Función convexa
En matemáticas , una función de valor real se llama convexa si el segmento de línea entre dos puntos cualesquiera en la gráfica de la función no se encuentra debajo de la gráfica entre los dos puntos. De manera equivalente, una función es convexa si su epígrafe (el conjunto de puntos en o encima de la gráfica de la función) es un conjunto convexo . Una función dos veces diferenciable de una sola variable es convexa si y solo si su segunda derivada no es negativa en todo su dominio. [1] Ejemplos bien conocidos de funciones convexas de una sola variable incluyen la función cuadrática y la función exponencial. . En términos simples, una función convexa se refiere a una función cuyo gráfico tiene forma de taza , mientras que el gráfico de una función cóncava tiene forma de tapa .
Las funciones convexas juegan un papel importante en muchas áreas de las matemáticas. Son especialmente importantes en el estudio de problemas de optimización en los que se distinguen por una serie de propiedades convenientes. Por ejemplo, una función estrictamente convexa en un conjunto abierto no tiene más de un mínimo. Incluso en espacios de dimensión infinita, bajo hipótesis adicionales adecuadas, las funciones convexas continúan satisfaciendo tales propiedades y, como resultado, son las funcionales mejor entendidas en el cálculo de variaciones . En la teoría de la probabilidad , una función convexa aplicada al valor esperado de una variable aleatoriasiempre está delimitado por encima del valor esperado de la función convexa de la variable aleatoria. Este resultado, conocido como desigualdad de Jensen , se puede utilizar para deducir desigualdades como la desigualdad media aritmética-geométrica y la desigualdad de Hölder .
Sea un subconjunto convexo de un espacio vectorial real y sea una función.
Entonces se llama convexo si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
