El análisis no estándar y su rama, el cálculo no estándar , han sido criticados por varios autores, en particular Errett Bishop , Paul Halmos y Alain Connes . Estas críticas se analizan a continuación.
Introducción
La evaluación del análisis no estándar en la literatura ha variado mucho. Paul Halmos lo describió como un desarrollo técnico especial en lógica matemática. Terence Tao resumió la ventaja del marco hiperreal al señalar que
permite manipular rigurosamente cosas como "el conjunto de todos los números pequeños", o decir rigurosamente cosas como "η 1 es más pequeño que cualquier cosa que implique η 0 ", al tiempo que reduce en gran medida los problemas de gestión de épsilon al ocultar automáticamente muchos de los cuantificadores en el argumento de uno.
- Terence Tao, "Estructura y aleatoriedad" , American Mathematical Society (2008) [1]
La naturaleza de las críticas no está directamente relacionada con el estado lógico de los resultados probados mediante análisis no estándar. En términos de los fundamentos matemáticos convencionales de la lógica clásica, estos resultados son bastante aceptables. El análisis no estándar de Abraham Robinson no necesita ningún axioma más allá de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) (como se muestra explícitamente en la construcción ultrapoderosa de Wilhelmus Luxemburg de las hiperreales ), mientras que su variante de Edward Nelson , conocida como teoría de conjuntos internos , es de manera similar, una extensión conservadora de ZFC . [2] Proporciona una garantía de que la novedad del análisis no estándar es enteramente como una estrategia de prueba, no en un rango de resultados. Además, el análisis no estándar de la teoría de modelos, por ejemplo, basado en superestructuras, que ahora es un enfoque de uso común, no necesita ningún axioma nuevo de teoría de conjuntos más allá de los de ZFC. [ dudoso ]
Ha existido controversia sobre cuestiones de pedagogía matemática. Además, el análisis no estándar tal como se desarrolló no es el único candidato para cumplir los objetivos de una teoría de infinitesimales (ver Análisis infinitesimal suave ). Philip J. Davis escribió, en una reseña de libro de Left Back: A Century of Failed School Reforms [3] por Diane Ravitch: [4]
Estaba el movimiento de análisis no estándar para enseñar cálculo elemental. Su stock aumentó un poco antes de que el movimiento colapsara por la complejidad interna y la escasa necesidad.
El cálculo no estándar en el aula ha sido analizado en el estudio de K. Sullivan de escuelas en el área de Chicago, como se refleja en la literatura secundaria en Influencia del análisis no estándar . Sullivan demostró que los estudiantes que seguían el curso de análisis no estándar eran más capaces de interpretar el sentido del formalismo matemático del cálculo que un grupo de control que seguía un programa de estudios estándar. Esto también fue señalado por Artigue (1994), página 172; Chihara (2007); y Dauben (1988). [ cita requerida ]
La crítica del obispo
En opinión de Errett Bishop , las matemáticas clásicas, que incluyen el enfoque de Robinson para el análisis no estándar, no eran constructivas y, por lo tanto, tenían un significado numérico deficiente ( Feferman 2000 ). Bishop estaba particularmente preocupado por el uso de análisis no estándar en la enseñanza, como lo comentó en su ensayo "Crisis en las matemáticas" ( Bishop 1975 ). Específicamente, después de discutir el programa formalista de Hilbert , escribió:
- Un intento más reciente de las matemáticas mediante la delicadeza formal es el análisis no estándar. Deduzco que ha tenido cierto grado de éxito, ya sea a expensas de dar pruebas significativamente menos significativas, no lo sé. Mi interés en el análisis no estándar es que se están haciendo intentos para introducirlo en los cursos de cálculo. Es difícil creer que la degradación del significado pueda llevarse tan lejos.
Katz y Katz (2010) señalan que los matemáticos e historiadores participantes expresaron una serie de críticas después de la charla "Crisis" de Bishop, en el taller de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 1974. Sin embargo, los participantes no dijeron ni una palabra sobre La degradación de Bishop de la teoría de Robinson. Katz y Katz señalan que recientemente salió a la luz que Bishop, de hecho, no dijo una palabra sobre la teoría de Robinson en el taller, y solo agregó su comentario de degradación en la etapa de publicación a prueba de galeras. Esto ayuda a explicar la ausencia de reacciones críticas en el taller. Katz & Katz concluyen que esto plantea problemas de integridad por parte de Bishop, cuyo texto publicado no informa el hecho de que el comentario de "degradación" se agregó en la etapa de galera y, por lo tanto, no fue escuchado por los participantes del taller, creando una falsa impresión de que no estuvo en desacuerdo con los comentarios.
