En topología , una rama de las matemáticas , la suspensión de un espacio topológico X se obtiene intuitivamente estirando X en un cilindro y luego colapsando ambas caras de los extremos en puntos. Uno ve a X como "suspendido" entre estos puntos finales.
El espacio SX a veces se denomina suspensión no reducida , sin base o libre de X , para distinguirlo de la suspensión reducida Σ X de un espacio puntiagudo que se describe a continuación.
La suspensión reducida se puede utilizar para construir un homomorfismo de grupos de homotopía , al que se aplica el teorema de suspensión de Freudenthal . En la teoría de la homotopía , los fenómenos que se conservan en suspensión, en un sentido adecuado, conforman la teoría de la homotopía estable .
Definición y propiedades de la suspensión.
Dado un espacio topológico X , la suspensión de X se define como
el espacio del cociente del producto de X con el intervalo unitario I = [0, 1] módulo la relación de equivalencia generado por
Se puede ver la suspensión como dos conos en X pegados en su base; también es homeomorfo a la unión dónde es un espacio discreto con dos puntos.
En términos generales, S aumenta la dimensión de un espacio en uno: lleva una n - esfera a una ( n + 1) -esfera para n ≥ 0.
Dado un mapa continuo hay un mapa continuo definido por donde los corchetes denotan clases de equivalencia . Esto haceen un funtor de la categoría de espacios topológicos a sí mismo.
Suspensión reducida
Si X es un espacio puntiagudo con punto de base x 0 , hay una variación de la suspensión que a veces es más útil. La suspensión reducida o suspensión basada Σ X de X es el espacio del cociente:
- .
Esto es equivalente a tomar SX y colapsar la línea ( x 0 × I ) que une los dos extremos en un solo punto. El punto base del espacio puntiagudo Σ X se toma como la clase de equivalencia de ( x 0 , 0).
Se puede demostrar que la suspensión reducida de X es homeomórfica al producto de rotura de X con el círculo unitario S 1 .
Para espacios de buen comportamiento , como los complejos CW , la suspensión reducida de X es homotopía equivalente a la suspensión sin base.
Adjunción de funciones reducidas de suspensión y espacio de bucle
Σ da lugar a un funtor de la categoría de espacios apuntados a sí mismo. Una propiedad importante de este funtor es que se deja adjunto al funtor tomando un espacio puntiagudo a su espacio de bucle . En otras palabras, tenemos un isomorfismo natural.
dónde y son espacios puntiagudos y significa mapas continuos que preservan los puntos base. Este adjunto puede entenderse geométricamente, de la siguiente manera: surge de si un círculo puntiagudo se adjunta a cada punto no base de , y los puntos base de todos estos círculos están identificados y pegados al punto base de . Ahora, para especificar un mapa puntiagudo de a , necesitamos dar mapas puntiagudos de cada uno de estos círculos puntiagudos a . Es decir, necesitamos asociarnos a cada elemento deun bucle en (un elemento del espacio de bucle ), y el bucle trivial debe asociarse al punto base de : este es un mapa puntiagudo de a . (Se debe verificar la continuidad de todos los mapas involucrados).
Por lo tanto, el complemento es similar al curry , que lleva mapas de productos cartesianos a su forma al curry, y es un ejemplo de la dualidad Eckmann-Hilton .
Este adjunto es un caso especial del adjunto explicado en el artículo sobre productos aplastantes .
Desuspension
La desuspensión es una operación parcialmente inversa a la suspensión. [1]
Ver también
Referencias
- ^ Wolcott, Luke. "Imaginando el espacio negativo-dimensional" (PDF) . forthelukeofmath.com . Consultado el 23 de junio de 2015 .
- Allen Hatcher , topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 págs. ISBN 0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0
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