Panal cúbico | |
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Tipo | Panal regular |
Familia | Nido de abeja hipercubo |
Indexación [1] | J 11,15 , A 1 W 1 , G 22 |
Símbolo de Schläfli | {4,3,4} |
Diagrama de Coxeter | |
Tipo de célula | {4,3} |
Tipo de cara | cuadrado {4} |
Figura de vértice | octaedro |
Notación fibrifold del grupo espacial | Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Grupo Coxeter | , [4,3,4] |
Doble | celda auto-dual : |
Propiedades | Vértice transitivo , regular |
El panal cúbico o celulación cúbica es el único mosaico de relleno de espacio regular adecuado (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano , formado por celdas cúbicas . Tiene 4 cubos alrededor de cada borde y 8 cubos alrededor de cada vértice. Su figura de vértice es un octaedro regular . Es una teselación auto-dual con el símbolo de Schläfli {4,3,4}. John Horton Conway llama cubille a este panal .
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Panales relacionados
Es parte de una familia multidimensional de panales de hipercubo , con símbolos de Schläfli de la forma {4,3, ..., 3,4}, comenzando con el mosaico cuadrado , {4,4} en el plano.
Es uno de los 28 panales uniformes que utilizan celdas poliédricas uniformes convexas .
Isometrías de celosías cúbicas simples
Las celosías cúbicas simples se pueden distorsionar en simetrías inferiores, representadas por sistemas de cristales inferiores:
Sistema de cristal | monoclínico triclínico | Ortorrómbico | Tetragonal | Romboédrico | Cúbico |
---|---|---|---|---|---|
Celda unitaria | Paralelepípedo | Cuboide rectangular | Cuboide cuadrado | Trapezoedro trigonal | Cubo |
Grupo de puntos Subgrupo de rotación de pedidos | [], (*) Pedido 2 [] + , (1) | [2,2], (* 222) Orden 8 [2,2] + , (222) | [4,2], (* 422) Orden 16 [4,2] + , (422) | [3], (* 33) Pedido 6 [3] + , (33) | [4,3], (* 432) Orden 48 [4,3] + , (432) |
Diagrama | |||||
Grupo espacial Subgrupo de rotación | Pm (6) P1 (1) | Mmmm (47) P222 (16) | P4 / mmm (123) P422 (89) | R3m (160) R3 (146) | Pm 3 m (221) P432 (207) |
Notación Coxeter | - | [∞] a × [∞] b × [∞] c | [4,4] a × [∞] c | - | [4,3,4] a |
Diagrama de Coxeter | - | - |
Colorantes uniformes
Existe una gran cantidad de coloraciones uniformes , derivadas de diferentes simetrías. Éstas incluyen:
Grupo espacial de notación Coxeter | Diagrama de Coxeter | Símbolo de Schläfli | Panal parcial | Colores por letras |
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[4,3,4] Pm 3 m (221) | = | {4,3,4} | 1: aaaa / aaaa | |
[4,3 1,1 ] = [4,3,4,1 + ] Fm 3 m (225) | = | {4,3 1,1 } | 2: abba / baab | |
[4,3,4] Pm 3 m (221) | t 0,3 {4,3,4} | 4: abbc / bccd | ||
[[4,3,4]] Pm 3 m (229) | t 0,3 {4,3,4} | 4: abbb / bbba | ||
[4,3,4,2, ∞] | o | {4,4} × t {∞} | 2: aaaa / bbbb | |
[4,3,4,2, ∞] | t 1 {4,4} × {∞} | 2: abba / abba | ||
[∞, 2, ∞, 2, ∞] | t {∞} × t {∞} × {∞} | 4: abcd / abcd | ||
[∞, 2, ∞, 2, ∞] = [4, (3,4) * ] | = | t {∞} × t {∞} × t {∞} | 8: abcd / efgh |
Proyecciones
El panal cúbico se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría. La forma de simetría más alta (hexagonal) se proyecta en un mosaico triangular . Una proyección de simetría cuadrada forma un mosaico cuadrado .
Simetría | p6m (* 632) | p4m (* 442) | mmm (* 2222) | ||
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Sólido | |||||
Marco |
Politopos y panales relacionados
Está relacionado con el tesseract regular de 4 politopos , símbolo de Schläfli {4,3,3}, que existe en 4 espacios, y solo tiene 3 cubos alrededor de cada borde. También está relacionado con el nido de abeja cúbico de orden 5 , símbolo de Schläfli {4,3,5}, del espacio hiperbólico con 5 cubos alrededor de cada borde.
Está en una secuencia de policora y panal con figuras de vértice octaédrico .
{p, 3,4} panales regulares | |||||||||||
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Espacio | S 3 | E 3 | H 3 | ||||||||
Formulario | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | No compacto | ||||||
Nombre | {3,3,4} | {4,3,4} | {5,3,4} | {6,3,4} | {7,3,4} | {8,3,4} | ... {∞, 3,4} | ||||
Imagen | |||||||||||
Células | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Está en una secuencia de politopos regulares y panales con celdas cúbicas .
