En matemáticas, el término módulo ("con respecto a un módulo de", el ablativo latino de módulo que en sí mismo significa "una pequeña medida") se usa a menudo para afirmar que dos objetos matemáticos distintos pueden considerarse equivalentes, si su diferencia es explicado por un factor adicional. [1] Fue introducido inicialmente a las matemáticas en el contexto de la aritmética modular por Carl Friedrich Gauss en 1801. [2] Desde entonces, el término ha ganado muchos significados, algunos exactos y otros imprecisos (como equiparar "módulo" con "excepto por"). [3] En su mayor parte, el término a menudo aparece en declaraciones de la forma:
- A es lo mismo que B módulo C
lo que significa
- A y B son los mismos, excepto para las diferencias contabilizado o explicarse por C .
Historia
Modulo es una jerga matemática que se introdujo en las matemáticas en el libro Disquisitiones Arithmeticae por Carl Friedrich Gauss en 1801. [4] Teniendo en cuenta los números enteros a , b y n , la expresión " un ≡ b (mod n )", pronunciado " una es congruente con b módulo n " significa que un - b es un múltiplo entero de n , o equivalentemente, una y b ambos comparten el mismo resto cuando se divide por n . Es el ablativo latino de módulo , que en sí mismo significa "una pequeña medida". [5]
El término ha ganado muchos significados a lo largo de los años, algunos exactos y otros imprecisos. La definición precisa más general es simplemente en términos de una relación de equivalencia R , donde una es equivalente (o congruentes) a b modulo R si aRb . [1] De manera más informal, el término se encuentra en declaraciones de la forma:
- A es lo mismo que B módulo C
lo que significa
- A y B son los mismos, excepto para las diferencias contabilizado o explicarse por C .
Uso
Uso original
Gauss originalmente la intención de utilizar "módulo" como sigue: dado los números enteros a , b y n , la expresión un ≡ b (mod n ) (pronunciado " una es congruente con b módulo n ") significa que un - b es un múltiplo entero de n , o de manera equivalente, a y b dejan el mismo resto cuando se dividen por n . Por ejemplo:
- 13 es congruente con 63 módulo 10
significa que
- 13 - 63 es un múltiplo de 10 (equiv., 13 y 63 difieren en un múltiplo de 10).
Informática
En informática y ciencias de la computación , el término se puede utilizar de varias formas:
- En el cálculo de , es típicamente la operación de módulo : dado dos números (ya sea entero o real), una y n , un modulo n es el resto de la numérico división de una por n , bajo ciertas restricciones.
- En la teoría de categorías aplicada a la programación funcional, "módulo operativo" es una jerga especial que se refiere a mapear un functor a una categoría resaltando o definiendo restos. [6]
Estructuras
El término "módulo" se puede utilizar de manera diferente, cuando se refiere a diferentes estructuras matemáticas. Por ejemplo:
- Dos miembros de una y B de un grupo son congruentes módulo un subgrupo normal , si y sólo si ab -1 es un miembro del subgrupo normal (ver grupo cociente y teorema de isomorfismo para más).
- Dos miembros de un anillo o un álgebra son congruentes módulo un ideal , si la diferencia entre ellos está en el ideal.
- Usado como verbo, el acto de factorizar un subgrupo normal (o un ideal) de un grupo (o anillo) a menudo se llama " modificar el ..." o "ahora modificamos el ...".
- Dos subconjuntos de un conjunto infinito son conjuntos finitos de módulo igual precisamente si su diferencia simétrica es finita, es decir, puede eliminar una pieza finita del primer subconjunto, luego agregarle una pieza finita y obtener el segundo subconjunto como resultado.
- Una breve secuencia exacta de mapas conduce a la definición de un espacio cociente como un espacio módulo otro; así, por ejemplo, que una cohomología es el espacio de formas cerradas módulo formas exactas.
Modificando
En general, modding out es un término algo informal que significa declarar cosas equivalentes que de otra manera se considerarían distintas. Por ejemplo, suponga que la secuencia 1 4 2 8 5 7 debe considerarse como la misma que la secuencia 7 1 4 2 8 5, porque cada una es una versión cíclicamente desplazada de la otra:
En ese caso, también se puede utilizar la frase "modding out by cyclic shifts ".
Ver también
- Esencialmente único
- Lista de jerga matemática
- Hasta
Referencias
- ^ a b "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Módulo" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
- ^ "Aritmética modular" . Enciclopedia Británica . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
- ^ "módulo" . catb.org . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
- ^ Bullynck, Maarten (1 de febrero de 2009). "Aritmética modular antes de CF Gauss: sistematizaciones y discusiones sobre problemas de resto en la Alemania del siglo XVIII". Historia Mathematica . 36 (1): 48–72. doi : 10.1016 / j.hm.2008.08.009 . ISSN 0315-0860 .
- ^ "modulo" , The Free Dictionary , consultado el 21-11-2019
- ^ Barr; Wells (1996). Teoría de categorías para las ciencias de la computación . Londres: Prentice Hall. pag. 22. ISBN 0-13-323809-1.
enlaces externos
- Módulo en el archivo de jerga