Converse (lógica)

Inversa de una proposición categórica o hipotética

En lógica y matemáticas , la inversa de un enunciado categórico o implicacional es el resultado de invertir sus dos enunciados constituyentes. Para la implicación P → Q , lo contrario es Q → P . Para la proposición categórica Todo S son P , lo contrario es Todo P son S . De cualquier manera, la verdad de la recíproca es generalmente independiente de la del enunciado original. ^{[1] [2]}

Conversación implícita

Diagrama de Venn de (el área blanca muestra dónde la afirmación es falsa)${\displaystyle A\leftarrow B}$

Sea S un enunciado de la forma P implica Q ( P → Q ). Entonces el recíproco de S es el enunciado Q implica P ( Q → P ). En general, la verdad de S no dice nada acerca de la verdad de su inverso, ^{[1] [3] a} menos que el antecedente P y el consecuente Q sean lógicamente equivalentes.

Por ejemplo, considere la afirmación verdadera "Si soy un humano, entonces soy mortal". La inversa de esa afirmación es "Si soy mortal, entonces soy un humano", lo cual no es necesariamente cierto .

Por otro lado, lo contrario de un enunciado con términos mutuamente inclusivos sigue siendo cierto, dada la verdad de la proposición original. Esto equivale a decir que la inversa de una definición es verdadera. Por lo tanto, el enunciado "Si soy un triángulo, entonces soy un polígono de tres lados" es lógicamente equivalente a "Si soy un polígono de tres lados, entonces soy un triángulo", porque la definición de "triángulo" es " polígono de tres lados ".

Una tabla de verdad deja en claro que S y el recíproco de S no son lógicamente equivalentes, a menos que ambos términos se impliquen entre sí:

Propiedad inversa en una presentación matemática simple

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	${\displaystyle P\leftarrow Q}$ (conversar)
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	T

Pasar de un enunciado a su inverso es la falacia de afirmar el consecuente . Sin embargo, si el enunciado S y su recíproco son equivalentes (es decir, P es verdadero si y solo si Q también lo es), entonces será válido afirmar el consecuente.

La implicación inversa es lógicamente equivalente a la disyunción de y${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg Q}$

${\displaystyle P\leftarrow Q}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle \neg Q}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \lor }$

En lenguaje natural, esto podría traducirse "no Q sin P ".

Inverso de un teorema

En matemáticas, el inverso de un teorema de la forma P → Q será Q → P . Lo contrario puede ser cierto o no, e incluso si es cierto, la prueba puede ser difícil. Por ejemplo, el teorema de los cuatro vértices se demostró en 1912, pero su inverso no se demostró hasta 1997. ^[4]

En la práctica, al determinar el inverso de un teorema matemático, los aspectos del antecedente pueden tomarse como contexto de establecimiento. Es decir, lo contrario de "Dado P, si Q entonces R " será "Dado P, si R entonces Q " . Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se puede establecer como:

Dado un triángulo con lados de longitud , y , si el ángulo opuesto al lado de longitud es un ángulo recto, entonces .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Lo contrario, que también aparece en los Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48), se puede afirmar como:

Dado un triángulo con lados de longitud , y , si , entonces el ángulo opuesto al lado de longitud es un ángulo recto.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle c}$

Inversa de una relación

Si es una relación binaria con, entonces la relación inversa también se llama transpuesta . ^[5]${\displaystyle R}$${\displaystyle R\subseteq A\times B,}$ ${\displaystyle R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R\}}$

Notación

El recíproco de la implicación P → Q puede escribirse Q → P , pero también puede escribirse , o "B pq " (en notación de Bocheński ). ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle P\leftarrow Q}$${\displaystyle P\subset Q}$

Conversión categórica

Ver también: Proposición categórica § Conversión

En la lógica tradicional, el proceso de pasar de "Todos los S son P" a su inverso "Todos los P son S" se llama conversión . En palabras de Asa Mahan :

"La proposición original se llama exposita; cuando se convierte, se denomina inversa. La conversión es válida cuando, y sólo cuando, nada se afirma en la inversa que no esté afirmado o implícito en la exposita". ^[6]

A la "exposita" se le suele llamar "convertend". En su forma simple, la conversión es válida solo para las proposiciones E e I : ^[7]

Escribe	Convertend	Conversar simple	Converse per accidens (válido si existe P)
A	Todos los S son P	no es válido	Alguna P es S
mi	No S es P	No P es S	Alguna P no es S
I	Alguna S es P	Alguna P es S	-
O	Alguna S no es P	no es válido	-

La validez de la conversión simple sólo para las proposiciones E e I puede expresarse mediante la restricción de que "Ningún término debe distribuirse en el inverso que no esté distribuido en el convertend". ^[8] Para las proposiciones E , tanto el sujeto como el predicado están distribuidos , mientras que para las proposiciones I , ninguno lo está.

Para las proposiciones A , el sujeto se distribuye mientras que el predicado no, por lo que la inferencia de un enunciado A a su recíproco no es válida. Como ejemplo, para la proposición A "Todos los gatos son mamíferos", la recíproca "Todos los mamíferos son gatos" es obviamente falsa. Sin embargo, la afirmación más débil "Algunos mamíferos son gatos" es cierta. Los lógicos definen la conversión por accidente como el proceso de producir esta declaración más débil. La inferencia de un enunciado a su recíproco per accidens es generalmente válida. Sin embargo, al igual que con los silogismos , este cambio de lo universal a lo particular causa problemas con las categorías vacías: "Todos los unicornios son mamíferos" a menudo se toma como verdadero,mientras que a la inversaper accidens "Algunos mamíferos son unicornios" es claramente falso.

En el cálculo de predicados de primer orden , Todos los S son P se pueden representar como . ^[9] Es por tanto evidente que el recíproco categórica está estrechamente relacionada con la inversa de presuposición, y que S y P no puede ser intercambiada en todos los S son P .${\displaystyle \forall x.S(x)\to P(x)}$

Ver también

• Aristóteles
• Proposición categórica # Conversión
• Contraposición
• Converse (semántica)
• Inferencia
• Inversa (lógica)
• Conectivo lógico
• Obversión
• Silogismo
• Lógica de término
• Transposición (lógica)

Referencias

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Converse" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 27 de noviembre de 2019 .
2. Robert Audi, ed. (1999), The Cambridge Dictionary of Philosophy , 2ª ed., Cambridge University Press: "converse".
3. Taylor, Courtney. "¿Qué son lo inverso, lo contrapositivo y lo inverso?" . ThoughtCo . Consultado el 27 de noviembre de 2019 .
4. Shonkwiler, Clay (6 de octubre de 2006). "El teorema de los cuatro vértices y su inverso" (PDF) . math.colostate.edu . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
5. Gunther Schmidt y Thomas Ströhlein (1993) Relaciones y gráficos , página 9, libros de Springer
6. Asa Mahan (1857) La ciencia de la lógica: o, Un análisis de las leyes del pensamiento , p. 82 .
7. William Thomas Parry y Edward A. Hacker (1991), Aristotelian Logic , SUNY Press, p. 207 .
8. James H. Hyslop (1892), Los elementos de la lógica , Hijos de C. Scribner, p. 156.
9. Gordon Hunnings (1988), El mundo y el lenguaje en la filosofía de Wittgenstein , SUNY Press, p. 42 .

Otras lecturas

• Aristóteles . Organon .
• Copi, Irving . Introducción a la lógica . MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Lógica simbólica . MacMillan, 1979, quinta edición.
• Stebbing, Susan . Una introducción moderna a la lógica . Compañía Cromwell, 1931.