{4,3, p} panales regulares | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | S 3 | E 3 | H 3 | ||||||||
Formulario | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | No compacto | ||||||
Nombre | {4,3,3} | {4,3,4} | {4,3,5} | {4,3,6} | {4,3,7} | {4,3,8} | ... {4,3, ∞} | ||||
Imagen | |||||||||||
Figura de vértice | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
{p, 3, p} panales regulares | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | S 3 | Euclidiana E 3 | H 3 | ||||||||
Formulario | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | No compacto | ||||||
Nombre | {3,3,3} | {4,3,4} | {5,3,5} | {6,3,6} | {7,3,7} | {8,3,8} | ... {∞, 3, ∞} | ||||
Imagen | |||||||||||
Células | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | ||||
Figura de vértice | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
Politopos relacionados
El panal cúbico tiene una simetría más baja que un panal cúbico runcinado, con dos tamaños de cubos . Se puede construir una construcción de doble simetría colocando un cubo pequeño en cada cubo grande, lo que da como resultado un panal no uniforme con cubos , prismas cuadrados y trapezoprismas rectangulares (un cubo con simetría D 2d ). Su figura de vértice es una pirámide triangular con sus caras laterales aumentadas por tetraedros.
Celda dual
El panal resultante se puede alternar para producir otro panal no uniforme con tetraedros regulares , dos tipos de difenoides tetragonales, pirámides triangulares y esfenoides. Su figura de vértice tiene simetría C 3v y tiene 26 caras triangulares, 39 aristas y 15 vértices.
Teselaciones euclidianas relacionadas
El [4,3,4], , El grupo Coxeter genera 15 permutaciones de teselados uniformes, 9 con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado. El panal cúbico expandido (también conocido como panal cúbico runcinado) es geométricamente idéntico al panal cúbico.
Panales C3 | |||||
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Grupo espacial | Fibrifold | Simetría extendida | Diagrama extendido | Pedido | Panales |
Pm 3 m (221) | 4 - : 2 | [4,3,4] | × 1 | 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 | |
Fm 3 metros (225) | 2 - : 2 | [1 + , 4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ] | ↔ | Mitad | 7 , 11 , 12 , 13 |
Yo 4 3m (217) | 4 o : 2 | [[(4,3,4,2 + )]] | Mitad × 2 | (7) , | |
Fd 3 metros (227) | 2 + : 2 | [[1 + , 4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]] | ↔ | Trimestre × 2 | 10 , |
Tengo 3 m (229) | 8 o : 2 | [[4,3,4]] | × 2 | (1) , 8 , 9 |
El [4,3 1,1 ],, El grupo Coxeter genera 9 permutaciones de teselados uniformes, 4 con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado.
Panales B3 | |||||
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Grupo espacial | Fibrifold | Simetría extendida | Diagrama extendido | Pedido | Panales |
Fm 3 metros (225) | 2 - : 2 | [4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ] | ↔ | × 1 | 1 , 2 , 3 , 4 |
Fm 3 metros (225) | 2 - : 2 | <[1 + , 4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]> | ↔ | × 2 | (1) , (3) |
Pm 3 m (221) | 4 - : 2 | <[4,3 1,1 ]> | × 2 | 5 , 6 , 7 , (6) , 9 , 10 , 11 |
Este panal es uno de los cinco panales uniformes distintos [2] construidos por el Grupo Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :
Panales A3 | ||||||
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Grupo espacial | Fibrifold | Simetría cuadrada | Simetría extendida | Diagrama extendido | Grupo extendido | Diagramas de panal |
F 4 3m (216) | 1 o : 2 | a1 | [3 [4] ] | (Ninguno) | ||
Fm 3 metros (225) | 2 - : 2 | d2 | <[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ] | ↔ | × 2 1 ↔ | 1 , 2 |
Fd 3 metros (227) | 2 + : 2 | g2 | [[3 [4] ]] o [2 + [3 [4] ]] | ↔ | × 2 2 | 3 |
Pm 3 m (221) | 4 - : 2 | d4 | <2 [3 [4] ]> ↔ [4,3,4] | ↔ | × 4 1 ↔ | 4 |
Yo 3 (204) | 8 −o | r8 | [4 [3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + , 4]] | ↔ | ½× 8 ↔ ½× 2 | (*) |
Tengo 3 m (229) | 8 o : 2 | [4 [3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]] | × 8 ↔× 2 | 5 |
Nido de abeja cúbico rectificado
Nido de abeja cúbico rectificado | |
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Tipo | Panal uniforme |
Símbolo de Schläfli | r {4,3,4} o t 1 {4,3,4} r {4,3 1,1 } 2r {4,3 1,1 } r {3 [4] } |
Diagramas de Coxeter | = = = = = |
Células | r {4,3} {3,4} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | prisma cuadrado |
Notación fibrifold del grupo espacial | Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Grupo Coxeter | , [4,3,4] |
Doble | Celda de octaedrilo oblato : |
Propiedades | Vértice-transitivo , borde-transitivo |
El panal cúbico rectificado o la celulación cúbica rectificada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos. Está compuesto por octaedros y cuboctaedros en una proporción de 1: 1, con una figura de vértice de prisma cuadrado .
