Desde principios de la década de 1980, los haces de chorros han aparecido como una forma concisa de describir los fenómenos asociados con las derivadas de los mapas, en particular los asociados con el cálculo de variaciones . [1] En consecuencia, el haz de chorros ahora se reconoce como el dominio correcto para una teoría de campos covariantes geométricos y se hace mucho trabajo en formulaciones relativistas generales de campos utilizando este enfoque.
Chorros
Suponga que M es una variedad m- dimensional y que ( E , π, M ) es un haz de fibras . Para p ∈ M , sea Γ (p) el conjunto de todas las secciones locales cuyo dominio contiene p . Dejarser un índice múltiple (una m -tupla de enteros, no necesariamente en orden ascendente), luego defina:
Defina las secciones locales σ, η ∈ Γ (p) para que tengan el mismo r -jet en p si
La relación de que dos mapas tienen el mismo r -jet es una relación de equivalencia . Un r -jet es una clase de equivalencia bajo esta relación, y el r -jet con σ representativo se denota. El número entero r también se llama orden del chorro, p es su fuente y σ ( p ) es su objetivo .
Colectores de chorro
El colector de chorro r -ésimo de π es el conjunto
Podemos definir las proyecciones π r y π r , 0 llamadas proyecciones fuente y objetivo respectivamente, por
Si 1 ≤ k ≤ r , entonces la proyección k -jet es la función π r, k definida por
A partir de esta definición, queda claro que π r = π o π r , 0 y que si 0 ≤ m ≤ k , entonces π r, m = π k, m o π r, k . Es convencional a considerar π r, r como el mapa de identidad en J r ( π ) y para identificar J 0 ( π ) con E .
Un sistema de coordenadas en E generará un sistema de coordenadas en J r ( π ). Sea ( U , u ) un gráfico de coordenadas adaptado en E , donde u = ( x i , u α ). El gráfico de coordenadas inducidas ( U r , u r ) en J r ( π ) está definido por
dónde
y el funciones conocidas como coordenadas derivadas :
Dado un atlas de gráficos adaptados ( U , u ) en E , la colección correspondiente de gráficos ( U r , u r ) es un atlas de C ∞ de dimensión finita en J r ( π ).
Paquetes de jet
Dado que el atlas de cada J r (π) define una variedad, los triples (J r (π), π r, k , J k (π)) , (J r (π), π r, 0 , E) y (J r (π), π r , M) todos definen variedades con fibras. En particular, si (E, π, M) es un haz de fibras, el triple (J r (π), π r , M) define el haz de chorro r -ésimo de π .
Si W ⊂ M es una subvariedad abierta, entonces
Si p ∈ M , entonces la fibra se denota .
Dejar que σ es una sección local de π con el dominio W ⊂ M . La prolongación del chorro r -ésimo de σ es el mapa j r σ : W → J r (π) definido por
Tenga en cuenta que π r o j r σ = id W , por lo que j r σ realmente es una sección. En coordenadas locales, j r σ viene dado por
Identificamos j 0 σ con σ.
Perspectiva algebraico-geométrica
Una construcción motivada independientemente del haz de secciones se da .
Considere un mapa diagonal , donde el colector suave es un espacio anillado localmente por por cada abierto . Dejar ser el haz ideal de , equivale a dejar ser el haz de suaves gérmenes que se desvanecen en para todos . El retroceso de la gavilla del cociente de a por es el haz de k-jets. [2]
El límite directo de la secuencia de inyecciones dada por las inclusiones canónicasde gavillas, da lugar a la gavilla de chorro infinito. Observe que por la construcción de límite directo es un anillo filtrado.
Ejemplo
Si π es el paquete trivial ( M × R , de la banda 1 , M ), entonces hay una canónica difeomorfismo entre el primer chorro de haz J 1 (π) y T * M × R . Para construir este difeomorfismo, para cada σ en Γ M (π) escriba.
Entonces, siempre que p ∈ M
En consecuencia, el mapeo
está bien definido y es claramente inyectivo . Escribirlo en coordenadas muestra que es un difeomorfismo, porque si (x i , u) son coordenadas en M × R , donde u = id R es la coordenada identidad, entonces las coordenadas derivadas u i en J 1 (π) corresponden a las coordenadas ∂ i en T * M .