El hecho de que Bishop considerara la introducción del análisis no estándar en el aula como una "degradación del significado" fue señalado por J. Dauben. [5] El término fue aclarado por Bishop (1985, p. 1) en su texto La esquizofrenia en las matemáticas contemporáneas (distribuido por primera vez en 1973), de la siguiente manera:
- Las críticas de Brouwer a las matemáticas clásicas se referían a lo que denominaré "la degradación del significado".
Por lo tanto, Bishop aplicó primero el término "degradación del significado" a la matemática clásica en su conjunto, y luego lo aplicó a los infinitesimales de Robinson en el aula. En sus Fundamentos del análisis constructivo (1967, página ix), Bishop escribió:
- Nuestro programa es simple: Dar significado numérico a la mayor cantidad posible de análisis abstracto clásico. Nuestra motivación es el conocido escándalo, expuesto por Brouwer (y otros) con gran detalle, de que la matemática clásica es deficiente en significado numérico.
Los comentarios del obispo están respaldados por la discusión que siguió a su conferencia: [6]
- George Mackey (Harvard): "No quiero pensar en estas preguntas. Tengo fe en que lo que estoy haciendo tendrá algún tipo de significado ..."
- Garrett Birkhoff (Harvard): "... Creo que esto es lo que está instando Bishop. Debemos hacer un seguimiento de nuestras suposiciones y mantener la mente abierta".
- Shreeram Abhyankar: (Purdue): "Mi artículo está en completa simpatía con la posición de Bishop".
- JP Kahane (U. de Paris): "... Tengo que respetar el trabajo de Bishop, pero lo encuentro aburrido ..."
- Bishop (UCSD): "La mayoría de los matemáticos sienten que las matemáticas tienen un significado, pero les aburre tratar de descubrir qué es ..."
- Kahane: "Siento que el aprecio de Bishop tiene más importancia que mi falta de aprecio".
Revisión del obispo
Bishop revisó el libro Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach de Howard Jerome Keisler , que presentaba el cálculo elemental utilizando métodos de análisis no estándar. Bishop fue elegido por su asesor Paul Halmos para revisar el libro. La revisión apareció en el Bulletin of the American Mathematical Society en 1977. David O. Tall ( Tall 2001 ) hace referencia a este artículo al discutir el uso de análisis no estándar en educación. Tall escribió:
- Sin embargo, el uso del axioma de elección en el enfoque no estándar suscita críticas extremas por parte de quienes, como Bishop (1977), insistieron en la construcción explícita de conceptos en la tradición intuicionista.
La reseña de Bishop proporcionó varias citas del libro de Keisler, tales como:
- En 1960, Robinson resolvió un problema de trescientos años dando un tratamiento preciso de los infinitesimales. El logro de Robinson probablemente se clasificará como uno de los principales avances matemáticos del siglo XX.
y
- Al discutir la línea real, observamos que no tenemos forma de saber cómo es realmente una línea en el espacio físico. Puede ser como la línea hiperreal, la línea real o ninguna de las dos. Sin embargo, en las aplicaciones del cálculo, es útil imaginar una línea en el espacio físico como una línea hiperreal.
La revisión criticó el texto de Keisler por no proporcionar evidencia para apoyar estas afirmaciones y por adoptar un enfoque axiomático cuando no estaba claro para los estudiantes que existía algún sistema que cumpliera con los axiomas ( Tall 1980 ). La revisión finalizó de la siguiente manera:
Las complicaciones técnicas introducidas por el enfoque de Keisler son de menor importancia. El verdadero daño radica en la ofuscación y desvitalización [de Keisler] de esas maravillosas ideas [del cálculo estándar]. Ninguna invocación de Newton y Leibniz va a justificar el desarrollo de cálculo utilizando los axiomas V * y VI *, ¡sobre la base de que la definición habitual de un límite es demasiado complicada!
y
Aunque parezca inútil, siempre les digo a mis alumnos de cálculo que las matemáticas no son esotéricas: son de sentido común. (Incluso la notoria (ε, δ) -definición de límite es de sentido común y, además, es fundamental para los importantes problemas prácticos de aproximación y estimación). No me creen. De hecho, la idea los incomoda porque contradice su experiencia previa. Ahora tenemos un texto de cálculo que se puede utilizar para confirmar su experiencia de las matemáticas como un ejercicio de técnica esotérico y sin sentido.
