En matemáticas , ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales parciales se formulan de manera útil, desde el punto de vista de su estructura geométrica y algebraica subyacente, en términos de un sistema de formas diferenciales . La idea es aprovechar la forma en que una forma diferencial se restringe a una subvariedad y el hecho de que esta restricción es compatible con la derivada exterior . Este es un enfoque posible para ciertos sistemas sobredeterminados , por ejemplo, incluidos los pares Lax de sistemas integrables . Un sistema de Pfaffian se especifica mediante 1 formassolo, pero la teoría incluye otros tipos de ejemplo de sistema diferencial . Para elaborar, un sistema de Pfaffian es un conjunto de formas 1 en una variedad suave (que se establece en 0 para encontrar soluciones al sistema).
Dada una colección de formas 1 diferenciales en una -múltiple dimensional , un colector integral es un sub colector sumergido (no necesariamente incrustado) cuyo espacio tangente en cada punto es aniquilado por (el retroceso de) cada .
Un colector integral máximo es un sub colector sumergido (no necesariamente incrustado)
tal que el núcleo del mapa de restricción en formularios
está atravesado por el en cada punto de . Si además el son linealmente independientes, entonces es ()-dimensional.
Se dice que un sistema de Pfaffian es completamente integrable siadmite una foliación por variedades integrales máximas. (Tenga en cuenta que la foliación no necesita ser regular ; es decir, es posible que las hojas de la foliación no sean subvariedades incrustadas).
Una condición de integrabilidad es una condición en el para garantizar que habrá sub-colectores integrales de dimensión suficientemente alta.
Condiciones necesarias y suficientes
Las condiciones necesarias y suficientes para la completa integrabilidad de un sistema de Pfaff están dadas por el teorema de Frobenius . Una versión afirma que si el idealgenerado algebraicamente por la colección de α i dentro del anillo Ω ( M ) es diferencialmente cerrado, en otras palabras
entonces el sistema admite una foliación por variedades integrales máximas. (Lo contrario es obvio a partir de las definiciones).
Ejemplo de un sistema no integrable
No todos los sistemas de Pfaffian son completamente integrables en el sentido de Frobenius. Por ejemplo, considere la siguiente forma única en R 3 - (0,0,0) :
Si dθ estuviera en el ideal generado por θ tendríamos, por la asimetría del producto de la cuña
Pero un cálculo directo da
que es un múltiplo distinto de cero de la forma de volumen estándar en R 3 . Por lo tanto, no hay hojas bidimensionales y el sistema no es completamente integrable.
Por otro lado, para la curva definida por
entonces θ definido como arriba es 0, y por lo tanto se verifica fácilmente que la curva sea una solución (es decir, una curva integral ) para el sistema Pfaffian anterior para cualquier constante c distinta de cero .
Ejemplos de aplicaciones
En la geometría de Riemann , podemos considerar el problema de encontrar un coframe ortogonal θ i , es decir, una colección de formas 1 que forman una base del espacio cotangente en cada punto conque están cerrados (dθ i = 0, i = 1, 2, ..., n ). Según el lema de Poincaré , θ i tendrá localmente la forma d x i para algunas funciones x i en la variedad y, por lo tanto, proporcionará una isometría de un subconjunto abierto de M con un subconjunto abierto de R n . Tal colector se llama localmente plano.
Este problema se reduce a una pregunta sobre el paquete coframe de M . Supongamos que tuviéramos un coframe tan cerrado
Si tuviéramos otro coframe , entonces los dos coframas estarían relacionados por una transformación ortogonal
Si la forma de conexión 1 es ω , entonces tenemos
Por otro lado,
Pero es la forma de Maurer-Cartan para el grupo ortogonal . Por tanto, obedece a la ecuación estructuraly esta es solo la curvatura de M: Después de una aplicación del teorema de Frobenius, se concluye que una variedad M es localmente plana si y solo si su curvatura desaparece.
Generalizaciones
Existen muchas generalizaciones a las condiciones de integrabilidad en sistemas diferenciales que no son necesariamente generados por formas unitarias. Los más famosos son el teorema de Cartan-Kähler , que solo funciona para sistemas diferenciales analíticos reales , y el teorema de prolongación de Cartan-Kuranishi . Consulte Más información para obtener más detalles. El teorema de Newlander-Nirenberg proporciona condiciones de integrabilidad para una estructura casi compleja.
Otras lecturas
- Bryant, Chern, Gardner, Goldschmidt, Griffiths, Sistemas diferenciales exteriores , Publicaciones del Instituto de investigación de ciencias matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97411-3
- Olver, P., Equivalencia, invariantes y simetría , Cambridge, ISBN 0-521-47811-1
- Ivey, T., Landsberg, JM, Cartan para principiantes: geometría diferencial a través de marcos móviles y sistemas diferenciales exteriores , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3375-8
- Dunajski, M., Solitones, Instantons y Twistors , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-857063-9