Asimismo, si π es el paquete trivial ( R × M , pr 1 , R ), entonces existe un difeomorfismo canónico entre J 1 (π) y R × TM .
Estructura de contacto
El espacio J r (π) tiene una distribución natural , es decir, un subconjunto del paquete tangente TJ r (π)), llamado distribución de Cartan . La distribución de Cartan se extiende por todos los planos tangentes a gráficos de secciones holonómicas; es decir, secciones de la forma j r φ para φ una sección de π.
El aniquilador de la distribución de Cartan es un espacio de formas unitarias diferenciales llamadas formas de contacto , en J r (π). El espacio de formas diferenciales uniformes en J r (π) se denota por y el espacio de los formularios de contacto se denota por . Un formulario único es un formulario de contacto siempre que su retroceso a lo largo de cada prolongación sea cero. En otras palabras, es un formulario de contacto si y solo si
para todas las secciones locales de sigma π sobre M .
La distribución de Cartan es la estructura geométrica principal en los espacios de chorro y juega un papel importante en la teoría geométrica de las ecuaciones diferenciales parciales . Las distribuciones de Cartan son completamente no integrables. En particular, no son involutivos . La dimensión de la distribución de Cartan crece con el orden del espacio del jet. Sin embargo, en el espacio de chorros infinitas J ∞ la distribución Cartan convierte involutivas y de dimensión finita: sus coincide dimensión con la dimensión de la base de colector M .
Ejemplo
Considere el caso (E, π, M) , donde E ≃ R 2 y M ≃ R . Entonces, (J 1 (π), π, M) define el primer haz de chorros, y puede ser coordinado por (x, u, u 1 ) , donde
para todo p ∈ M y σ en Γ p (π). Una forma 1 general en J 1 (π) toma la forma
Una sección σ en Γ p (π) tiene la primera prolongación
Por lo tanto, (j 1 σ) * θ se puede calcular como
Esto desaparecerá para todas las secciones σ si y solo si c = 0 y a = - bσ ′ (x) . Por lo tanto, θ = b (x, u, u 1 ) θ 0 debe ser necesariamente un múltiplo de la forma de contacto básica θ 0 = du - u 1 dx . Pasando al segundo espacio de chorro J 2 (π) con coordenada adicional u 2 , tal que
una forma 1 general tiene la construcción
Este es un formulario de contacto si y solo si
lo que implica que e = 0 y a = - bσ ′ (x) - cσ ′ ′ (x) . Por lo tanto, θ es un formulario de contacto si y solo si
donde θ 1 = du 1 - u 2 dx es el siguiente formulario de contacto básico (Tenga en cuenta que aquí estamos identificando el formulario θ 0 con su retrocesoa J 2 (π) ).
En general, siempre que x, u ∈ R , un formulario de contacto en J r + 1 (π) se puede escribir como una combinación lineal de los formularios de contacto básicos
dónde
Argumentos similares conducen a una caracterización completa de todos los formularios de contacto.
En coordenadas locales, cada contacto de una forma en J r + 1 (π) se puede escribir como una combinación lineal
con coeficientes suaves de los formularios de contacto básicos
| Yo | se conoce como el orden del formulario de contacto. Tenga en cuenta que los formularios de contacto en J r + 1 (π) tienen órdenes como máximo r . Las formas de contacto proporcionan una caracterización de aquellas secciones locales de π r + 1 que son prolongaciones de secciones de π.
Sea ψ ∈ Γ W ( π r + 1 ), entonces ψ = j r + 1 σ donde σ ∈ Γ W (π) si y solo si
Campos vectoriales
Un campo vectorial general en el espacio total E , coordinado por, es
Un campo vectorial se llama horizontal , lo que significa que todos los coeficientes verticales desaparecen, si = 0.
Un campo vectorial se llama vertical , lo que significa que todos los coeficientes horizontales desaparecen, si ρ i = 0.
Para fijo (x, u) , identificamos
que tienen coordenadas (x, u, ρ i , varphi alpha ) , con un elemento en la fibra T xu E de TE sobre (x, u) en E , llamado un vector tangente en TE . Una sección
se llama campo vectorial en E con
y ψ en Γ (TE) .