Respuestas
En su respuesta en The Notices , Keisler (1977, p. 269) preguntó:
- ¿Por qué Paul Halmos , el editor de reseñas de libros del Bulletin , eligió a un constructivista como revisor?
Al comparar el uso de la ley del medio excluido (rechazado por los constructivistas) con el vino, Keisler comparó la elección de Halmos con "elegir un abstemio para probar el vino".
La reseña del libro de Bishop fue posteriormente criticada en la misma revista por Martin Davis , quien escribió en la p. 1008 de Davis (1977) :
- El libro de Keisler es un intento de recuperar los métodos leibnizianos intuitivamente sugerentes que dominaron la enseñanza del cálculo hasta hace relativamente poco tiempo, y que nunca han sido descartados en partes de las matemáticas aplicadas. Un lector de la reseña de Errett Bishop del libro de Keisler difícilmente imaginaría que esto es lo que Keisler estaba tratando de hacer, ya que la reseña no discute ni los objetivos de Keisler ni la medida en que su libro los realiza.
Davis agregó (p. 1008) que Bishop expresó sus objeciones
- sin informar a sus lectores del contexto constructivista en el que presumiblemente debe entenderse esta objeción.
El físico Vadim Komkov (1977, p. 270) escribió:
- Bishop es uno de los principales investigadores a favor del enfoque constructivo del análisis matemático. Es difícil para un constructivista simpatizar con las teorías que reemplazan los números reales por hiperrealistas .
Ya sea que se pueda realizar un análisis no estándar de manera constructiva o no, Komkov percibió una preocupación fundamental por parte de Bishop.
El filósofo de las matemáticas Geoffrey Hellman (1993, p. 222) escribió:
- Algunas de las observaciones de Bishop (1967) sugieren que su posición pertenece a la categoría [constructivista radical] ...
El historiador de las matemáticas Joseph Dauben analizó la crítica de Bishop en (1988, p. 192). Después de evocar el "éxito" del análisis no estándar
- en el nivel más elemental en el que podría introducirse, es decir, en el que se enseña cálculo por primera vez,
Dauben declaró:
- También hay un nivel más profundo de significado en el que opera el análisis no estándar.
Dauben mencionó aplicaciones "impresionantes" en
- la física, especialmente la teoría cuántica y la termodinámica , y la economía , donde el estudio de las economías de intercambio ha sido particularmente susceptible de interpretación no estándar.
En este nivel de significado "más profundo", concluyó Dauben,
- Los puntos de vista de Bishop pueden cuestionarse y demostrarse que son tan infundados como sus objeciones al análisis no estándar pedagógicamente.
Varios autores han comentado sobre el tono de la reseña del libro de Bishop. Artigue (1992) lo describió como virulento ; Dauben (1996), como mordaz ; Davis y Hauser (1978), como hostiles ; Tall (2001), como extremo .
Ian Stewart (1986) comparó el hecho de que Halmos pidiera a Bishop que revisara el libro de Keisler con invitar a Margaret Thatcher a que revisara Das Kapital .
Katz y Katz (2010) señalan que
- Bishop está criticando a las manzanas por no ser naranjas: el crítico (Bishop) y el criticado (análisis no estándar de Robinson) no comparten un marco fundamental común.
Además, señalan que
- La preocupación de Bishop por la extirpación de la ley del medio excluido lo llevó a criticar las matemáticas clásicas en su conjunto de una manera tan mordaz como su crítica del análisis no estándar.
G. Stolzenberg respondió a las críticas de Keisler's Notices sobre la revisión de Bishop en una carta, también publicada en The Notices. [7] Stolzenberg argumenta que la crítica de la revisión de Bishop del libro de cálculo de Keisler se basa en la falsa suposición de que se hicieron con una mentalidad constructivista, mientras que Stolzenberg cree que Bishop lo leyó como debía leerse: con una mentalidad clásica.
