En la teoría de conjuntos , el modelo central es un modelo interno definible del universo de todos los conjuntos . Aunque los teóricos de conjuntos se refieren al "modelo central", no es un objeto matemático identificado de forma única. Más bien, es una clase de modelos internos que, bajo los supuestos correctos de la teoría de conjuntos, tienen propiedades muy especiales, sobre todo propiedades de cobertura . Intuitivamente, el modelo central es "el modelo interno canónico más grande que existe" (Ernest Schimmerling y John R. Steel ) y se asocia típicamente con un gran cardenalnoción. Si Φ es una noción cardinal grande, entonces la frase "modelo central debajo de Φ" se refiere al modelo interno definible que exhibe las propiedades especiales bajo el supuesto de que no existe un cardinal que satisfaga Φ. El programa del modelo central busca analizar grandes axiomas cardinales determinando los modelos centrales debajo de ellos.
Historia
El primer modelo núcleo era Kurt Gödel 's construible universo L . Ronald Jensen demostró el lema de cobertura para L en la década de 1970 bajo el supuesto de la inexistencia de cero agudo , estableciendo que L es el "modelo central por debajo de cero agudo". El trabajo de Solovay aisló otro modelo central L [ U ], para U un ultrafiltro en un cardinal medible (y su "afilado" asociado, cero daga ). Junto con Tony Dodd, Jensen construyó el modelo central de Dodd-Jensen ("el modelo central debajo de un cardinal medible") y demostró el lema de cobertura y un lema de cobertura generalizado para L [ U ].
Mitchell utilizó secuencias coherentes de medidas para desarrollar modelos centrales que contienen variables mensurables múltiples o de orden superior. Más tarde, el modelo de núcleo de Steel utilizó extensores y árboles de iteración para construir un modelo de núcleo debajo de un cardenal de Woodin .
Construcción de modelos básicos
Los modelos centrales se construyen mediante recursividad transfinita a partir de pequeños fragmentos del modelo central llamados ratones . Un ingrediente importante de la construcción es el lema de comparación que permite dar un buen orden de los ratones relevantes.
En el nivel de los cardenales fuertes y superiores, se construye un modelo de núcleo K c intermedio contablemente certificado , y luego, si es posible, se extrae K de K c .
Propiedades de los modelos centrales
K c (y por lo tanto K) es un modelo extensor iterable contable de estructura fina debajo de extensores largos. (Actualmente no se sabe cómo tratar con extensores largos, que establecen que un cardenal es superfuerte .) Aquí la iterabilidad contable significa ω 1 +1 iterabilidad para todas las subestructuras elementales contables de los segmentos iniciales, y es suficiente para desarrollar la teoría básica, incluyendo ciertas propiedades de condensación. La teoría de tales modelos es canónica y bien entendida. Satisfacen GCH , el principio del diamante para todos los subconjuntos estacionarios de cardenales regulares, el principio del cuadrado (excepto en los cardenales subcompactos ) y otros principios que se sostienen en L.
K c es máxima en varios sentidos. K c calcula correctamente los sucesores de cardinales singulares y mensurables. Además, se espera que bajo un debilitamiento apropiado de la certificabilidad contable, K c calcule correctamente los sucesores de todos los cardinales de límite fuerte singular débilmente compactos y correctamente. Si V está cerrado bajo un operador de mouse (un operador de modelo interno), entonces también lo está K c . K c no tiene sostenido: no hay una incrustación elemental no trivial natural de K c en sí mismo. (Sin embargo, a diferencia de K, K c puede ser elementalmente autoinsertable).
Si además tampoco hay cardenales Woodin en este modelo (excepto en ciertos casos específicos, no se sabe cómo se debe definir el modelo central si K c tiene cardenales Woodin), podemos extraer el modelo central real K. K también es su propio modelo central. K es localmente definible y genéricamente absoluto: para cada extensión genérica de V, para cada cardinal κ> ω 1 en V [G], K como se construye en H (κ) de V [G] es igual a K∩H (κ). (Esto no sería posible si K hubiera contenido cardenales Woodin). K es máximo, universal y completamente iterable. Esto implica que para cada modelo extensor iterable M (llamado ratón), hay una incrustación elemental M → N y de un segmento inicial de K en N, y si M es universal, la incrustación es de K en M.
Se conjetura que si K existe y V está cerrado bajo un operador agudo M, entonces K es Σ 1 1 correcto permitiendo números reales en K como parámetros y M como predicado. Eso equivale a Σ 1 3 corrección (en el sentido habitual) si M es x → x # .
El modelo central también se puede definir por encima de un conjunto particular de ordinales X: X pertenece a K (X), pero K (X) satisface las propiedades habituales de K por encima de X. Si no hay un modelo interno iterable con ω cardinales de Woodin, entonces para algunos X, K (X) existe. La discusión anterior de K y K c se generaliza a K (X) y K c (X).
Construcción de modelos básicos
Conjetura:
- Si no hay un modelo iterable ω 1 +1 con extensores largos (y, por lo tanto, modelos con cardenales superfuertes), entonces K c existe.
- Si K c existe y como construida en cada extensión genérica de V (que es equivalente, bajo algún colapso genérico Coll (ω, <κ) para una cantidad suficientemente grande ordinal κ) satisface "no hay cardenales Woodin", entonces existe el Core Modelo K.
Los resultados parciales de la conjetura son que:
- Si no hay un modelo interno con un cardenal Woodin, entonces K existe.
- Si (negrita) Σ 1 n la determinación (n es finito) se cumple en cada extensión genérica de V, pero no hay un modelo interno iterable con n cardinales de Woodin, entonces K existe.
- Si hay un cardinal κ medible, entonces existe K c por debajo de κ, o hay un modelo iterable ω 1 +1 con un límite medible λ de los cardenales Woodin y los cardenales fuertes hasta λ.
Si V tiene cardenales de Woodin pero no cardenales fuertes más allá de uno de Woodin, entonces, en circunstancias apropiadas, (un candidato para) K puede construirse construyendo K debajo de cada cardinal de Woodin (y debajo de la clase de todos los ordinales) κ pero por encima de K como se construyó. por debajo del supremo de los cardenales de Woodin por debajo de κ. El modelo principal candidato no es completamente iterable (la iterabilidad falla en Woodin cardinals) o genéricamente absoluto, pero por lo demás se comporta como K.
Referencias
- W. Hugh Woodin (junio / julio de 2001). [1] . Avisos del AMS.
- William Mitchell. "Principio de la teoría del modelo interior" (siendo el capítulo 17 en el volumen 3 del "Manual de teoría de conjuntos") en [2] .
- Matthew Foreman y Akihiro Kanamori (Editores). "Manual de teoría de conjuntos", Springer Verlag, 2010, ISBN 978-1402048432 .
- Ronald Jensen y John R. Steel. "K sin lo mensurable". Journal of Symbolic Logic Volumen 78, Número 3 (2013), 708-734.