparte el defecto de la pushout ordinaria: la sustitución de A , B y / o C por un espacio homotopic, la pushout homotopy será también ser homotopic. En este sentido, la expulsión de homotopía trata los espacios homotópicos tan bien como la expulsión (ordinaria) lo hace con los espacios homeomórficos.
Composición de mapas
Otro ejemplo útil y motivador de un colimit de homotopía es la construcción de modelos para el colimit de homotopía del diagrama.
de espacios topológicos. Hay varias formas de modelar este colimit: la primera es considerar el espacio
dónde es la relación de equivalencia que identifica
que se puede describir pictóricamente como la imagen
Debido a que podemos interpretar de manera similar el diagrama anterior como el diagrama conmutativo, a partir de las propiedades de las categorías, obtenemos un diagrama conmutativo
dando un colimit homotopia. Podríamos adivinar que esto parece
pero observe que hemos introducido un nuevo ciclo para completar los nuevos datos de la composición. Esto crea un problema técnico que puede resolverse utilizando técnicas simples: dar un método para construir un modelo para colimits homotópicos. El nuevo diagrama, que forma el colimit de homotopía del diagrama de composición pictóricamente, se representa como
dando otro modelo de la homotopía colimit que es homotopía equivalente al diagrama original (sin la composición de ) dado anteriormente.
Telescopio cartográfico
La homotopía colimita de una secuencia de espacios
es el telescopio cartográfico . [3] Un ejemplo de cálculo es tomar el colimit de homotopía de una secuencia de cofibraciones . El colimit de [1] pág. 62 de este diagrama da un colimit de homotopía. Esto implica que podríamos calcular el colimit de homotopía de cualquier telescopio cartográfico reemplazando los mapas con cofibraciones.
Definición general
Límite de homotopía
Se puede tratar ejemplos como el telescopio cartográfico y el empuje de homotopía en pie de igualdad si se considera un diagrama I de espacios, donde I es una categoría de "indexación" . Este es un functor
es decir, a cada objeto i en I , uno asigna un espacio de X i y mapas entre ellos, de acuerdo con los mapas en I . La categoría de estos diagramas se denota Espacios I .
Hay un funtor natural llamado diagonal,
que envía cualquier espacio X al diagrama que consta de X en todas partes (y la identidad de X como mapas entre ellos). En la teoría de categorías (ordinaria), el derecho adjunto a este funtor es el límite . El límite de homotopía se define alterando esta situación: es el derecho adjunto a
el cual envía un espacio X a la I -diagram que en algún objeto i da
Aquí I / i es la categoría de corte (sus objetos son flechas j → i , donde j es cualquier objeto de I ), N es el nervio de esta categoría y | - | es la realización topológica de este conjunto simplicial . [4]
Colimit de homotopía
De manera similar, se puede definir un colimit como el adjunto izquierdo al functor diagonal Δ 0 dado anteriormente. Para definir un colimit de homotopía, debemos modificar Δ 0 de una manera diferente. Un colimit de homotopía se puede definir como el adjunto izquierdo a un funtor Δ: Espacios → Espacios I donde
- Δ ( X ) ( i ) = Hom Spaces (| N ( I op / i ) |, X ) ,
donde I op es la categoría opuesta de I . Aunque este no es el mismo que el functor Δ anterior, comparte la propiedad de que si la realización geométrica de la categoría nerviosa ( | N (-) | ) se reemplaza con un espacio de puntos, recuperamos el functor original Δ 0 .
Construcción de colimits con reemplazos simpliciales
Dada una pequeña categoría y un diagrama , podemos construir el colimit de homotopía usando un reemplazo simple del diagrama. Este es un espacio simple,dado por el diagrama [1] pág. 16-17
dónde
dado por cadenas de mapas componibles en la categoría de indexación . Entonces, la homotopia colimita de puede construirse como la realización geométrica de este espacio simple, por lo que
Tenga en cuenta que esto concuerda con la imagen dada arriba para el diagrama de composición de .
Relación con el colimit y el límite (ordinario)
Siempre hay un mapa
Normalmente, este mapa no es una equivalencia débil. Por ejemplo, la expulsión de homotopía encontrada arriba siempre se corresponde con la expulsión ordinaria. Este mapa no es típicamente una equivalencia débil, por ejemplo, la unión no es débilmente equivalente a la expulsión de, que es un punto.
Más ejemplos y aplicaciones
Así como se usa el límite para completar un anillo, holim se usa para completar un espectro .
Ver también
- Derivador
- Fibra de homotopía
- Cofre de homotopia
- Cohomología de categorías
- Secuencia espectral de colimits de homotopía
Referencias
- ^ a b c d Dugger, Daniel. "Una introducción a los colímites de homotopía" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 3 de diciembre de 2020.
- ^ Grothendieck. "Perseguir pilas" . thescrivener.github.io . Archivado (PDF) desde el original el 30 de julio de 2020 . Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
- ^ Topología algebraica de Hatcher, 4.G.
- ^ Bousfield y Kan: límites de homotopía, terminaciones y localizaciones , Springer, LNM 304. Sección XI.3.3
- Introducción a los colímites de homotopía
- Colimitos de homotopía en la categoría de categorías pequeñas
- Categorías y Orbispaces
- Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.
Otras lecturas
- Diagramas límite-colimit de homotopía en categorías de modelos estables
- pág.80 Colímites y límites de homotopía