En lógica matemática , una extensión conservadora es una superteoría de una teoría que a menudo es conveniente para probar teoremas , pero no prueba nuevos teoremas sobre el lenguaje de la teoría original. De manera similar, una extensión no conservadora es una superteoría que no es conservadora y puede probar más teoremas que la original.
Enunciado de manera más formal, una teoría es una extensión conservadora ( teórica de la prueba ) de una teoría si cada teorema de es un teorema de , y cualquier teorema de en el idioma de ya es un teorema de .
De manera más general, si es un conjunto de fórmulas en el lenguaje común de y , luego es -conservador sobre si cada fórmula de demostrable en también es demostrable en .
Tenga en cuenta que una extensión conservadora de un consistente teoría es consistente. Si no lo fuera, entonces por el principio de explosión , toda fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , así que cada fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , entonces no sería consistente. Por lo tanto, las extensiones conservadoras no corren el riesgo de introducir nuevas inconsistencias. Esto también puede verse como una metodología para escribir y estructurar grandes teorías: comience con una teoría,, que se sabe (o se supone) que es coherente, y construye sucesivamente extensiones conservadoras , , ... de eso.
Recientemente, se han utilizado extensiones conservadoras para definir una noción de módulo para ontologías : si una ontología se formaliza como una teoría lógica, una subteoría es un módulo si toda la ontología es una extensión conservadora de la subteoría.
Una extensión que no es conservadora puede denominarse extensión adecuada .
Ejemplos de
- ACA 0 (un subsistema de aritmética de segundo orden ) es una extensión conservadora de la aritmética de Peano de primer orden .
- La teoría de conjuntos de Von Neumann – Bernays – Gödel es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo – Fraenkel con el axioma de elección (ZFC).
- La teoría de conjuntos internos es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC).
- Las extensiones por definiciones son conservadoras.
- Las extensiones mediante símbolos de función o predicado no restringidos son conservadoras.
- IΣ 1 (un subsistema de la aritmética de Peano con inducción solo para fórmulas de Σ 0 1 ) es una extensión conservadora de Π 0 2 de la aritmética recursiva primitiva (PRA). [1]
- ZFC es un Σ 1 3 extensión -conservative de ZF por teorema absoluto de Shoenfield .
- ZFC con la hipótesis del continuo es una extensión conservadora Π 2 1 de ZFC. [ cita requerida ]
Extensión conservadora de la teoría de modelos
Con los medios teóricos de modelos se obtiene una noción más fuerte: una extensión de una teoría es teóricamente conservador del modelo si y cada modelo de se puede ampliar a un modelo de . Cada extensión conservadora de la teoría del modelo también es una extensión conservadora (de la teoría de la prueba) en el sentido anterior. [2] La noción de la teoría del modelo tiene la ventaja sobre la teoría de la prueba de que no depende tanto del lenguaje en cuestión; por otro lado, suele ser más difícil establecer la conservadurismo de la teoría del modelo.
Ver también
Referencias
- ^ Fernando Ferreira, Una prueba simple del teorema de Parsons. Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol.46, No.1, 2005.
- ^ Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge: Cambridge University Press . pag. 58 ejercicio 8. ISBN 978-0-521-58713-6.