En matemáticas , la teoría del campo de clase local , introducida por Helmut Hasse , [1] es el estudio de las extensiones abelianas de los campos locales ; aquí, "campo local" significa un campo que está completo con respecto a un valor absoluto o una valoración discreta con un campo de residuo finito: por lo tanto, cada campo local es isomorfo (como un campo topológico) a los números reales R , los números complejos C , una extensión finita de los números p -ádicos Q p (donde p es cualquier número primo), o una extensión finita del campo de la serie formal de Laurent F q (( T )) sobre un campo finito F q .
Aproximaciones a la teoría del campo de clase local
La teoría del campo de clase local da una descripción del grupo G de Galois de la extensión abeliana máxima de un campo local K a través del mapa de reciprocidad que actúa desde el grupo multiplicativo K × = K \ {0}. Para una extensión abeliana finita L de K, el mapa de reciprocidad induce un isomorfismo del grupo cociente K × / N ( L × ) de K × por el grupo normativo N ( L × ) de la extensión L × al grupo de Galois Gal ( L / K ) de la extensión. [2]
El teorema de la existencia en la teoría del campo clase local establece una correspondencia de uno-a-uno entre los subgrupos abiertos de índice finito en el grupo multiplicativo K × y extensiones abelianos finitos del campo K . Para una extensión abeliana finita L de K, el subgrupo abierto correspondiente de índice finito es el grupo normativo N ( L × ). El mapa de reciprocidad envía grupos superiores de unidades a subgrupos de ramificación superiores, véase, por ejemplo, el cap. IV de. [3]
Usando el mapa de reciprocidad local, se define el símbolo de Hilbert y sus generalizaciones. Encontrar fórmulas explícitas para ello es una de las subdirecciones de la teoría de los campos locales, tiene una historia larga y rica, ver, por ejemplo , la revisión de Sergei Vostokov . [4]
Hay enfoques cohomológicos y enfoques no cohomológicos de la teoría del campo de clases local. Los enfoques cohomológicos tienden a ser no explícitos, ya que utilizan el producto de taza de los primeros grupos de cohomología de Galois.
Para varios enfoques de la teoría del campo de clase local, véase el Cap. IV y secc. 7 cap. IV de [5] Incluyen el enfoque de Hasse de utilizar el grupo Brauer, enfoques cohomológicos , los métodos explícitos de Jürgen Neukirch , Michiel Hazewinkel , la teoría de Lubin-Tate y otros.
Generalizaciones de la teoría del campo de clases local
Las generalizaciones de la teoría de campos de clases locales a campos locales con un campo de residuo cuasi-finito fueron extensiones fáciles de la teoría, obtenidas por G. Whaples en la década de 1950, véase el capítulo V de [ aclaración necesaria ] . [6]
La teoría de campos de clase p explícita para campos locales con campos residuales perfectos e imperfectos que no son finitos tiene que abordar el nuevo problema de los grupos normativos de índice infinito. Ivan Fesenko construyó teorías apropiadas . [7] [8] La teoría de campo de clase local no conmutativa de Fesenko para extensiones de Galois aritméticamente profinitas de campos locales estudia el mapa de ciclo de reciprocidad local apropiado y sus propiedades. [9] Esta teoría aritmética puede verse como una alternativa a la representación teórica de la correspondencia local de Langlands.
Teoría de campo de clase local superior
Para un campo local de mayor dimensión hay un mapa de reciprocidad local más alto que describe las extensiones abelianas del campo en términos de subgrupos abiertos de índice finito en el grupo K de Milnor del campo. Es decir, si es un -campo local dimensional entonces uno usa o su cociente separado dotado de una topología adecuada. Cuándola teoría se convierte en la teoría de campo de clase local habitual. A diferencia del caso clásico, los grupos K de Milnor no satisfacen el descenso del módulo de Galois si. K. Kato e I. Fesenko desarrollaron la teoría general de campos de clases locales de dimensiones superiores .
La teoría de campos de clases locales superiores es parte de la teoría de campos de clases superiores que estudia las extensiones abelianas (resp. Cubiertas abelianas) de los campos de funciones racionales de esquemas regulares adecuados planos sobre números enteros.
Ver también
Referencias
- ^ Hasse, H. (1930), "Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen". , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 162 : 145–154, doi : 10.1515 / crll.1930.162.145 , ISSN 0075-4102 , JFM 56.0165.03
- ^ Fesenko, Ivan y Vostokov, Sergei, Campos locales y sus extensiones , 2a ed., American Mathematical Society , 2002, ISBN 0-8218-3259-X
- ^ Fesenko, Ivan y Vostokov, Sergei, Campos locales y sus extensiones , 2a ed., American Mathematical Society , 2002, ISBN 0-8218-3259-X
- ^ "Sergei V Vostokov, fórmulas explícitas para el símbolo de Hilbert, en invitación a campos locales superiores" . Monografías de Geometría y Topología . 3 : 81–90. 2000. doi : 10.2140 / gtm.2000.3 .
- ^ Fesenko, Ivan y Vostokov, Sergei, Campos locales y sus extensiones , 2a ed., American Mathematical Society , 2002, ISBN 0-8218-3259-X
- ^ "Sergei V Vostokov, fórmulas explícitas para el símbolo de Hilbert, en invitación a campos locales superiores" . Monografías de Geometría y Topología . 3 : 81–90. 2000. doi : 10.2140 / gtm.2000.3 .
- ^ I. Fesenko (1994). "Teoría de campo de clase local: caso de campo de residuo perfecto". Matemáticas Izvestiya . Academia de Ciencias de Rusia. 43 (1): 65–81.
- ^ Fesenko, I. (1996). "Sobre mapas de reciprocidad locales generales". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 473 : 207–222.
- ^ Fesenko, I. (2001). "Mapas de reciprocidad locales no belianos". Teoría de campo de clase: su centenario y perspectiva, estudios avanzados en matemáticas puras . págs. 63–78. ISBN 4-931469-11-6.
Otras lecturas
- Fesenko, Ivan; Vostokov, Sergey (2002), Campos locales y sus extensiones (2a ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-19-504030-2
- Fesenko, Ivan B .; Kurihara, Masato, eds. (2000), Invitación a campos locales superiores , monografías de geometría y topología, 3 (primera ed.), University of Warwick: Mathematical Sciences Publishers , doi : 10.2140 / gtm.2000.3 , ISSN 1464-8989 , Zbl 0954.00026
- Iwasawa, Kenkichi (1986), teoría de campo de clase local , publicaciones científicas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, MR 0863740
- Neukirch, Jürgen (1986), Teoría del campo de clase , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 280 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15251-4, MR 0819231
- Serre, Jean-Pierre (1967), "Teoría del campo de clase local", en Cassels, John William Scott; Fröhlich, Albrecht (eds.), Teoría algebraica de números (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, págs. 128-161, ISBN 978-0-9502734-2-6, MR 0220701
- Serre, Jean-Pierre (1979) [1962], Corps Locaux (traducción al inglés: Local Fields) , Textos de posgrado en matemáticas, 67 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0150130