El haz de chorros J r (π) está coordinado por. Para fijo (x, u, w) , identifique
tener coordenadas
con un elemento en la fibra de TJ r (π) sobre (x, u, w) ∈ J r (π) , llamado vector tangente en TJ r (π) . Aquí,
son funciones de valor real en J r (π) . Una sección
es un campo vectorial en J r (π) , y decimos
Ecuaciones diferenciales parciales
Sea (E, π, M) un haz de fibras. Una ecuación diferencial parcial de r -ésimo orden en π es una subvarietal embebida cerrada S del múltiple de chorro J r (π) . Una solución es una sección local σ ∈ Γ W (π) que satisface, Para todos p en M .
Considere un ejemplo de una ecuación diferencial parcial de primer orden.
Ejemplo
Sea π el paquete trivial ( R 2 × R , pr 1 , R 2 ) con coordenadas globales ( x 1 , x 2 , u 1 ). Entonces el mapa F : J 1 (π) → R definido por
da lugar a la ecuación diferencial
que se puede escribir
Lo particular
tiene la primera prolongación dada por
y es una solución de esta ecuación diferencial, porque
y entonces por cada p ∈ R 2 .
Prolongación del jet
Un difeomorfismo local ψ : J r ( π ) → J r ( π ) define una transformación de contacto de orden r si conserva el ideal de contacto, lo que significa que si θ es cualquier forma de contacto en J r ( π ), entonces ψ * θ es también un formulario de contacto.
El flujo generado por un campo vectorial V r en el espacio del chorro J r (π) forma un grupo de transformaciones de contacto de un parámetro si y solo si la derivada de Lie de cualquier formulario de contacto θ conserva el ideal de contacto.
Comencemos con el caso de primer orden. Considere un campo vectorial general V 1 en J 1 ( π ), dado por
Ahora aplicamos a los formularios de contacto básicos y expanda la derivada exterior de las funciones en términos de sus coordenadas para obtener:
Por lo tanto, V 1 determina una transformación de contacto si y solo si los coeficientes de dx i yen la fórmula se desvanecen. Los últimos requisitos implican las condiciones de contacto.
Los primeros requisitos proporcionan fórmulas explícitas para los coeficientes de los términos de la primera derivada en V 1 :
dónde
denota el truncamiento de orden cero de la derivada total D i .
Por tanto, las condiciones de contacto prescriben de forma única la prolongación de cualquier punto o campo de vector de contacto. Es decir, sisatisface estas ecuaciones, V r se llama la r -ésima prolongación de V a un campo vectorial en J r (π) .
Estos resultados se comprenden mejor cuando se aplican a un ejemplo particular. Por lo tanto, examinemos lo siguiente.
Ejemplo
Considere el caso (E, π, M) , donde E ≅ R 2 y M ≃ R . Entonces, (J 1 (π), π, E) define el primer haz de chorros, y puede estar coordinado por (x, u, u 1 ) , donde
para todo p ∈ M y σ en Γ p ( π ). Un formulario de contacto en J 1 (π) tiene el formulario
Considere un vector V sobre E , que tiene la forma
Entonces, la primera prolongación de este campo vectorial a J 1 (π) es
Si ahora tomamos la derivada de Lie de la forma de contacto con respecto a este campo vectorial prolongado, obtenemos
Por lo tanto, para preservar el ideal de contacto, requerimos
Y así, la primera prolongación de V a un campo vectorial en J 1 (π) es
Calculemos también la segunda prolongación de V a un campo vectorial en J 2 (π) . Tenemoscomo coordenadas en J 2 (π) . Por tanto, el vector prolongado tiene la forma
Los formularios de contacto son
Para preservar el ideal de contacto, requerimos
Ahora, θ no tiene dependencia de u 2 . Por lo tanto, de esta ecuación tomaremos la fórmula para ρ , que será necesariamente el mismo resultado que encontramos para V 1 . Por tanto, el problema es análogo a prolongar el campo vectorial V 1 a J 2 (π). Es decir, podemos generar la r -ésima prolongación de un campo vectorial aplicando recursivamente la derivada de Lie de las formas de contacto con respecto a los campos vectoriales prolongados, r veces. Entonces tenemos
y entonces
Por lo tanto, la derivada de Lie de la segunda forma de contacto con respecto a V 2 es
Por lo tanto, para para preservar el ideal de contacto, requerimos
Y entonces la segunda prolongación de V a un campo vectorial en J 2 (π) es
Tenga en cuenta que la primera prolongación de V se puede recuperar omitiendo los términos de la segunda derivada en V 2 , o proyectando de nuevo a J 1 (π) .
Espacios de jet infinitos
El límite inverso de la secuencia de proyecciones.da lugar al espacio de chorro infinito J ∞ (π) . Un puntoes la clase de equivalencia de secciones de π que tienen el mismo k -jet en p que σ para todos los valores de k . Los mapas de proyección natural π ∞en p .
Con solo pensar en términos de coordenadas, J ∞ (π) parece ser un objeto geométrico de dimensión infinita. De hecho, la forma más sencilla de introducir una estructura diferenciable en J ∞ (π) , sin depender de gráficos diferenciables, viene dada por el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas . Dual a la secuencia de proyecciones de colectores es la secuencia de inyecciones de álgebras conmutativas. Vamos a denotar simplemente por . Toma ahora el límite directo de El 's. Será un álgebra conmutativa, que se puede suponer que es el álgebra de funciones suaves sobre el objeto geométrico J ∞ (π) . Observa eso, nacer como un límite directo, conlleva una estructura adicional: es un álgebra conmutativa filtrada.
A grandes rasgos, un elemento concreto siempre pertenecerá a algunos , por lo que es una función suave en la variedad de dimensión finita J k (π) en el sentido habitual.
PDE infinitamente prolongadas
Dado un sistema de k -ésimo orden de PDE E ⊆ J k (π) , la colección I (E) de desaparecer en E funciones suaves en J ∞ (π) es un ideal en el álgebra, y por lo tanto en el límite directo también.
Potenciar I (E) sumando todas las posibles composiciones de derivados totales aplicadas a todos sus elementos. De esta manera obtenemos un nuevo yo ideal deque ahora se cierra bajo la operación de tomar derivada total. El subvariedad E (∞) de J ∞ (π) cortada por lo que se llama la prolongación infinita de E .
Geométricamente, E (∞) es la multiplicidad de soluciones formales de E . Un puntode E (∞) puede verse fácilmente representado por una sección σ cuya gráfica de k -jet es tangente a E en el punto con orden de tangencia arbitrariamente alto.
Analíticamente, si E viene dado por φ = 0, una solución formal puede entenderse como el conjunto de coeficientes de Taylor de una sección σ en un punto p que hacen desaparecer la serie de Taylor deen el punto p .
Más importante aún, las propiedades de cierre de I implican que E (∞) es tangente a la estructura de contacto de orden infinitoen J ∞ (π) , de modo que al restringira E (∞) se obtiene la dificultad , y puede estudiar la secuencia asociada de Vinogradov (C-espectral) .
Observación
Este artículo ha definido chorros de secciones locales de un paquete, pero es posible definir chorros de funciones f: M → N , donde M y N son múltiples; el chorro de f entonces corresponde al chorro de la sección
gr f : M → M × N
gr f (p) = (p, f (p))
( gr f se conoce como la gráfica de la función f ) del paquete trivial ( M × N , π 1 , M ). Sin embargo, esta restricción no simplifica la teoría, ya que la trivialidad global de π no implica la trivialidad global de π 1 .
Ver también
Grupo Jet
Jet (matemáticas)
Sistema lagrangiano
Bicomplejo variacional
Referencias
^ Krupka, Demeter (2015). Introducción a la geometría variacional global . Atlantis Press. ISBN 978-94-6239-073-7.
^Vakil, Ravi (25 de agosto de 1998). "Una guía para principiantes de los haces de chorros desde el punto de vista de la geometría algebraica" (PDF) . Consultado el 25 de junio de 2017 .
Otras lecturas
Ehresmann, C., "Introducción a la teoría de las estructuras infinitésimales y de los pseudogrupos de Lie". Geometrie Differentielle, Coloq. Enterrar. du Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Estrasburgo, 1953, 97-127.
Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag: Berlín Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .
Saunders, DJ, "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], "Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática", Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X .
Olver, PJ , "Equivalencia, invariantes y simetría", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashntly, G. , "Advanced Classical Field Theory", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7
Sardanashntly, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos. Paquetes de fibra, colectores de chorro y teoría lagrangiana ", Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886