John Horton Conway llama a este panal un cuboctaedrillo y su doble octaedrilo achatado .
Proyecciones
El panal cúbico rectificado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Simetría | p6m (* 632) | p4m (* 442) | mmm (* 2222) | ||
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Sólido | |||||
Marco |
Simetría
Hay cuatro colores uniformes para las celdas de este panal con simetría reflectante, enumerados por su grupo Coxeter y el nombre de construcción de Wythoff , y el diagrama de Coxeter a continuación.
Simetría | [4,3,4] | [1 + , 4,3,4] [4,3 1,1 ], | [4,3,4,1 + ] [4,3 1,1 ], | [1 + , 4,3,4,1 + ] [3 [4] ], |
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Grupo espacial | Pm 3 m (221) | Fm 3 metros (225) | Fm 3 metros (225) | F 4 3m (216) |
Colorante | ||||
Diagrama de Coxeter | ||||
Figura de vértice | ||||
Simetría de la figura del vértice | D 4h [4,2] (* 224) orden 16 | D 2h [2,2] (* 222) orden 8 | C 4v [4] (* 44) orden 8 | C 2v [2] (* 22) orden 4 |
Este nido de abeja se puede dividir en planos de alicatado trihexagonal , utilizando los centros hexagonales del cuboctaedro, creando dos cúpulas triangulares . Este panal de abejas escaliforme está representado por el diagrama de Coxeter, y símbolo s 3 {2,6,3}, con simetría de notación coxeter [2 + , 6,3].
- .
Politopos relacionados
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando octaedros en el cuboctaedro, lo que da como resultado un panal no uniforme con dos tipos de octaedros (octaedros regulares y antiprismas triangulares). La figura del vértice es un bifrustum cuadrado . El dual está compuesto por bipirámides cuadradas alargadas .
Celda dual
Panal cúbico truncado
Panal cúbico truncado | |
---|---|
Tipo | Panal uniforme |
Símbolo de Schläfli | t {4,3,4} o t 0,1 {4,3,4} t {4,3 1,1 } |
Diagramas de Coxeter | = |
Tipo de célula | t {4,3} {3,4} |
Tipo de cara | triángulo {3} cuadrado {4} octágono {8} |
Figura de vértice | pirámide cuadrada isósceles |
Notación fibrifold del grupo espacial | Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Grupo Coxeter | , [4,3,4] |
Doble | Célula Pyramidille : |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal cúbico truncado o la celulación cúbica truncada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos. Está compuesto por cubos truncados y octaedros en una proporción de 1: 1, con una figura de vértice piramidal cuadrada isósceles .
John Horton Conway llama a este panal un cubille truncado y su pirámide dual .
Proyecciones
El panal cúbico truncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Simetría | p6m (* 632) | p4m (* 442) | mmm (* 2222) | ||
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Sólido | |||||
Marco |
Simetría
Hay una segunda coloración uniforme por simetría de reflexión de los grupos de Coxeter , la segunda vista con celdas cúbicas truncadas de colores alternativos.
Construcción | Cúbico alterno bicantelado | Panal cúbico truncado |
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Grupo Coxeter | [4,3 1,1 ], | [4,3,4], = <[4,3 1,1 ]> |
Grupo espacial | Fm 3 m | Pm 3 m |
Colorante | ||
Diagrama de Coxeter | = | |
Figura de vértice |
Politopos relacionados
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando octaedros en los cubos truncados, lo que da como resultado un panal no uniforme con dos tipos de octaedros (octaedros regulares y antiprismas triangulares) y dos tipos de tetraedros (difenoides tetragonales y dispenoides digonales). La figura del vértice es una cúpula cuadrada de octakis.
Figura de vértice
Celda dual
Panal cúbico bitruncado
Panal cúbico bitruncado | |
---|---|
Tipo | Panal uniforme |
Símbolo de Schläfli | 2t {4,3,4} t 1,2 {4,3,4} |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
Células | t {3,4} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} |
Figura de borde | triángulo isósceles {3} |
Figura de vértice | difenoide tetragonal |
Grupo de simetría Notación fibrilar Notación de Coxeter | Estoy 3 m (229) 8 o : 2 [[4,3,4]] |
Grupo Coxeter | , [4,3,4] |
Doble | Celda de panal tetraédrico tetraédrico de tetraedrilo oblato : |
Propiedades | Vertex-transitivo , borde-transitivo , célula-transitivo |
El panal cúbico bitruncado es un mosaico que llena el espacio (o panal ) en el espacio euclidiano 3 formado por octaedros truncados (o, equivalentemente, cubos bitruncados ). Tiene cuatro octaedros truncados alrededor de cada vértice, en una figura de vértice tetragonal difenoide . Al estar compuesto enteramente por octaedros truncados , es transitivo de celda . También es transitivo por aristas , con 2 hexágonos y un cuadrado en cada arista, y transitivo por vértices . Es uno de los 28 panales uniformes .
John Horton Conway llama a este panal un octaedrilo truncado en su lista de teselación arquitectónica y catópica , con su doble llamado tetraedrilo oblato , también llamado panal tetraédrico difenoide . Aunque un tetraedro regular no puede teselar el espacio solo, este dual tiene células tetraedro difenoides idénticas con caras triangulares isósceles .