La crítica de Connes
En "Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral", Journal of Geometry and Physics 23 (1997), 206-234, Alain Connes escribió:
- "La respuesta dada por el análisis no estándar, es decir, un real no estándar, es igualmente decepcionante: cada real no estándar determina canónicamente un subconjunto (Lebesgue) no medible del intervalo [0, 1], por lo que es imposible (Stern , 1985) para exhibir un solo [número real no estándar]. El formalismo que proponemos dará una respuesta sustancial y computable a esta pregunta ".
En su artículo de 1995 "Geometría y realidad no conmutativas", Connes desarrolla un cálculo de infinitesimales basado en operadores en el espacio de Hilbert. Continúa "explicando por qué el formalismo del análisis no estándar es inadecuado" para sus propósitos. Connes señala los siguientes tres aspectos de los hiperrealistas de Robinson:
(1) un hiperreal no estándar "no se puede exhibir" (la razón dada es su relación con conjuntos no medibles);
(2) "el uso práctico de tal noción se limita a cálculos en los que el resultado final es independiente del valor exacto del infinitesimal anterior. Esta es la forma en que se utilizan el análisis no estándar y los ultraproductos [...]".
(3) los hiperrealistas son conmutativos.
Katz y Katz analizan las críticas de Connes al análisis no estándar y cuestionan las afirmaciones específicas (1) y (2). [8] Con respecto a (1), los propios infinitesimales de Connes se basan de manera similar en material fundacional no constructivo, como la existencia de un rastro de Dixmier . Con respecto a (2), Connes presenta la independencia de la elección del infinitesimal como un rasgo de su propia teoría.
Kanovei y col. (2012) analizan la afirmación de Connes de que los números no estándar son "quiméricos". Señalan que el contenido de su crítica es que los ultrafiltros son "quiméricos", y señalan que Connes explotó los ultrafiltros de manera esencial en su trabajo anterior de análisis funcional. Analizan la afirmación de Connes de que la teoría hiperreal es meramente "virtual". Las referencias de Connes al trabajo de Robert Solovay sugieren que Connes quiere criticar a los hiperrealistas por supuestamente no ser definibles. Si es así, la afirmación de Connes sobre los hiperreal es demostrablemente incorrecta, dada la existencia de un modelo definible de los hiperreal construido por Vladimir Kanovei y Saharon Shelah (2004). Kanovei y col. (2012) también proporcionan una tabla cronológica de epítetos cada vez más virulentos empleados por Connes para denigrar el análisis no estándar durante el período entre 1995 y 2007, comenzando con "inadecuado" y "decepcionante" y culminando con "el final del camino por ser" explícito ". ".
Katz y Leichtnam (2013) señalan que "se puede decir que dos tercios de la crítica de Connes al enfoque infinitesimal de Robinson es incoherente, en el sentido específico de no ser coherente con lo que Connes escribe (con aprobación) sobre su propio enfoque infinitesimal".
Comentarios de Halmos
Paul Halmos escribe en "Invariant subespaces", American Mathematical Monthly 85 (1978) 182-183 de la siguiente manera:
- "La extensión a operadores polinomialmente compactos fue obtenida por Bernstein y Robinson (1966). Presentaron su resultado en el lenguaje metamatemático llamado análisis no estándar, pero, como se advirtió muy pronto, eso era una cuestión de preferencia personal, no de necesidad . "
Halmos escribe en (Halmos 1985) como sigue (p. 204):
- La prueba de Bernstein-Robinson [de la conjetura del subespacio invariante de Halmos] utiliza modelos no estándar de lenguajes predicados de orden superior, y cuando [Robinson] me envió su reimpresión tuve que sudar mucho para precisar y traducir su conocimiento matemático.
Al comentar sobre el "papel del análisis no estándar en matemáticas", Halmos escribe (p. 204):
- Para algunos otros [... matemáticos], que están en contra (por ejemplo, Errett Bishop ), es un tema igualmente emocional ...
Halmos concluye su discusión sobre el análisis no estándar de la siguiente manera (p. 204):
- es una herramienta especial, demasiado especial, y otras herramientas pueden hacer todo lo que hace. Todo es cuestión de gustos.
Katz y Katz (2010) señalan que
- La ansiedad de Halmos por evaluar la teoría de Robinson puede haber implicado un conflicto de intereses [...] Halmos invirtió una energía emocional considerable (y sudor , como lo expresa memorablemente en su autobiografía) en su traducción del resultado de Bernstein-Robinson [...] [H] Sus comentarios contundentes y poco halagadores parecen justificar retroactivamente su intento traduccionista de desviar el impacto de una de las primeras aplicaciones espectaculares de la teoría de Robinson.
Comentarios de Bos y Medvedev
El historiador de Leibniz Henk Bos (1974) reconoció que los hiperrealistas de Robinson proporcionan
- [una] explicación preliminar de por qué el cálculo podría desarrollarse sobre la base insegura de la aceptación de cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes.
F. Medvedev (1998) señala además que
- [n] un análisis estándar permite responder a una pregunta delicada ligada a enfoques anteriores de la historia del análisis clásico. Si las magnitudes infinitamente pequeñas e infinitamente grandes se consideran nociones inconsistentes, ¿cómo podrían [haber] servir [d] como base para la construcción de un edificio tan [magnífico] de una de las disciplinas matemáticas más importantes?
Ver también
- Análisis constructivo no estándar
- Influencia del análisis no estándar
Notas
- ^ Tao, T .: Estructura y aleatoriedad. Páginas del primer año de un blog de matemáticas. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI, 2008. p. 55.
- ^ Esto se muestra en el artículo de Edward Nelson sobre AMS 1977 en un apéndice escrito por William Powell.
- ^ Diane., Ravitch (2000). Lateral izquierdo: un siglo de reformas escolares fallidas . Nueva York: Simon & Schuster. ISBN 0684844176. OCLC 43790988 .
- ^ Philip, J. Davis (9 de abril de 2001). "SIAM: El entusiasmo educativo y sus críticas" . archive.siam.org . Consultado el 2 de diciembre de 2018 .
- ↑ en Donald Gillies , Revolutions in Mathematics (1992), p. 76.
- ^ Obispo 1975 .
- ^ Stolzenberg 1978 .
- ^ Véase Katz y Katz (2011)
Referencias
- Albeverio, S .; Guido, D .; Ponosov, A .; Scarlatti, S. (1996). "Trazas singulares y operadores compactos". J. Funct. Anal . 137 (2): 281-302. doi : 10.1006 / jfan.1996.0047 . S2CID 55846784 .
- Artigue, Michèle (1994), Análisis , Pensamiento matemático avanzado (ed. David O. Tall ), Springer-Verlag, p. 172, ISBN 0-7923-2812-4
- Bishop, Errett (1975), "La crisis de las matemáticas contemporáneas", Historia Math. , 2 (4): 507–517, doi : 10.1016 / 0315-0860 (75) 90113-5
- Bishop, Errett (1977), "Revisión: H. Jerome Keisler, cálculo elemental" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 83 : 205–208, doi : 10.1090 / s0002-9904-1977-14264-x
- Bishop, E. (1983). "Esquizofrenia en las matemáticas contemporáneas". Escrito en San Diego, California. Errett Bishop: reflexiones sobre él y su investigación . Desprecio. Matemáticas. 39 . Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc. (publicado en 1985). págs. 1-32.
- Bos, Henk JM (1974), "Diferenciales, diferenciales de orden superior y la derivada en el cálculo Leibniziano", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 14 : 1–90, doi : 10.1007 / BF00327456 , S2CID 120779114
- Chihara, C. (2007). "La crítica de Burgess-Rosen de reconstrucciones nominalistas". Philos. Matemáticas . 15 (1): 54–78. doi : 10.1093 / philmat / nkl023 .
- Connes, A. (1997). "Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral" (PDF) . Revista de Geometría y Física . 23 (3–4): 206–234. Código bibliográfico : 1997JGP .... 23..206C . doi : 10.1016 / s0393-0440 (97) 80001-0 .
- Connes, A. (1995). "Realidad y geometría no conmutativa" (PDF) . J. Math. Phys . 36 (11): 6194–6231. Código bibliográfico : 1995JMP .... 36.6194C . doi : 10.1063 / 1.531241 .
- Dauben, J. (1988). "Abraham Robinson y análisis no estándar: historia, filosofía y fundamentos de las matemáticas" (PDF) . En Aspray, William; Kitcher, Philip (eds.). Historia y filosofía de las matemáticas modernas . Minnesota Stud. Philos. Sci. XI . Minneapolis, MN: Univ. Prensa de Minnesota. págs. 177–200.
