En física, un paquete de ondas (o tren de ondas ) es una "ráfaga" o " envolvente " corta de acción de ondas localizada que viaja como una unidad. Un paquete de ondas puede analizarse o sintetizarse a partir de un conjunto infinito de ondas sinusoidales componentes de diferentes números de onda , con fases y amplitudes tales que interfieren constructivamente solo en una pequeña región del espacio y destructivamente en otros lugares. [1] Cada función de onda componente , y por tanto el paquete de onda, son soluciones de una ecuación de onda . Dependiendo de la ecuación de ondas, el perfil del paquete de ondas puede permanecer constante (sin dispersión, ver figura) o puede cambiar (dispersión) durante la propagación.
La mecánica cuántica atribuye un significado especial al paquete de ondas; se interpreta como una amplitud de probabilidad , su norma al cuadrado describe la densidad de probabilidad de que una partícula o partículas en un estado particular se medirán para tener una posición o momento dado. La ecuación de onda es en este caso la ecuación de Schrödinger . Es posible deducir la evolución temporal de un sistema mecánico cuántico, similar al proceso del formalismo hamiltoniano en la mecánica clásica . El carácter dispersivo de las soluciones de la ecuación de Schrödinger ha jugado un papel importante al rechazar la interpretación original de Schrödinger y aceptar la regla de Born . [ cita requerida ]
En la representación de coordenadas de la onda (como el sistema de coordenadas cartesiano ), la posición de la probabilidad localizada del objeto físico se especifica mediante la posición de la solución del paquete. Además, cuanto más estrecho es el paquete de ondas espaciales y, por tanto, mejor localizada es la posición del paquete de ondas, mayor es la dispersión del impulso de la onda. Esta compensación entre el diferencial en posición y el diferencial en impulso es un rasgo característico del principio de incertidumbre de Heisenberg y se ilustrará a continuación.
Antecedentes históricos
A principios de la década de 1900, se hizo evidente que la mecánica clásica tenía algunas fallas importantes. Isaac Newton propuso originalmente la idea de que la luz venía en paquetes discretos, a los que llamó corpúsculos , pero el comportamiento ondulatorio de muchos fenómenos de luz llevó rápidamente a los científicos a favorecer una descripción ondulatoria del electromagnetismo . No fue hasta la década de 1930 que la naturaleza de las partículas de la luz realmente comenzó a ser ampliamente aceptada en la física. El desarrollo de la mecánica cuántica, y su éxito en la explicación de resultados experimentales confusos, fue la raíz de esta aceptación. Por tanto, uno de los conceptos básicos en la formulación de la mecánica cuántica es el de la luz que llega en haces discretos llamados fotones . La energía de un fotón es función de su frecuencia,
La energía del fotón es igual a la constante de Planck , h , multiplicada por su frecuencia, ν . Esto resolvió un problema de la física clásica, llamado catástrofe ultravioleta .
Las ideas de la mecánica cuántica continuaron desarrollándose a lo largo del siglo XX. La imagen que se desarrolló fue de un mundo de partículas, con todos los fenómenos y la materia hechos e interactuando con partículas discretas; sin embargo, estas partículas fueron descritas por una onda de probabilidad. Las interacciones, ubicaciones y toda la física se reducirían a los cálculos de estas amplitudes de probabilidad.
La naturaleza de partículas del mundo ha sido confirmada por experimentos durante más de un siglo, mientras que los fenómenos de ondas podrían caracterizarse como consecuencias del aspecto de paquetes de ondas de las partículas cuánticas (ver dualidad onda-partícula ). De acuerdo con el principio de complementariedad , las características onduladas y partículas nunca se manifiestan al mismo tiempo, es decir, en el mismo experimento; vea, sin embargo, el experimento de Afshar y la animada discusión en torno a él.
Comportamientos básicos
No dispersivo
Como ejemplo de propagación sin dispersión , considere las soluciones de onda para la siguiente ecuación de onda de la física clásica
donde c es la velocidad de propagación de la onda en un medio dado.
Usando la convención de tiempo de la física, exp (- iωt ) , la ecuación de onda tiene soluciones de onda plana
dónde
- y
Esta relación entre ω y k debería ser válida para que la onda plana sea una solución a la ecuación de onda. Se llama relación de dispersión .
Para simplificar, considere solo las ondas que se propagan en una dimensión (la extensión a tres dimensiones es sencilla). Entonces la solución general es
en el que podemos tomar ω = kc . El primer término representa una onda que se propaga en la dirección x positiva ya que es una función de x - ct solamente; el segundo término, siendo una función de x + ct , representa una onda que se propaga en la dirección x negativa .
Un paquete de ondas es una perturbación localizada que resulta de la suma de muchas formas de onda diferentes . Si el paquete está fuertemente localizado, se necesitan más frecuencias para permitir la superposición constructiva en la región de localización y la superposición destructiva fuera de la región. A partir de las soluciones básicas en una dimensión, una forma general de un paquete de ondas se puede expresar como
Como en el caso de onda plana, el paquete de onda viaja hacia la derecha para ω (k) = kc , ya que u (x, t) = F (x - ct) , y hacia la izquierda para ω (k) = −kc , ya que u (x, t) = F (x + ct) .
El factor 1 ⁄ √ 2π proviene de las convenciones de la transformada de Fourier . La amplitud A (k) contiene los coeficientes de superposición lineal de las soluciones de onda plana. Estos coeficientes, a su vez, pueden expresarse como una función de u (x, t) evaluado en t = 0 invirtiendo la relación de transformada de Fourier anterior:
Por ejemplo, eligiendo
obtenemos
y finalmente
La propagación no dispersiva de la parte real o imaginaria de este paquete de ondas se presenta en la animación anterior.
Dispersivo
Por el contrario, como ejemplo de propagación ahora con dispersión , considere en cambio soluciones a la ecuación de Schrödinger (Pauli 2000, con my ħ iguales a uno),
produciendo la relación de dispersión
Una vez más, restringiendo la atención a una dimensión, la solución a la ecuación de Schrödinger satisface la condición inicial , que representa un paquete de ondas localizado en el espacio en el origen, se ve que es
Se obtiene una impresión del comportamiento dispersivo de este paquete de ondas al observar la densidad de probabilidad:
Es evidente que este paquete de ondas dispersivas, mientras se mueve con velocidad de grupo constante k o , se está deslocalizando rápidamente: tiene un ancho que aumenta con el tiempo como √ 1 + 4 t ² → 2 t , por lo que eventualmente se difunde a una región ilimitada del espacio. . [nb 1]
El perfil de impulso A (k) permanece invariante. La corriente de probabilidad es
Paquetes de ondas gaussianas en mecánica cuántica
El paquete de onda gaussiana dispersiva anterior, sin normalizar y centrado en el origen, en cambio, en t = 0, ahora se puede escribir en 3D, ahora en unidades estándar: [3] [4]
donde a es un número real positivo, el cuadrado del ancho del paquete de ondas ,
La transformada de Fourier también es gaussiana en términos del número de onda, t = 0, el vector k , (con ancho inverso,
así que eso
es decir, satura la relación de incertidumbre ),
Cada onda separada solo rota en fase en el tiempo, de modo que la solución transformada de Fourier dependiente del tiempo es
La transformada de Fourier inversa sigue siendo gaussiana, pero ahora el parámetro a se ha vuelto complejo y hay un factor de normalización general. [5]
La integral de Ψ en todo el espacio es invariante, porque es el producto interno de Ψ con el estado de energía cero, que es una onda con longitud de onda infinita, una función constante del espacio. Para cualquier estado propio de energía η ( x ) , el producto interno,
solo cambia en el tiempo de forma sencilla: su fase gira con una frecuencia determinada por la energía de η . Cuando η tiene energía cero, como la onda de longitud de onda infinita, no cambia en absoluto.
La integral ∫ | Ψ | 2 d 3 r también es invariante, que es un enunciado de la conservación de la probabilidad. Explícitamente,
en el que √ a es el ancho de P (r) en t = 0 ; r es la distancia desde el origen; la rapidez de la partícula es cero; y el origen del tiempo t = 0 se puede elegir arbitrariamente.
El ancho del gaussiano es la cantidad interesante que se puede leer a partir de la densidad de probabilidad, | Ψ | 2 ,
Este ancho eventualmente crece linealmente en el tiempo, como ħt / (m√a) , lo que indica la expansión del paquete de ondas . [6]
Por ejemplo, si un paquete de ondas de electrones se localiza inicialmente en una región de dimensiones atómicas (es decir, 10 −10 m), entonces el ancho del paquete se duplica en aproximadamente 10 −16 s. Claramente, los paquetes de ondas de partículas se esparcen muy rápidamente (en el espacio libre): [7] Por ejemplo, después de 1 ms, el ancho habrá crecido hasta aproximadamente un kilómetro.
Este crecimiento lineal es un reflejo de la incertidumbre del momento (invariante en el tiempo): el paquete de ondas está confinado a un estrecho Δ x = √ a / 2 , por lo que tiene un momento que es incierto (según el principio de incertidumbre ) por la cantidad ħ / √ 2 a , una extensión en la velocidad de ħ / m √ 2 a , y por lo tanto en la posición futura por ħt / m √ 2 a . La relación de incertidumbre es entonces una desigualdad estricta, ¡muy lejos de la saturación, de hecho! La incertidumbre inicial Δ x Δ p = ħ / 2 ahora se ha incrementado en un factor de ħt / ma (para t grande ).
El tren de olas Airy
En contraste con el paquete de ondas gaussianas anterior, se ha observado [8] que una función de onda particular basada en las funciones de Airy se propaga libremente sin dispersión de la envolvente, manteniendo su forma. Acelera sin distorsión en ausencia de un campo de fuerza: ψ = Ai ( B ( x - B ³ t ²)) exp (i B ³ t ( x −2 B ³ t ² / 3)) . (Para simplificar, ħ = 1, m = 1/2, y B es una constante, cf. no dimensionalización ).
Sin embargo, no hay ninguna disonancia con el teorema de Ehrenfest en esta situación libre de fuerzas, porque el estado es a la vez no normalizable y tiene un indefinido (infinito) ⟨ x ⟩ para todos los tiempos. (En la medida en que se podría definir, ⟨ p ⟩ = 0 para todos los tiempos, a pesar de la aparente aceleración de la parte delantera.)
En el espacio de fase , esto es evidente en la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner en estado puro de este tren de ondas, cuya forma en x y p es invariante a medida que avanza el tiempo, pero cuyas características se aceleran hacia la derecha, en parábolas aceleradoras B ( x - B ³ t ²) + ( p / B - tB ²) ² = 0 , [9]
Tenga en cuenta que la distribución de la cantidad de movimiento obtenida al integrar sobre todo x es constante. Dado que esta es la densidad de probabilidad en el espacio de momento , es evidente que la función de onda en sí misma no es normalizable.
En 2018, la primera observación experimental de la fase cúbica de la aceleración de los paquetes de ondas Airy se logró gracias a una colaboración de investigadores de universidades israelíes, alemanas y estadounidenses. [10]
Propagador gratuito
El límite de ancho estrecho de la solución de paquetes de ondas gaussianas discutida es el kernel K del propagador libre . Para otras ecuaciones diferenciales, esto generalmente se llama la función de Green, [11] pero en la mecánica cuántica es tradicional para reservar el nombre de la función de Green para la transformada de Fourier de tiempo de K .
Volviendo a una dimensión por simplicidad, con my ħ iguales a uno, cuando a es la cantidad infinitesimal ε , la condición inicial de Gauss, reescalada para que su integral sea uno,
se convierte en una función delta , δ (x) , de modo que su evolución en el tiempo,
produce el propagador.
Tenga en cuenta que un paquete de ondas inicial muy estrecho se vuelve instantáneamente infinitamente ancho, pero con una fase que oscila más rápidamente con valores grandes de x . Esto puede parecer extraño: la solución pasa de estar localizada en un punto a estar "en todas partes" en todos los momentos posteriores , pero es un reflejo de la enorme incertidumbre del momento de una partícula localizada, como se explicó anteriormente.
Además, tenga en cuenta que la norma de la función de onda es infinita, lo cual también es correcto, ya que el cuadrado de una función delta es divergente de la misma manera.
El factor que involucra a ε es una cantidad infinitesimal que está ahí para asegurarse de que las integrales sobre K estén bien definidas. En el límite en que ε → 0, K se vuelve puramente oscilatorio y las integrales de K no son absolutamente convergentes. En el resto de esta sección, se puede establecer en cero, pero a fin de que todas las integraciones más de estados intermedios a estar bien definida, el límite varepsilon → 0 es que sólo se toma después se calcula el estado final.
El propagador es la amplitud para llegar al punto x en el tiempo t , al comenzar en el origen, x = 0. Por invariancia de traslación, la amplitud para alcanzar un punto x cuando se comienza en el punto y es la misma función, solo que ahora traducida,
En el límite cuando t es pequeño, el propagador, por supuesto, va a una función delta,
pero solo en el sentido de distribuciones : la integral de esta cantidad multiplicada por una función de prueba diferenciable arbitraria da el valor de la función de prueba en cero.
Para ver esto, observe que la integral sobre todo el espacio de K es igual a 1 en todo momento,
ya que esta integral es el producto interno de K con la función de onda uniforme. Pero el factor de fase en el exponente tiene una derivada espacial distinta de cero en todas partes excepto en el origen, por lo que cuando el tiempo es pequeño, hay cancelaciones de fase rápidas en todos menos en un punto. Esto es rigurosamente cierto cuando el límite ε → 0 se toma al final.
Entonces, el kernel de propagación es la evolución en el tiempo (futuro) de una función delta, y es continuo, en cierto sentido: va a la función delta inicial en pequeños momentos. Si la función de onda inicial es un pico infinitamente estrecho en la posición y ,
se convierte en la onda oscilatoria,
Ahora, dado que cada función se puede escribir como una suma ponderada de picos tan estrechos,
la evolución temporal de cada función ψ 0 es determinada por esta propagación del núcleo K ,
Por lo tanto, esta es una forma formal de expresar la solución fundamental o la solución general . La interpretación de esta expresión es que la amplitud de una partícula que se encuentra en el punto x en el tiempo t es la amplitud a la que comenzó en y , multiplicada por la amplitud que pasó de y a x , sumada a todos los posibles puntos de partida . En otras palabras, es una convolución del núcleo K con la condición inicial arbitraria ψ 0 ,
Como la amplitud de viajar de x a y después de un tiempo t + t 'se puede considerar en dos etapas, las obedece propagador la identidad composición,
que puede interpretarse de la siguiente manera: la amplitud para viajar de x a z en el tiempo t + t 'es la suma de la amplitud para viajar de x a y en el tiempo t , multiplicado por la amplitud de viajar desde y a z en el tiempo t ', sumado a todos los posibles estados intermedios y . Esta es una propiedad de un sistema cuántico arbitrario y, al subdividir el tiempo en muchos segmentos, permite que la evolución del tiempo se exprese como una integral de trayectoria . [12]
Continuación analítica a la difusión
La propagación de paquetes de ondas en mecánica cuántica está directamente relacionada con la propagación de densidades de probabilidad en difusión . Para una partícula que camina aleatoriamente , la función de densidad de probabilidad en cualquier punto satisface la ecuación de difusión (ver también la ecuación de calor ),
donde el factor de 2, que puede eliminarse reescalando el tiempo o el espacio, es solo por conveniencia.
Una solución de esta ecuación es la expansión gaussiana,
y, dado que la integral de ρ t es constante mientras que el ancho se vuelve estrecho en pequeños momentos, esta función se aproxima a una función delta en t = 0,
de nuevo sólo en el sentido de distribuciones, de modo que
para cualquier función de prueba sin problemas f .
El gaussiano de expansión es el núcleo de propagación para la ecuación de difusión y obedece a la identidad de convolución ,
lo que permite que la difusión se exprese como una integral de trayectoria. El propagador es el exponencial de un operador H ,
que es el operador de difusión infinitesimal,
Una matriz tiene dos índices, lo que en el espacio continuo la convierte en función de x y x '. En este caso, debido a la invariancia de traducción, el elemento de la matriz K solo depende de la diferencia de la posición, y un abuso conveniente de la notación es referirse al operador, los elementos de la matriz y la función de la diferencia con el mismo nombre:
La invariancia de traducción significa que la multiplicación de matrices continua,
es esencialmente convolución,
La exponencial se puede definir sobre un rango de t s que incluye valores complejos, siempre que las integrales sobre el núcleo de propagación permanezcan convergentes,
Siempre que la parte real de z sea positiva, para valores grandes de x , K es exponencialmente decreciente y las integrales sobre K son de hecho absolutamente convergentes.