Proyecciones
El panal cúbico bitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría. La forma de simetría más alta (hexagonal) se proyecta en un mosaico rombitrihexagonal no uniforme . Una proyección de simetría cuadrada forma dos mosaicos cuadrados truncados superpuestos , que se combinan como un mosaico cuadrado biselado .
Simetría | p6m (* 632) | p4m (* 442) | mmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Sólido | |||||
Marco |
Simetría
La figura del vértice de este panal es un tetraedro difenoide , y también es el tetraedro de Goursat ( dominio fundamental ) para el Grupo Coxeter . Este panal tiene cuatro construcciones uniformes, con las celdas octaédricas truncadas que tienen diferentes grupos Coxeter y construcciones Wythoff . Estas simetrías uniformes se pueden representar coloreando de manera diferente las celdas en cada construcción.
Grupo espacial | Tengo 3 m (229) | Pm 3 m (221) | Fm 3 metros (225) | F 4 3m (216) | Fd 3 metros (227) |
---|---|---|---|---|---|
Fibrifold | 8 o : 2 | 4 - : 2 | 2 - : 2 | 1 o : 2 | 2 + : 2 |
Grupo Coxeter | × 2 [[4,3,4]] = [4 [3 [4] ]] = | [4,3,4] = [2 [3 [4] ]] = | [4,3 1,1 ] = <[3 [4] ]> = | [3 [4] ] | × 2 [[3 [4] ]] = [[3 [4] ]] |
Diagrama de Coxeter | |||||
octaedro truncado | 1 | 1: 1 : | 2: 1: 1 : : | 1: 1: 1: 1 : : : | 1: 1 : |
Figura de vértice | |||||
Simetría de la figura del vértice | [2 + , 4] (orden 8) | [2] (orden 4) | [] (orden 2) | [] + (orden 1) | [2] + (orden 2) |
Imagen coloreada por celda |
Politopos relacionados
Las variantes no uniformes con simetría [4,3,4] y dos tipos de octaedros truncados se pueden duplicar colocando los dos tipos de octaedros truncados para producir un panal no uniforme con octaedros truncados y prismas hexagonales (como trapezoprismas ditrigonales). Su figura de vértice es una bipirámide triangular asimétrica en C 2v .
Este panal se puede alternar para producir otro panal no uniforme con icosaedros piritoédricos , octaedros (como antiprismas triangulares) y tetraedros (como esfenoides). Su figura de vértice tiene simetría C 2v y consta de 2 pentágonos , 4 rectángulos , 4 triángulos isósceles (divididos en dos conjuntos de 2) y 4 triángulos escalenos .
Panal cúbico bitruncado alterno
Nido de abeja cúbico bitruncado alterno | |
---|---|
Tipo | Panal convexo |
Símbolo de Schläfli | 2s {4,3,4} 2s {4,3 1,1 } sr {3 [4] } |
Diagramas de Coxeter | = = = |
Células | {3,3} s {3,3} |
Caras | triángulo {3} |
Figura de vértice | |
Grupo Coxeter | [[4,3 + , 4]], |
Doble | Celda de panal de diez de diamantes : |
Propiedades | Vértice transitivo , no uniforme |
El panal cúbico bitruncado alterno o el panal cúbico bisnub no es uniforme, con la construcción de simetría más alta que refleja una alternancia del panal cúbico bitruncado uniforme. Una construcción de simetría inferior implica icosaedros regulares emparejados con icosaedros dorados (con 8 triángulos equiláteros emparejados con 12 triángulos dorados). Hay tres construcciones de tres diagramas de Coxeter relacionados :, , y . Estos tienen simetría [4,3 + , 4], [4, (3 1,1 ) + ] y [3 [4] ] + respectivamente. La primera y la última simetría se pueden duplicar como [[4,3 + , 4]] y [[3 [4] ]] + .
Este panal está representado en los átomos de boro del cristal α-rombiédrico . Los centros del icosaedro se encuentran en las posiciones fcc del enrejado. [3]
Grupo espacial | Yo 3 (204) | Pm 3 (200) | Fm 3 (202) | Fd 3 (203) | F23 (196) |
---|---|---|---|---|---|
Fibrifold | 8 −o | 4 - | 2 - | 2 o + | 1 o |
Grupo Coxeter | [[4,3 + , 4]] | [4,3 + , 4] | [4, (3 1,1 ) + ] | [[3 [4] ]] + | [3 [4] ] + |
Diagrama de Coxeter | |||||
Pedido | doble | completo | mitad | cuarto doble | trimestre |
Nido de abeja cúbico cantelado
Nido de abeja cúbico cantelado | |
---|---|
Tipo | Panal uniforme |
Símbolo de Schläfli | rr {4,3,4} o t 0,2 {4,3,4} rr {4,3 1,1 } |
Diagrama de Coxeter | = |
Células | rr {4,3} r {4,3} {} x {4} |
Figura de vértice | cuña |
Notación fibrifold del grupo espacial | Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Grupo Coxeter | [4,3,4], |
Doble | Cuarto de octaedrilo achatado Celda: |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal cúbico cantelado o la celulación cúbica cantelada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos. Está compuesto por rombicuboctaedros , cuboctaedros y cubos en una proporción de 1: 1: 3, con una figura de vértice en forma de cuña .
John Horton Conway llama a este panal un 2-RCO-trille , y su octaedrilo achatado de dos cuartos .
Imagenes
Está estrechamente relacionado con la estructura de la perovskita , que se muestra aquí con simetría cúbica, con átomos colocados en el centro de las celdas de este panal. |
Proyecciones
El panal cúbico cantelado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Simetría | p6m (* 632) | p4m (* 442) | mmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Sólido | |||||
Marco |
Simetría
Hay una segunda coloración uniforme por simetría de reflexión de los grupos de Coxeter , la segunda vista con células rombicuboctaédricas de colores alternativos.
Construcción | Panal cúbico truncado | Cúbico alterno bicantelado |
---|---|---|
Grupo Coxeter | [4,3,4], = <[4,3 1,1 ]> | [4,3 1,1 ], |
Grupo espacial | Pm 3 m | Fm 3 m |
Diagrama de Coxeter | ||
Colorante | ||
Figura de vértice | ||
Simetría de la figura del vértice | [] orden 2 | [] + pedido 1 |
Politopos relacionados
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando cuboctaedros en el rombicuboctaedro, lo que da como resultado el panal cúbico rectificado , tomando los espacios antiprisma triangulares como octaedros regulares , pares de antiprismas cuadrados y difenoides tetragonales de altura cero como componentes del cuboctaedro . Otras variantes dan como resultado cuboctaedros , antiprismas cuadrados , octaedros (como antipodios triangulares) y tetraedros (como difenoides tetragonales), con una figura de vértice topológicamente equivalente a un cubo con un prisma triangular unido a una de sus caras cuadradas.
Octaedrillo de cuarto achatado
El dual del panal cúbico cantelado se llama octaedrilo de cuarto achatado , una teselación catópica con diagrama de Coxeter , que contiene caras de dos de los cuatro hiperplanos del dominio fundamental cúbico [4,3,4].
Tiene celdas bipirámides triangulares irregulares que se pueden ver como 1/12 de un cubo, hechas del centro del cubo, 2 centros de caras y 2 vértices.
Panal cúbico cantitruncado
Panal cúbico cantitruncado | |
---|---|
Tipo | Panal uniforme |
Símbolo de Schläfli | tr {4,3,4} o t 0,1,2 {4,3,4} tr {4,3 1,1 } |
Diagrama de Coxeter | = |
Células | tr {4,3} t {3,4} {} x {4} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} octágono {8} |
Figura de vértice | esfenoides reflejados |
Grupo Coxeter | [4,3,4], |
Grupo de simetría Notación fibrifold | Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Doble | Células piramidales triangulares : |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal cúbico cantitruncated o cellulation cúbico cantitruncated es un relleno de espacio uniforme teselación (o panal ) en euclidiana 3-espacio, compuesto de cuboctahedra truncado , octaedros truncados , y los cubos en una proporción de 1: 1: 3, con un esfenoides espejo figura de vértice .
John Horton Conway llama a este panal un n-tCO-trille , y su pirámide triangular dual .
Imagenes
Existen cuatro celdas alrededor de cada vértice:
Proyecciones
El panal cúbico cantitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Simetría | p6m (* 632) | p4m (* 442) | mmm (* 2222) | ||
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Sólido | |||||
Marco |
Simetría
Las celdas se pueden mostrar en dos simetrías diferentes. La forma del diagrama de Coxeter lineal se puede dibujar con un color para cada tipo de celda. La forma del diagrama bifurcado se puede dibujar alternando dos tipos (colores) de células cuboctaedro truncadas .
Construcción | Cúbico cantitruncado | Cúbico alterno omnitruncado |
---|---|---|
Grupo Coxeter | [4,3,4], = <[4,3 1,1 ]> | [4,3 1,1 ], |
Grupo espacial | Pm 3 m (221) | Fm 3 metros (225) |
Fibrifold | 4 - : 2 | 2 - : 2 |
Colorante | ||
Diagrama de Coxeter | ||
Figura de vértice | ||
Simetría de la figura del vértice | [] orden 2 | [] + pedido 1 |
Pirámide triangular
El dual del panal cúbico cantitruncado se llama pirámide triangular , con diagrama de Coxeter ,. Estas celdas de panal representan los dominios fundamentales de simetría.
Una celda puede ser como 1/24 de un cubo de traslación con los vértices colocados: tomando dos esquinas, el centro de la cara ne y el centro del cubo. Los colores y etiquetas de los bordes especifican cuántas celdas existen alrededor del borde.
Poliedros y panales relacionados
Se relaciona con un apeiroedro sesgado con configuración de vértice 4.4.6.6, con los octágonos y algunos cuadrados eliminados. Puede verse como construido aumentando las celdas cuboctaédricas truncadas, o aumentando los octaedros y cubos truncados alternos.
