En matemáticas , la fórmula conductor-discriminante o Führerdiskriminantenproduktformel , introducida por Hasse ( 1926 , 1930 ) para las extensiones abelianas y por Artin ( 1931 ) para las extensiones de Galois, es una fórmula que calcula el discriminante relativo de una extensión finita de Galois.de campos locales o globales de los conductores Artin de los caracteres irreductibles del grupo Galois .
Declaración
Dejar Ser una extensión finita de Galois de campos globales con el grupo Galois. . Entonces el discriminante es igual a
Ejemplo
Dejar ser una extensión ciclotómica de los racionales. El grupo Galois es igual a . Porque es el único primo finito ramificado, el director de Artin global es igual al local . Porque es abeliano, todo carácter irreductible no trivial es de grado . Luego, el director local Artin de es igual al conductor de la - finalización ácida de , es decir , dónde es el número natural más pequeño tal que . Si, el grupo Galois es cíclico de orden , y por la teoría del campo de clase local y usando eso uno ve fácilmente que : el exponente es
Notas
- ↑ Neukirch 1999 , VII.11.9.
Referencias
- Artin, Emil (1931), "Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper". , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 164 : 1–11, doi : 10.1515 / crll.1931.164.1 , ISSN 0075-4102 , Zbl 0001.00801
- Hasse, H. (1926), "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. I: Klassenkörpertheorie". , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 35 : 1-55
- Hasse, H. (1930), "Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper". , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 162 : 169–184, doi : 10.1515 / crll.1930.162.169 , ISSN 0075-4102
- Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .