En matemáticas y física matemática , una base de coordenadas o base holonómica para una variedad diferenciable M es un conjunto de campos vectoriales básicos { e 1 , ..., e n } definidos en cada punto P de una región de la variedad como
donde δ s es el vector de desplazamiento entre el punto P y un punto cercano Q cuya separación de coordenadas de P es δx α a lo largo de la curva de coordenadas x α (es decir, la curva en la variedad a través de P para la cual la coordenada local x α varía y todas las demás las coordenadas son constantes). [1]
Es posible hacer una asociación entre dicha base y los operadores derivados direccionales. Dada una curva C parametrizada en la variedad definida por x α ( λ ) con el vector tangente u = u α e α , donde u α =dx α/dλ, y una función f ( x α ) definida en una vecindad de C , la variación de f a lo largo de C se puede escribir como
Dado que tenemos que u = u α e α , la identificación a menudo se hace entre un vector de base de coordenadas e α y el operador de derivada parcial∂/∂ x α, bajo la interpretación de vectores como operadores que actúan sobre cantidades escalares. [2]
Una condición local para que una base { e 1 , ..., e n } sea holonómica es que todas las derivadas mutuas de Lie se desvanezcan: [3]
Una base que no es holonómica se llama anholonómica, [4] no holonómica o no coordinada.
Dado un tensor métrico g en un colector M , que en general no es posible encontrar una base ortonormal es que en cualquier región abierta de coordenadas U de M . [5] Una excepción obvia es cuando M es el espacio de coordenadas real R n considerado como una variedad, siendo g la métrica euclidiana δ ij e i ⊗ e j en cada punto.
Referencias
- ^ MP Hobson; GP Efstathiou; AN Lasenby (2006), Relatividad general: una introducción para físicos , Cambridge University Press , p. 57
- ^ T. Padmanabhan (2010), Gravitation: Foundations and Frontiers , Cambridge University Press , pág. 25
- ^ Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields , Cambridge University Press , págs. 197-199
- ^ Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970), Gravitación , pág. 210Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Bernard F. Schutz (1980), Métodos geométricos de física matemática , Cambridge University Press , págs. 47–49, ISBN 9780521298872