En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos , 0 # ( cero sostenido , también 0 # ) es el conjunto de fórmulas verdaderas sobre indiscernibles y orden-indiscernibles en el universo construible de Gödel . A menudo se codifica como un subconjunto de los números enteros (usando la numeración de Gödel ), o como un subconjunto de los conjuntos finitos hereditariamente , o como un número real . Su existencia es indemostrable en ZFC , la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos , pero se sigue de un gran cardinal adecuado.axioma. Fue introducido por primera vez como un conjunto de fórmulas en la tesis de Silver de 1966, luego publicado como Silver (1971) , donde fue denotado por Σ, y redescubierto por Solovay (1967 , p.52), quien lo consideró como un subconjunto de lo natural. números e introdujo la notación O # (con una letra mayúscula O; esto luego cambió al numeral '0').
En términos generales, si 0 # existe, entonces el universo V de conjuntos es mucho más grande que el universo L de conjuntos construibles, mientras que si no existe, los conjuntos construibles se aproximan mucho al universo de todos los conjuntos.
Definición
Silver y Solovay definieron cero agudo de la siguiente manera. Considere el lenguaje de la teoría de conjuntos con símbolos constantes adicionales c 1 , c 2 , ... para cada entero positivo. Entonces 0 # se define como el conjunto de números de Gödel de las oraciones verdaderas sobre el universo construible, con c i interpretado como el cardinal incontable ℵ i . (Aquí ℵ i significa ℵ i en el universo completo, no en el universo construible).
Hay una sutileza en esta definición: mediante el teorema de indefinibilidad de Tarski , en general, no es posible definir la verdad de una fórmula de teoría de conjuntos en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Para resolver esto, Silver y Solovay asumieron la existencia de un cardenal grande adecuado, como un cardenal de Ramsey , y demostraron que con esta suposición adicional es posible definir la verdad de los enunciados sobre el universo construible. De manera más general, la definición de 0 # funciona siempre que exista un conjunto incontable de indiscernibles para algún L α , y la frase "0 # existe" se usa como una forma abreviada de decir esto.
Hay varias variaciones menores de la definición de 0 # , que no suponen una diferencia significativa en sus propiedades. Hay muchas opciones diferentes de numeración de Gödel, y 0 # depende de esta elección. En lugar de ser considerado como un subconjunto de los números naturales, también es posible codificar 0 # como un subconjunto de fórmulas de un idioma, o como un subconjunto de los conjuntos finitos hereditariamente, o como un número real.
Declaraciones que implican existencia
La condición sobre la existencia de un cardenal de Ramsey que implica que existe 0 # puede debilitarse. La existencia de los cardenales ω 1 - Erdős implica la existencia de 0 # . Esto está cerca de ser lo mejor posible, porque la existencia de 0 # implica que en el universo construible hay un cardinal α-Erdős para todos los α contables, por lo que tales cardinales no pueden usarse para probar la existencia de 0 # .
La conjetura de Chang implica la existencia de 0 # .
Declaraciones equivalentes a la existencia
Kunen demostró que 0 # existe si y solo si existe una incrustación elemental no trivial para el universo construible L de Gödel en sí mismo.
Donald A. Martin y Leo Harrington han demostrado que la existencia de 0 # es equivalente a la determinación de los juegos analíticos lightface . De hecho, la estrategia para un juego analítico universal de Lightface tiene el mismo grado de Turing que 0 # .
Se deduce de teorema cubriendo de Jensen que la existencia de 0 # es equivalente a w ω ser un cardinal regular en el universo construible L .
Silver demostró que la existencia de un incontable conjunto de indiscernibles en el universo constructible es equivalente a la existencia de 0 # .
Consecuencias de la existencia y la no existencia
Su existencia implica que todo cardinal incontable en el universo de la teoría de conjuntos V es un indiscernible en L y satisface todos los axiomas cardinales grandes que se realizan en L (como ser totalmente inefable ). De ello se desprende que la existencia de 0 # contradice el axioma de constructibilidad : V = L .
Si 0 # existe, entonces es un ejemplo de un Δ no construible1
3conjunto de enteros. En cierto sentido, esta es la posibilidad más simple para un conjunto no construible, ya que todo Σ1
2 y Π1
2 los conjuntos de números enteros son construibles.
Por otro lado, si 0 # no existe, entonces el universo construible L es el modelo central, es decir, el modelo interno canónico que se aproxima a la gran estructura cardinal del universo considerado. En ese caso, el lema de cobertura de Jensen sostiene:
- Para cada conjunto incontable x de ordinales hay un construible y tal que x ⊂ y e y tienen la misma cardinalidad que x .
Este profundo resultado se debe a Ronald Jensen . Al usar el forzado , es fácil ver que la condición de que x es incontable no se puede eliminar. Por ejemplo, considere el forzamiento de Namba , que conserva y se derrumba a un ordinal de cofinalidad . Dejar frijol -secuencia cofinal eny genérica sobre L . Entonces ningún conjunto en L de L -tamaño menor que(que es incontable en V , ya que se conserva) puede cubrir , desde es un cardenal regular .
Otros objetos punzantes
Si x es cualquier conjunto, entonces x # se define de manera análoga a 0 # excepto que se usa L [ x ] en lugar de L. Consulte la sección sobre constructibilidad relativa en el universo construible .
Ver también
- 0 † , un conjunto similar a 0 # donde el universo construible se reemplaza por un modelo interno más grande con un cardinal medible .
Referencias
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- Solovay, Robert M. (1967), "Un Δ no construible1
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