Un contraejemplo es cualquier excepción a una generalización . En lógica, un contraejemplo refuta la generalización, y lo hace con rigor en los campos de las matemáticas y la filosofía . [1] Por ejemplo, el hecho de que "John Smith no es un estudiante vago" es un contraejemplo de la generalización "los estudiantes son vagos", y ambos son contraejemplos y refutan la generalización "todos los estudiantes son vagos". [2]
En matemáticas, el término "contraejemplo" también se usa (con un ligero abuso) para referirse a ejemplos que ilustran la necesidad de la hipótesis completa de un teorema. Esto se hace más a menudo considerando un caso en el que una parte de la hipótesis no se satisface y la conclusión del teorema no se cumple. [ cita requerida ]
En matemáticas, los contraejemplos se utilizan a menudo para probar los límites de posibles teoremas. Al usar contraejemplos para demostrar que ciertas conjeturas son falsas, los investigadores matemáticos pueden evitar caer en callejones sin salida y aprender a modificar las conjeturas para producir teoremas demostrables. A veces se dice que el desarrollo matemático consiste principalmente en encontrar (y probar) teoremas y contraejemplos. [3]
Suponga que una matemática está estudiando geometría y formas , y desea demostrar ciertos teoremas sobre ellas. Ella conjetura que "Todos los rectángulos son cuadrados ", y le interesa saber si esta afirmación es verdadera o falsa.
En este caso, puede intentar probar la verdad del enunciado utilizando el razonamiento deductivo , o puede intentar encontrar un contraejemplo del enunciado si sospecha que es falso. En el último caso, un contraejemplo sería un rectángulo que no es un cuadrado, como un rectángulo con dos lados de longitud 5 y dos lados de longitud 7. Sin embargo, a pesar de haber encontrado rectángulos que no eran cuadrados, todos los rectángulos que hizo encontrar tenía cuatro lados. Luego hace la nueva conjetura "Todos los rectángulos tienen cuatro lados". Esto es lógicamente más débil que su conjetura original, ya que cada cuadrado tiene cuatro lados, pero no toda forma de cuatro lados es un cuadrado.
El ejemplo anterior explica, de manera simplificada, cómo un matemático podría debilitar su conjetura frente a contraejemplos, pero los contraejemplos también pueden usarse para demostrar la necesidad de ciertos supuestos e hipótesis . Por ejemplo, suponga que después de un tiempo, el matemático anterior se decidió por la nueva conjetura "Todas las formas que son rectángulos y tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados". Esta conjetura tiene dos partes de la hipótesis: la forma debe ser 'un rectángulo' y debe tener 'cuatro lados de igual longitud'. A la matemática le gustaría saber si puede eliminar cualquiera de las suposiciones y aún así mantener la verdad de su conjetura. Esto significa que debe verificar la veracidad de las siguientes dos afirmaciones: