Punto crítico (matemáticas)
Cuando se trata de funciones de una variable real , un punto crítico es un punto en el dominio de la función donde la función no es diferenciable o la derivada es igual a cero. [1] Cuando se trata de variables complejas , un punto crítico es, de manera similar, un punto en el dominio de la función donde no es holomórfico o la derivada es igual a cero. [2] [3] Asimismo, para una función de varias variables reales , un punto crítico es un valor en su dominio donde el gradiente no está definido o es igual a cero. [4]
Este tipo de definición se extiende a mapas diferenciables entre R m y R n , siendo un punto crítico , en este caso, un punto donde el rango de la matriz jacobiana no es máximo. Se extiende aún más a mapas diferenciables entre variedades diferenciables , a medida que los puntos donde el rango de la matriz jacobiana disminuye. En este caso, los puntos críticos también se denominan puntos de bifurcación .
En particular, si C es una curva plana , definida por una ecuación implícita f ( x , y ) = 0, los puntos críticos de la proyección sobre el eje x , paralelos al eje y, son los puntos donde la tangente a C son paralelos al eje y , que son los puntos donde . En otras palabras, los puntos críticos son aquellos en los que no se aplica el teorema de la función implícita .
La noción de punto crítico permite la descripción matemática de un fenómeno astronómico inexplicado antes de la época de Copérnico . Un punto estacionario en la órbita de un planeta es un punto de la trayectoria del planeta en la esfera celeste , donde el movimiento del planeta parece detenerse antes de reiniciarse en la otra dirección. Esto ocurre debido a un punto crítico de la proyección de la órbita en el círculo de la eclíptica .
Un punto crítico de una función de una sola variable real , f ( x ), es un valor x 0 en el dominio de f donde no es diferenciable o su derivada es 0 ( f ′ ( x 0 ) = 0). [1] Un valor crítico es la imagen bajo f de un punto crítico. Estos conceptos se pueden visualizar a través de la gráfica de f : en un punto crítico, la gráfica tiene una tangente horizontal, si es que puede asignar una.
Aunque se visualiza fácilmente en el gráfico (que es una curva), la noción de punto crítico de una función no debe confundirse con la noción de punto crítico, en alguna dirección, de una curva (ver más abajo para una definición detallada). Si g ( x , y ) es una función diferenciable de dos variables, entonces g ( x , y ) = 0 es la ecuación implícita de una curva. Un punto crítico de dicha curva, para la proyección paralela al eje y (el mapa ( x , y ) → x), es un punto de la curva donde . Esto significa que la tangente de la curva es paralela a la y eje x, y que, en este punto, g no define una función implícita de x a y (ver teorema de la función implícita ). Si ( x 0 , y 0 ) es un punto crítico, entonces x 0 es el valor crítico correspondiente . Este punto crítico también se denomina punto de bifurcación , ya que, generalmente, cuando x varía, hay dos ramas de la curva en un lado de x 0 y cero en el otro lado.
