Las soluciones de esta ecuación se llaman raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes a , b , cyd de la ecuación cúbica son números reales , entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todas las funciones polinomiales de grado impar ). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden encontrar por los siguientes medios:
No es necesario que los coeficientes sean números reales. Mucho de lo que se cubre a continuación es válido para coeficientes en cualquier campo con características distintas de 2 y 3. Las soluciones de la ecuación cúbica no pertenecen necesariamente al mismo campo que los coeficientes. Por ejemplo, algunas ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales tienen raíces que son números complejos irracionales (e incluso no reales) .
Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios. [1] [2] [3] Se han encontrado tablillas cuneiformes babilónicas (siglos XX al XVI a. C.) con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas. [4] [5] Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia que confirme que lo hayan hecho. [6] El problema de duplicar el cubo involucra la ecuación cúbica más simple y más antigua estudiada, y una para la cual los antiguos egipcios no creían que existiera una solución. [7] En el siglo V a. C., Hipócratesredujo este problema al de encontrar dos medias proporcionales entre una línea y otra de dos veces su longitud, pero no pudo resolverlo con una construcción de compás y regla , [8] una tarea que ahora se sabe que es imposible. Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III. [2] En el siglo III d. C., el matemático griego Diofanto encontró soluciones enteras o racionales para algunas ecuaciones cúbicas bivariadas (ecuaciones diofánticas ). [3] [9]Se cree que Hipócrates, Menaecmo y Arquímedes estuvieron cerca de resolver el problema de doblar el cubo usando secciones cónicas que se cruzan , [8] aunque historiadores como Reviel Netz discuten si los griegos estaban pensando en ecuaciones cúbicas o simplemente en problemas que pueden llevar a ecuaciones. Algunos otros, como TL Heath , quien tradujo todas las obras de Arquímedes, no están de acuerdo, presentando evidencia de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas usando intersecciones de dos cónicas , pero también discutieron las condiciones donde las raíces son 0, 1 o 2. [10]
En el siglo VII, el matemático astrónomo de la dinastía Tang Wang Xiaotong en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing estableció y resolvió sistemáticamente 25 ecuaciones cúbicas de la forma x 3 + px 2 + qx = N , 23 de ellas con p , q ≠ 0 , y dos de ellos con q = 0 . [11]
En el siglo XI, el poeta-matemático persa, Omar Khayyam (1048-1131), hizo un progreso significativo en la teoría de ecuaciones cúbicas. En uno de sus primeros trabajos, descubrió que una ecuación cúbica puede tener más de una solución y afirmó que no se puede resolver utilizando construcciones de compás y regla. También encontró una solución geométrica . [12] [13] En su trabajo posterior, el Tratado de demostración de problemas de álgebra , escribió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de secciones cónicas . [14] [15]