Una variedad ( pseudo ) riemanniana es conformemente plana si cada punto tiene una vecindad que se puede mapear en un espacio plano mediante una transformación conforme .
En la práctica, la métrica del colector tiene que ser conforme a la métrica plana , es decir, las geodésicas mantienen en todos los puntos delos ángulos moviéndose de uno a otro, además de mantener las geodésicas nulas sin cambios, [1] eso significa que existe una función tal que , dónde se conoce como el factor de conformidad y es un punto en el colector.
Más formalmente, dejemos ser una variedad pseudo-riemanniana. Luego es conformemente plano si para cada punto en , existe un barrio de y una función suave definido en tal que es plano (es decir, la curvatura de desaparece en ). La función no es necesario definirlo en todos .
Algunos autores utilizan la definición de plano conforme localmente cuando se refieren a un punto en y reservar la definición de conformemente plano para el caso en que la relación sea válida para todos en .
Ejemplos de
- Cada colector con constante curvatura seccional es conformemente plana.
- Cada variedad pseudo-Riemanniana bidimensional es conformemente plana. [1]
- La métrica de las coordenadas esféricas bidimensionales, como la que se usa en el sistema de coordenadas geográficas ,
- , [2] tiene tensor métrico y no es plano pero con la proyección estereográfica se puede mapear a un espacio plano usando el factor de conformidad , dónde es la distancia desde el origen del espacio plano, [3] obteniendo
- .
- Una variedad pseudo-Riemanniana tridimensional es conformemente plana si y solo si el tensor de Cotton desaparece.
- Una variedad pseudo-Riemanniana n- dimensional para n ≥ 4 es conformemente plana si y solo si el tensor de Weyl desaparece.
- Cada variedad compacta , simplemente conectada , conforme a la riemanniana euclidiana es conforme a la esfera redonda . [4]
- La proyección estereográfica proporciona un sistema de coordenadas para la esfera en la que la planitud conforme es explícita, ya que la métrica es proporcional a la plana.
- En la relatividad general, a menudo se pueden usar variedades conformemente planas, por ejemplo, para describir la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker . [5] Sin embargo, también se demostró que no hay cortes planos conforme al espacio-tiempo de Kerr . [6]
- Por ejemplo, la métrica de Kruskal-Szekeres
- tiene tensor métrico y por eso no es plano. Pero con las transformaciones mi
- se convierte en
- con tensor métrico ,
- que es la métrica plana multiplicada por el factor de conformidad . [7]
Ver también
Referencias
- ^ a b Ray D'Inverno. "6.3 El tensor de Weil". Presentación de la relatividad de Einstein . págs. 88–89.
- ^ Sistema de coordenadas esféricas - Integración y diferenciación en coordenadas esféricas
- ^ Proyección estereográfica - Propiedades . La fórmula de Riemann
- ^ Kuiper, NH (1949). "En espacios conformally planos en los grandes". Annals of Mathematics . 50 (4): 916–924. doi : 10.2307 / 1969587 . JSTOR 1969587 .
- ^ Garecki, Janusz (2008). "Sobre la energía de los universos de Friedman en coordenadas planas conforme". Acta Physica Polonica B . 39 (4): 781–797. arXiv : 0708.2783 . Código bibliográfico : 2008AcPPB..39..781G .
- ^ Garat, Alcides; Price, Richard H. (18 de mayo de 2000). "Inexistencia de cortes planos conforme del espacio-tiempo de Kerr". Physical Review D . 61 (12): 124011. arXiv : gr-qc / 0002013 . Código Bibliográfico : 2000PhRvD..61l4011G . doi : 10.1103 / PhysRevD.61.124011 . ISSN 0556-2821 .
- ^ Ray D'Inverno. "17.2 La solución de Kruskal". Presentación de la relatividad de Einstein . págs. 230–231.