El límite de esta expresión para que z se acerque al eje imaginario puro es el propagador de Schrödinger anterior encontrado,
que ilustra la evolución temporal anterior de los gaussianos.
Desde la identidad fundamental de exponenciación, o integración de caminos,
Se cumple para todos los valores z complejos , donde las integrales son absolutamente convergentes, de modo que los operadores están bien definidos.
Así, la evolución cuántica de un gaussiano, que es el complejo núcleo de difusión K ,
equivale al estado evolucionado en el tiempo,
Esto ilustra la forma difusiva anterior de las soluciones gaussianas complejas,
Ver también
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Observaciones
- ^ Por el contrario, la introducción de términos de interacción en ecuaciones dispersivas, como para el oscilador armónico cuántico , puede resultar en la aparición de soluciones envolventes no dispersivas de apariencia clásica; ver estados coherentes : Tales "estados de mínima incertidumbre" saturan el principio de incertidumbre permanentemente.
Notas
- ^ Modales 2000
- ^ Einstein 1905
- ^ Pauli 2000
- ^ Abers y Pearson 2004
- ^ Schiff 1968
- ^ Darwin, CG (1927). "Movimiento libre en la mecánica ondulatoria", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico 117 (776), 258-293.
- ^ Fitzpatrick
- ^ Berry y Balazs, 1979
- ^ De un sitio web de pedagogía general de Curtright .
- ^ "Amplitud y fase de paquetes de ondas en un potencial lineal" . Sociedad Estadounidense de Física, Phys. Rev. Lett.
- ^ Jackson 1975
- ^ Feynman y Hibbs, 1965
Referencias
- Einstein, Albert (1905), "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Sobre un punto de vista heurístico sobre la producción y transformación de la luz)" (PDF) , Annalen der Physik , 17 (6): 132-148, Código bibliográfico : 1905AnP ... 322..132E , doi : 10.1002 / andp.19053220607Este artículo de annus mirabilis sobre el efecto fotoeléctrico fue recibido por Annalen der Physik el 18 de marzo de 1905.
- Schiff, Leonard I. (1968), Mecánica cuántica (tercera ed.), Londres: McGraw-Hill
- Joy Manners (2000), Física cuántica: Introducción , CRC Press, págs. 53–56, ISBN 978-0-7503-0720-8
- Pauli, Wolfgang (2000), Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics , Books on Physics, Dover Publications , ISBN 978-0486414621
- Abers, E .; Pearson, Ed (2004), Mecánica cuántica , Addison Wesley , Prentice-Hall Inc. , ISBN 978-0-13-146100-0
- Richard Fitzpatrick, Oscilaciones y ondas
- Berry, MV; Balazs, NL (1979), "Nonspreading wave packets", Am J Phys , 47 (47): 264–267, Bibcode : 1979AmJPh..47..264B , doi : 10.1119 / 1.11855
- Jackson, JD (1975), Classical Electrodynamics (2a ed.), Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. , ISBN 978-0-471-43132-9
- Feynman, RP ; Hibbs, AR (1965), Mecánica cuántica e integrales de ruta , Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-020650-2( Dover , 2010, ISBN 0-486-47722-3 .)
- Wheeler, Nicholas (2004), Energética de un paquete de ondas gaussianas
enlaces externos
- Materiales de aprendizaje relacionados con el movimiento de paquetes de ondas en Wikiversity
- La definición del diccionario de paquete de ondas en Wiktionary
- Gráfico de paquetes de onda 1d en Google
- Gráfico de densidad de probabilidad y tren de ondas 1d en Google
- Diagrama de paquetes 2d Wave en Google
- Trazado de tren 2d Wave en Google
- Gráfica de densidad de probabilidad 2D en Google
- Una simulación de un paquete de ondas en 2D (según FOURIER-Synthesis en 2D)
- Curtright, TL, funciones Wigner dependientes del tiempo
- Web-Schödinger : simulación interactiva de dinámica de paquetes de ondas 2D