En los fundamentos de las matemáticas , se utiliza un lema de cobertura para demostrar que la inexistencia de ciertos grandes cardinales conduce a la existencia de un modelo interno canónico , llamado modelo central , que es, en cierto sentido, máximo y se aproxima a la estructura de el universo von Neumann V . Un lema de cobertura afirma que bajo algún supuesto cardinal anti-grande particular, el modelo central existe y es máximo en un sentido que depende del cardinal grande elegido. El primer resultado de este tipo fue probado por Ronald Jensen para el universo construible asumiendo 0 #no existe, lo que ahora se conoce como el teorema de cobertura de Jensen .
Ejemplo
Por ejemplo, si no hay un modelo interno para un cardinal medible , entonces el modelo central de Dodd-Jensen, K DJ es el modelo central y satisface la propiedad de cobertura , es decir, para cada conjunto incontable x de ordinales, hay y tal que y ⊃ x , y tiene la misma cardinalidad que x , y y ∈ K DJ . (Si 0 # no existe, entonces K DJ = L. )
Versiones
Si el modelo central K existe (y no tiene cardenales Woodin), entonces
- Si K no tiene cardinales de ω 1 -Erdős, entonces para una secuencia particular de funciones contables (en K) y definible en K de ordinales a ordinales, cada conjunto de ordinales cerrados bajo estas funciones es una unión de un número contable de conjuntos en K Si L = K, estas son simplemente las funciones recursivas primitivas.
- Si K no tiene cardinales medibles, entonces para cada conjunto incontable x de ordinales, hay y ∈ K tal que x ⊂ y y | x | = | y |.
- Si K tiene sólo un cardinal medible κ, entonces para cada conjunto incontable x de ordinales, hay y ∈ K [C] tal que x ⊂ y y | x | = | y |. Aquí C está vacío o Prikry genérico sobre K (por lo que tiene el tipo de orden ω y es cofinal en κ) y es único excepto hasta un segmento inicial finito.
- Si K no tiene un límite inaccesible de cardinales mensurables ni una clase adecuada de cardinales mensurables, entonces existe un conjunto C máximo y único (excepto por un conjunto finito de ordinales) (llamado sistema de indiscernibles) para K tal que para cada secuencia S en K de medida uno conjuntos que constan de un conjunto para cada cardinal medible, C menos ∪S es finito. Tenga en cuenta que cada κ \ C es finito o Prikry genérico para K en κ, excepto para los miembros de C por debajo de un cardinal medible por debajo de κ. Para cada conjunto incontable x de ordinales, hay y ∈ K [C] tal que x ⊂ y y | x | = | y |.
- Para cada conjunto incontable x de ordinales, hay un conjunto C de indiscernibles para extensores totales en K tal que hay y ∈ K [C] yx ⊂ y y | x | = | y |.
- K calcula correctamente los sucesores de cardenales singulares y débilmente compactos ( Propiedad de cobertura débil ). Además, si | κ | > ω 1 , luego cofinalidad ((κ + ) K ) ≥ | κ |.
Extensores e indiscernibles
Para los modelos centrales sin extensores totales superpuestos, los sistemas de indiscernibles se comprenden bien. Aunque (si K tiene un límite inaccesible de cardinales medibles), el sistema puede depender del conjunto que se cubrirá, está bien determinado y es único en un sentido más débil. Una aplicación de la cobertura es contar el número de (secuencias de) indiscernibles, lo que da límites inferiores óptimos para varias fallas de la hipótesis de los cardinales singulares . Por ejemplo, si K no tiene extensores totales superpuestos, y κ es un límite fuerte singular, y 2 κ = κ ++ , entonces κ tiene un orden de Mitchell al menos κ ++ en K. A la inversa, una falla de la hipótesis cardinal singular puede obtener (en una extensión genérica) de κ con o (κ) = κ ++ .
Para los modelos centrales con extensores totales superpuestos (es decir, con un cardinal fuerte hasta uno medible), los sistemas de indiscernibles se entienden mal y las aplicaciones (como la cobertura débil) tienden a evitar en lugar de analizar los indiscernibles.
Propiedades adicionales
Si K existe, entonces todo cardenal regular de Jónsson es Ramsey en K.Todo cardinal singular que es regular en K se puede medir en K.
Además, si el modelo central K (X) existe por encima de un conjunto X de ordinales, entonces tiene las propiedades de cobertura discutidas anteriormente por encima de X.
Referencias
- Mitchell, William (2010), "El lema de cobertura", Manual de teoría de conjuntos , Springer, págs. 1497-1594, doi : 10.1007 / 978-1-4020-5764-9_19 , ISBN 978-1-4020-4843-2