- Dauben, J. (1992). Escrito en Essen. "Argumentos, lógica y prueba: matemáticas, lógica e infinito. Historia de la matemática y la educación: ideas y experiencias". Semental. Wiss. Soz. Bildungsgesch. Matemáticas . Gotinga: Vandenhoeck & Ruprecht (publicado en 1996). 11 : 113-148.
- Davis, Martin (1977), "Revisión: J. Donald Monk, lógica matemática" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 83 : 1007–1011, doi : 10.1090 / S0002-9904-1977-14357-7
- Davis, M .; Hausner, M. (1978). "Reseña del libro. La alegría de los infinitesimales. Cálculo elemental de J. Keisler". Intelligencer matemático . 1 : 168-170. doi : 10.1007 / BF03023265 . S2CID 121679411 .
- Feferman, Solomon (2000), "Relaciones entre sistemas de análisis constructivo, predicativo y clásico", Synthese Library , Kluwer Academic Publishers Group, 125 (292): 317–332, doi : 10.1023 / A: 1005223128130 , S2CID 46283088; PDF en línea .
- Gordon, EI; Kusraev, AG (2002). Análisis infinitesimal de Kutateladze SS . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-0738-5..
- Halmos, Paul R. (1985). Quiero ser matemático: una automatización . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96078-3.
- Hellman, Geoffrey (1993). "Matemáticas constructivas y mecánica cuántica: operadores ilimitados y el teorema espectral". Revista de lógica filosófica . 12 (3): 221–248. doi : 10.1007 / BF01049303 . S2CID 8676552 .
- Kanovei, Vladimir ; Katz, Mikhail G .; Mormann, Thomas (2012), "Tools, Objects, and Chimeras: Connes on the Role of Hyperreals in Mathematics", Foundations of Science , 18 (2): 259-296, arXiv : 1211.0244 , Bibcode : 2012arXiv1211.0244K , doi : 10.1007 / s10699-012-9316-5 , S2CID 7631073
- Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004). "Un modelo no estándar definible de los reales". Revista de lógica simbólica . 69 (1): 159-164. arXiv : matemáticas / 0311165 . doi : 10.2178 / jsl / 1080938834 . S2CID 15104702 .
- Katz, Karin; Katz, Mikhail (2010). "¿Cuándo es .999 ... menos de 1?" . El entusiasta de las matemáticas de Montana . 7 (1): 3–30. Archivado desde el original el 20 de julio de 2011.
- Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), "Meaning in Classical Mathematics: Is it in Odds with Intuitionism?", Intellectica , 56 (2): 223–302, arXiv : 1110.5456 , Bibcode : 2011arXiv1110.5456U
- Katz, Mikhail G .; Leichtnam, Eric (2013), " Infinitesimals de conmutación y no conmutación", American Mathematical Monthly , 120 (7): 631–641, arXiv : 1304.0583 , Bibcode : 2013arXiv1304.0583K , doi : 10.4169 / amer.math.monthly.120.07.631 , S2CID 35391617
- Keisler, H. Jerome (1977). "Carta al editor". Avisos Amer. Matemáticas. Soc . 24 : 269.
- Komkov, Vadim (1977). "Carta al editor". Avisos Amer. Matemáticas. Soc . 24 (5): 269-271.
- Medvedev, FA (1998). "Análisis no estándar e historia del análisis clásico. Traducido por Abe Shenitzer". Amer. Matemáticas. Mensual . 105 (7): 659–664. doi : 10.2307 / 2589253 . JSTOR 2589253 .
- Stewart, Ian (1986). "Rana y ratón revisitados". Inteligencia matemática : 78–82.
- Sullivan, Kathleen (1976), "The Teaching of Elementary Calculus Using the Nonstandard Analysis Approach", The American Mathematical Monthly , 83 (5): 370–375, doi : 10.2307 / 2318657 , JSTOR 2318657
- Tall, David (1980), Infinitesimales intuitivos en el cálculo (póster) (PDF) , Cuarto Congreso Internacional de Educación Matemática, Berkeley
- Tall, David (2001), "Infinitos naturales y formales", Estudios educativos en matemáticas , Springer Países Bajos, 48 (2-3)
enlaces externos
- Versión en línea de Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal
- S. Kutateladze "Enseñanza del cálculo"