Politopos relacionados
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando octaedros truncados en el cuboctaedro truncado, lo que da como resultado un panal no uniforme con octaedros truncados , prismas hexagonales (como trapezoprismas ditrigonales), cubos (como prismas cuadrados), prismas triangulares (como cuñas simétricas C 2v ) y tetraedros (como difenoides tetragonales). Su figura de vértice es topológicamente equivalente al octaedro .
Figura de vértice
Celda dual
Panal cúbico cantitruncado alternado
Panal cúbico cantitruncado alternado | |
---|---|
Tipo | Panal convexo |
Símbolo de Schläfli | sr {4,3,4} sr {4,3 1,1 } |
Diagramas de Coxeter | = |
Células | s {4,3} s {3,3} {3,3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | |
Grupo Coxeter | [(4,3) + , 4] |
Doble | Célula: |
Propiedades | Vértice transitivo , no uniforme |
El panal cúbico cantitruncado alternado o el panal cúbico rectificado chato contiene tres tipos de células: cubos chatos , icosaedros (con simetría T h ), tetraedros (como difenoides tetragonales) y nuevas células tetraédricas creadas en los huecos.
Aunque no es uniforme, constructivamente se puede dar como diagramas de Coxeter. o .
A pesar de no ser uniforme, hay una versión casi fallida con dos longitudes de borde que se muestran a continuación, una de las cuales es aproximadamente un 4,3% mayor que la otra. Los cubos chatos en este caso son uniformes, pero el resto de las celdas no lo son.
Nido de abeja cúbico Orthosnub
Nido de abeja cúbico Orthosnub | |
---|---|
Tipo | Panal convexo |
Símbolo de Schläfli | 2 s 0 {4,3,4} |
Diagramas de Coxeter | |
Células | s 2 {3,4} s {3,3} {} x {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | |
Grupo Coxeter | [4 + , 3,4] |
Doble | Célula: |
Propiedades | Vértice transitivo , no uniforme |
El nido de abeja cúbico orthosnub se construye desairando el octaedro truncado de una manera que deja solo rectángulos de los cubos (prismas cuadrados). No es uniforme pero se puede representar como diagrama de Coxeter. . Tiene rombicuboctaedros (con simetría T h ), icosaedros (con simetría T h ) y prismas triangulares (como cuñas de simetría C 2v ) que llenan los huecos.
Politopos relacionados
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando icosaedros en el rombicuboctaedro, lo que da como resultado un panal no uniforme con icosaedros , octaedros (como antiprismas triangulares), prismas triangulares (como cuñas simétricas de C 2v ) y pirámides cuadradas .
Figura de vértice
Celda dual
Panal cúbico runcitruncado
Panal cúbico runcitruncado | |
---|---|
Tipo | Panal uniforme |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,3 {4,3,4} |
Diagramas de Coxeter | |
Células | rr {4,3} t {4,3} {} x {8} {} x {4} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} octágono {8} |
Figura de vértice | pirámide isósceles-trapezoidal |
Grupo Coxeter | [4,3,4], |
Notación fibrifold del grupo espacial | Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Doble | cuarto cuadrado pyramidille Cell |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal cúbico runcitruncado o la celulación cúbica runcitruncated es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos. Está compuesto por rombicuboctaedros , cubos truncados , prismas octagonales y cubos en una proporción de 1: 1: 3: 3, con una figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
Su nombre se deriva de su diagrama de Coxeter ,con tres nodos anillados que representan 3 espejos activos en la construcción Wythoff de su relación con el panal cúbico regular .
John Horton Conway llama a este panal un 1-RCO-trille , y su pirámide de cuarto cuadrado doble .
Proyecciones
El panal cúbico runcitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Simetría | p6m (* 632) | p4m (* 442) | mmm (* 2222) | ||
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Sólido | |||||
Marco |
Apeiroedro de sesgo relacionado
Existen dos apeiroedros asimétricos uniformes relacionados con la misma disposición de vértice , que se ven como celdas de límite de un subconjunto de celdas. Uno tiene triángulos y cuadrados, y el otro triángulos, cuadrados y octágonos.
Pirámide de cuarto cuadrado
El dual al panal cúbico runcitruncado se llama pirámide de cuarto cuadrado , con diagrama de Coxeter . Existen rostros en 3 de 4 hiperplanos del [4,3,4], Grupo Coxeter.
Las celdas son pirámides irregulares y pueden verse como 1/24 de un cubo, usando una esquina, un punto de borde medio, dos centros de caras y el centro del cubo.
Politopos relacionados
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando rombicuboctaedros en los cubos truncados, lo que da como resultado un panal no uniforme con rombicuboctaedros , octaedros (como antiprismas triangulares), cubos (como prismas cuadrados), dos tipos de prismas triangulares (ambos C 2v- cuñas simétricas) y tetraedros (como difenoides digonales). Su figura de vértice es topológicamente equivalente al prisma triangular aumentado .
Figura de vértice
Celda dual
Panal cúbico omnitruncado
Panal cúbico omnitruncado | |
---|---|
Tipo | Panal uniforme |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,2,3 {4,3,4} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | tr {4,3} {} x {8} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} octágono {8} |
Figura de vértice | disphenoid fílico |
Grupo de simetría Notación fibrilar Notación de Coxeter | Estoy 3 m (229) 8 o : 2 [[4,3,4]] |
Grupo Coxeter | [4,3,4], |
Doble | octava celda pyramidille |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal cúbico omnitruncado o la celulación cúbica omnitruncada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por cuboctaedros truncados y prismas octogonales en una proporción de 1: 3, con una figura de vértice filosofenoidal .
John Horton Conway llama a este panal un b-tCO-trille , y su octava pirámide dual .
Proyecciones
El nido de abeja cúbico omnitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Simetría | p6m (* 632) | p4m (* 442) | mmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Sólido | |||||
Marco |
Simetría
Las celdas se pueden mostrar en dos simetrías diferentes. La forma del diagrama de Coxeter tiene dos colores de cuboctaedros truncados y prismas octogonales . La simetría se puede duplicar relacionando la primera y la última rama del diagrama de Coxeter, que se puede mostrar con un color para todas las celdas del prisma cuboctaédrico y octagonal truncado.
Simetría | , [4,3,4] | × 2, [[4,3,4]] |
---|---|---|
Grupo espacial | Pm 3 m (221) | Tengo 3 m (229) |
Fibrifold | 4 - : 2 | 8 o : 2 |
Colorante | ||
Diagrama de Coxeter | ||
Figura de vértice |
Poliedros relacionados
Existen dos apeiroedros oblicuos uniformes relacionados con la misma disposición de vértice . El primero tiene octágonos eliminados y la configuración de vértice 4.4.4.6. Puede verse como cuboctaedros truncados y prismas octogonales aumentados juntos. El segundo puede verse como prismas octogonales aumentados, configuración de vértice 4.8.4.8.
4.4.4.6 | 4.8.4.8 |
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Politopos relacionados
Las variantes no uniformes con simetría [4,3,4] y dos tipos de cuboctaedros truncados se pueden duplicar colocando los dos tipos de cuboctaedros truncados entre sí para producir un panal no uniforme con cuboctaedros truncados , prismas octogonales , prismas hexagonales (como trapezoprismas ditrigonales) y dos tipos de cubos (como trapezoprismas rectangulares y sus variantes simétricas C 2v ). Su figura de vértice es una bipirámide triangular irregular .
Figura de vértice
Celda dual
Este panal se puede alternar para producir otro panal no uniforme con cubos chatos , antiprismas cuadrados , octaedros (como antiprismas triangulares) y tres tipos de tetraedros (como difenoides tetragonales, difenoides fílicos y tetraedros irregulares).
Figura de vértice
Panal cúbico omnitruncado alternado
Panal cúbico omnitruncado alternado | |
---|---|
Tipo | Panal convexo |
Símbolo de Schläfli | ht 0,1,2,3 {4,3,4} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | s {4,3} s {2,4} {3,3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | |
Simetría | [[4,3,4]] + |
Doble | Nido de abeja cúbico omnitruncado alterno dual |
Propiedades | Vértice transitivo , no uniforme |
Se puede construir un panal cúbico omnitruncado alternado o un panal cúbico omnisnub alternando el panal cúbico omnitruncado, aunque no se puede hacer uniforme, pero se le puede dar el diagrama de Coxeter :y tiene simetría [[4,3,4]] + . Hace cubos chatos a partir de los cuboctaedros truncados , antiprismas cuadrados a partir de los prismas octogonales y crea nuevas células tetraédricas a partir de los huecos.
Nido de abeja cúbico omnitruncado alterno dual
Nido de abeja cúbico omnitruncado alterno dual | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme alternado dual |
Símbolo de Schläfli | dht 0,1,2,3 {4,3,4} |
Diagrama de Coxeter | |
Célula | |
Figuras de vértice | pentagonal icositetraedro tetragonal trapezoedro tetraedro |
Simetría | [[4,3,4]] + |
Doble | Panal cúbico omnitruncado alternado |
Propiedades | Transitivo celular |
Un panal de abeja cúbico omnitruncado alterno dual es un panal de abeja que llena el espacio construido como el panal de abeja cúbico omnitruncado alterno dual .
24 celdas caben alrededor de un vértice, lo que crea una simetría octaédrica quiral que se puede apilar en las 3 dimensiones:
Las celdas individuales tienen simetría rotacional doble. En la proyección ortogonal 2D, esto parece una simetría especular.
Neto | |||
Nido de abeja cúbico Bialternatosnub
Nido de abeja cúbico Bialternatosnub | |
---|---|
Tipo | Panal convexo |
Símbolo de Schläfli | sr 3 {4,3,4} |
Diagramas de Coxeter | |
Células | s 2 {3,4} s {4,3} {} x {4} {} x {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | |
Grupo Coxeter | [4,3 + , 4] |
Doble | Célula: |
Propiedades | Vértice transitivo , no uniforme |
El panal cúbico bialternatosnub o el panal cúbico cantitruncado rúncico o la celulación cúbica cantitruncada rúncica se construye eliminando rectángulos largos alternos de los octágonos y no es uniforme, pero se puede representar como diagrama de Coxeter . Tiene rombicuboctaedros (con simetría T h ), cubos chatos , dos tipos de cubos : prismas cuadrados y trapezoprismas rectangulares (topológicamente equivalentes a un cubo pero con simetría D 2d ) y prismas triangulares (como cuñas de simetría C 2v ) llenando los huecos. .
Nido de abeja cúbico Biorthosnub
Nido de abeja cúbico Biorthosnub | |
---|---|
Tipo | Panal convexo |
Símbolo de Schläfli | 2 s 0,3 {4,3,4} |
Diagramas de Coxeter | |
Células | s 2 {3,4} {} x {4} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | ( Anticuña tetragonal ) |
Grupo Coxeter | [[4,3 + , 4]] |
Doble | Célula: |
Propiedades | Vértice transitivo , no uniforme |
El panal cúbico de biorthosnub se construye eliminando rectángulos alternos largos de los octágonos ortogonalmente y no es uniforme, pero se puede representar como diagrama de Coxeter . Tiene rombicuboctaedros (con simetría T h ) y dos tipos de cubos : prismas cuadrados y trapezoprismas rectangulares (topológicamente equivalente a un cubo pero con simetría D 2d ).
Panal prismático cuadrado truncado
Panal prismático cuadrado truncado | |
---|---|
Tipo | Panal uniforme |
Símbolo de Schläfli | t {4,4} × {∞} o t 0,1,3 {4,4,2, ∞} tr {4,4} × {∞} o t 0,1,2,3 {4,4, ∞} |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
Células | {} x {8} {} x {4} |
Caras | cuadrado {4} octágono {8} |
Grupo Coxeter | [4,4,2, ∞] |
Doble | Celda de mosaico prismático cuadrado Tetrakis : |
Propiedades | Vértice-transitivo |
La celulación prismática prismática cuadrada truncada o la celulación prismática tomo-cuadrada es una teselación que llena el espacio (o panal ) en el 3-espacio euclidiano . Está compuesto por prismas octagonales y cubos en una proporción de 1: 1.
Está construido a partir de un mosaico cuadrado truncado extruido en prismas.
Es uno de los 28 panales uniformes convexos .
Nido de abeja prismático cuadrado chato
Nido de abeja prismático cuadrado chato | |
---|---|
Tipo | Panal uniforme |
Símbolo de Schläfli | s {4,4} × {∞} sr {4,4} × {∞} |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
Células | {} x {4} {} x {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Grupo Coxeter | [4 + , 4,2, ∞] [(4,4) + , 2, ∞] |
Doble | Celda de panal prismática pentagonal de Cairo : |
Propiedades | Vértice-transitivo |
La chata panal prismática cuadrada o cellulation prismática simo-cuadrado es un relleno de espacio teselado (o panal ) en euclidiana 3-espacio . Está compuesto por cubos y prismas triangulares en una proporción de 1: 2.
Está construido a partir de un mosaico cuadrado chato extruido en prismas.
Es uno de los 28 panales uniformes convexos .
Panal antiprismatico cuadrado chapado
Panal antiprismatico cuadrado chapado | |
---|---|
Tipo | Panal convexo |
Símbolo de Schläfli | ht 0,1,3 {4,4,2, ∞} ht 0,1,2,3 {4,4, ∞} |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
Células | s {2,4} {3,3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | |
Simetría | [4,4,2, ∞] + |
Propiedades | Vértice transitivo , no uniforme |
Se puede construir un panal antipismático cuadrado chato alternando el panal prismático cuadrado truncado, aunque no se puede uniformar, pero se le puede dar el diagrama de Coxeter :y tiene simetría [4,4,2, ∞] + . Hace antiprismas cuadrados de los prismas octogonales , tetraedros (como difenoides tetragonales) de los cubos y dos tetraedros de las bipirámides triangulares .
Ver también
- Teselación arquitectónica y catópica
- Nido de abeja cúbico alternado
- Lista de politopos regulares
- Nido de abeja cúbico Order-5 Un panal cúbico hiperbólico con 5 cubos por borde
- voxel
Referencias
- ^ Para referencias cruzadas, se proporcionan con índices de lista de Andreini (1-22), Williams (1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51 -52, 61-65) y Grünbaum (1-28).
- ^ [1] , A000029 6-1 casos, omitiendo uno con cero
- ^ Williams, 1979, p 199, Figura 5-38.
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas , ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 21, Nombrar los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Cataluña, teselaciones arquitectónicas y catóptricas, pág. 292-298, incluye todas las formas no prismáticas)
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Tabla II: Panales regulares
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Lista completa de 11 teselaciones uniformes convexas, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracumbas uniformes convexas)
- Branko Grünbaum , Azulejos uniformes de 3 espacios. Geombinatoria 4 (1994), 49 - 56.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Rellenos de espacios uniformes)
- A. Andreini , Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (En las redes regulares y semirregulares de poliedros y en las redes correlativas correspondientes), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- Klitzing, Richard. "Panales euclidianos 3D x4o3o4o - chon - O1" .
- Panales uniformes en 3 espacios: 01-Chon
Espacio | Familia | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Uniforme de 10 panal | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |