En geometría , un mosaico uniforme es una teselación del plano por caras de polígono regulares con la restricción de ser transitivo por vértice .
Pueden existir teselaciones uniformes tanto en el plano euclidiano como en el plano hiperbólico . Los mosaicos uniformes están relacionados con los poliedros uniformes finitos que pueden considerarse mosaicos uniformes de la esfera .
La mayoría de los mosaicos uniformes se pueden hacer a partir de una construcción de Wythoff comenzando con un grupo de simetría y un punto generador singular dentro del dominio fundamental . Un grupo de simetría plana tiene un dominio fundamental poligonal y puede ser representado por el nombre del grupo representado por el orden de los espejos en los vértices secuenciales.
Un triángulo de dominio fundamental es ( p q r ) y un triángulo rectángulo ( p q 2), donde p , q , r son números enteros mayores que 1. El triángulo puede existir como un triángulo esférico , un triángulo plano euclidiano o un hiperbólica triángulo plano, en función de los valores de p , q y r .
Hay una serie de esquemas simbólicos para nombrar estas figuras, a partir de un símbolo de Schläfli modificado para dominios de triángulos rectángulos: ( p q 2) → { p , q }. El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico triangular con p , q , r etiquetados en los bordes. Si r = 2, el gráfico es lineal ya que los nodos de dominio de orden 2 no generan reflejos. El símbolo de Wythoff toma los 3 números enteros y los separa con una barra vertical (|). Si el punto generador está fuera del espejo opuesto a un nodo de dominio, se da antes de la barra.
Finalmente, los mosaicos se pueden describir por su configuración de vértice , la secuencia de polígonos alrededor de cada vértice.
Todos los mosaicos uniformes se pueden construir a partir de varias operaciones aplicadas a los mosaicos regulares . Estas operaciones, como las nombró Norman Johnson, se denominan truncamiento (corte de vértices), rectificación (corte de vértices hasta que desaparezcan los bordes) y cantelación (corte de bordes). La omnitruncación es una operación que combina truncamiento y cantelación. El desaire es una operación de truncamiento alternativo de la forma omnitruncada. (Consulte Operadores de construcción de poliedro uniforme # Wythoff para obtener más detalles).
Grupos de Coxeter
Los grupos de Coxeter para el plano definen la construcción de Wythoff y se pueden representar mediante diagramas de Coxeter-Dynkin :
Para grupos con pedidos de números enteros, que incluyen:
Simetría orbifold | Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter | notas | ||
---|---|---|---|---|---|
Compacto | |||||
* 333 | (3 3 3) | [3 [3] ] | ![]() ![]() ![]() | 3 formas reflectantes, 1 desaire | |
* 442 | (4 4 2) | [4,4] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 5 formas reflectantes, 1 desaire | |
* 632 | (6 3 2) | [6,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 7 formas reflectantes, 1 desaire | |
* 2222 | (∞ 2 ∞ 2) | × | [∞, 2, ∞] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 3 formas reflectantes, 1 desaire |
No compacto ( friso ) | |||||
* ∞∞ | (∞) | [∞] | ![]() ![]() ![]() | ||
* 22∞ | (2 2 ∞) | × | [∞, 2] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2 formas reflectantes, 1 chata |
Simetría orbifold | Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter | notas | |
---|---|---|---|---|
Compacto | ||||
* pq2 | (pq 2) | [p, q] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2 (p + q) |
* pqr | (pqr) | [(p, q, r)] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | pq + pr + qr |
Paracompacto | ||||
* ∞p2 | (p ∞ 2) | [p, ∞] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | p> = 3 |
* ∞pq | (pq ∞) | [(p, q, ∞)] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | p, q> = 3, p + q> 6 |
* ∞∞p | (p ∞ ∞) | [(p, ∞, ∞)] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | p> = 3 |
* ∞∞∞ | (∞ ∞ ∞) | [(∞, ∞, ∞)] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Azulejos uniformes del plano euclidiano.
Hay grupos de simetría en el plano euclidiano construidos a partir de triángulos fundamentales: (4 4 2), (6 3 2) y (3 3 3). Cada uno está representado por un conjunto de líneas de reflexión que dividen el plano en triángulos fundamentales.
Estos grupos de simetría crean 3 mosaicos regulares y 7 semirregulares. Varias de las teselaciones semirregulares se repiten a partir de diferentes constructores de simetría.
Un grupo de simetría prismática representado por (2 2 2 2) representa por dos conjuntos de espejos paralelos, que en general pueden tener un dominio fundamental rectangular. No genera nuevos mosaicos.
Otro grupo de simetría prismática representado por (∞ 2 2) que tiene un dominio fundamental infinito. Construye dos mosaicos uniformes, el prisma apeirogonal y el antiprisma apeirogonal .
El apilamiento de las caras finitas de estos dos mosaicos prismáticos construye un mosaico uniforme no wythoffiano del plano. Se llama mosaico triangular alargado , compuesto por capas alternas de cuadrados y triángulos.
Triángulos fundamentales de ángulo recto: ( p q 2)
( p q 2) | Fondo. triangulos | Padre | Truncado | Rectificado | Bitruncado | Birectificado (dual) | Cantelado | Omnitruncado ( Cantitruncado ) | Desaire |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Símbolo de Wythoff | q | p 2 | 2 q | pag | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
Símbolo de Schläfli | { p , q } | t { p , q } | r {p, q} | 2t {p, q} = t {q, p} | 2r {p, q} = {q, p} | rr {p, q} | tr {p, q} | sr {p, q} | |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Configuración de vértice. | p q | q.2p.2p | (pq) 2 | pag. 2q.2q | q p | pag. 4.q.4 | 4.2p.2q | 3.3.p. 3.q | |
Azulejos cuadrados (4 4 2) | ![]() | ![]() {4,4} | ![]() 4.8.8 | ![]() 4.4.4.4 | ![]() 4.8.8 | ![]() {4,4} | ![]() 4.4.4.4 | ![]() 4.8.8 | ![]() 3.3.4.3.4 |
Azulejos hexagonales (6 3 2) | ![]() | ![]() {6,3} | ![]() 3.12.12 | ![]() 3.6.3.6 | ![]() 6.6.6 | ![]() {3,6} | ![]() 3.4.6.4 | ![]() 4.6.12 | ![]() 3.3.3.3.6 |
Triángulos fundamentales generales: (pqr)
Símbolo Wythoff (pqr) | Fondo. triangulos | q | pr | rq | pag | r | pq | rp | q | p | qr | pq | r | pqr | | | pqr |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Configuración de vértice. | (pq) r | r.2p.q.2p | (pr) q | q.2r.p. 2r | (qr) p | q.2r.p. 2r | r.2q.p. 2q | 3.r.3.q.3.p | |
Triangular (3 3 3) | ![]() | ![]() (3.3) 3 | ![]() 3.6.3.6 | ![]() (3.3) 3 | ![]() 3.6.3.6 | ![]() (3.3) 3 | ![]() 3.6.3.6 | ![]() 6.6.6 | ![]() 3.3.3.3.3.3 |
Dominios fundamentales no simples
El único dominio fundamental posible en el espacio euclidiano 2 que no es simplex es el rectángulo (∞ 2 ∞ 2), con el diagrama de Coxeter :. Todas las formas generadas a partir de él se convierten en un mosaico cuadrado .
Mosaicos uniformes del plano hiperbólico
Hay infinitos mosaicos uniformes de polígonos regulares convexos en el plano hiperbólico , cada uno basado en un grupo de simetría reflectante diferente (pqr).
Aquí se muestra una muestra con una proyección de disco de Poincaré .
El diagrama de Coxeter-Dynkin se presenta en forma lineal, aunque en realidad es un triángulo, con el segmento final r que se conecta al primer nodo.
Existen más grupos de simetría en el plano hiperbólico con dominios fundamentales cuadriláteros que comienzan con (2 2 2 3), etc., que pueden generar nuevas formas. También hay dominios fundamentales que colocan los vértices en el infinito, como (∞ 2 3), etc.
Triángulos fundamentales de ángulo recto: ( p q 2)
(pq 2) | Fondo. triangulos | Padre | Truncado | Rectificado | Bitruncado | Birectificado (dual) | Cantelado | Omnitruncado ( Cantitruncado ) | Desaire |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Símbolo de Wythoff | q | p 2 | 2 q | pag | 2 | pq | 2 p | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pq 2 | |
Símbolo de Schläfli | t {p, q} | t {p, q} | r {p, q} | 2t {p, q} = t {q, p} | 2r {p, q} = {q, p} | rr {p, q} | tr {p, q} | sr {p, q} | |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Figura de vértice | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (pág. 2q.2q) | q p | (pág. 4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p. 3.q) | |
(5 4 2) | ![]() V4.8.10 | ![]() {5,4} | ![]() 4.10.10 | ![]() 4.5.4.5 | ![]() 5.8.8 | ![]() {4,5} | ![]() 4.4.5.4 | ![]() 4.8.10 | ![]() 3.3.4.3.5 |
(5 5 2) | ![]() V4.10.10 | ![]() {5,5} | ![]() 5.10.10 | ![]() 5.5.5.5 | ![]() 5.10.10 | ![]() {5,5} | ![]() 5.4.5.4 | ![]() 4.10.10 | ![]() 3.3.5.3.5 |
(7 3 2) | ![]() V4.6.14 | ![]() {7,3} | ![]() 3.14.14 | ![]() 3.7.3.7 | ![]() 7.6.6 | ![]() {3,7} | ![]() 3.4.7.4 | ![]() 4.6.14 | ![]() 3.3.3.3.7 |
(8 3 2) | ![]() V4.6.16 | ![]() {8,3} | ![]() 3.16.16 | ![]() 3.8.3.8 | ![]() 8.6.6 | ![]() {3,8} | ![]() 3.4.8.4 | ![]() 4.6.16 | ![]() 3.3.3.3.8 |
Triángulos fundamentales generales (pqr)
Símbolo Wythoff (pqr) | Fondo. triangulos | q | pr | rq | pag | r | pq | rp | q | p | qr | pq | r | pqr | | | pqr |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Figura de vértice | (pr) q | (r.2p.q.2p) | (pq) r | (q.2r.p. 2r) | (qr) p | (r.2q.p. 2q) | (2p.2q.2r) | (3.r.3.q.3.p) | |
(4 3 3) | ![]() V6.6.8 | ![]() (3.4) 3 | ![]() 3.8.3.8 | ![]() (3.4) 3 | ![]() 3.6.4.6 | ![]() (3.3) 4 | ![]() 3.6.4.6 | ![]() 6.6.8 | ![]() 3.3.3.3.3.4 |
(4 4 3) | ![]() V6.8.8 | ![]() (3.4) 4 | ![]() 3.8.4.8 | ![]() (4,4) 3 | ![]() 3.6.4.6 | ![]() (3.4) 4 | ![]() 4.6.4.6 | ![]() 6.8.8 | ![]() 3.3.3.4.3.4 |
(4 4 4) | ![]() V8.8.8 | ![]() (4,4) 4 | ![]() 4.8.4.8 | ![]() (4,4) 4 | ![]() 4.8.4.8 | ![]() (4,4) 4 | ![]() 4.8.4.8 | ![]() 8.8.8 | ![]() 3.4.3.4.3.4 |
Listas ampliadas de mosaicos uniformes
Hay varias formas en que se puede ampliar la lista de mosaicos uniformes:
- Las figuras de vértice pueden tener caras retrógradas y dar la vuelta al vértice más de una vez.
- Se pueden incluir baldosas poligonales de estrellas
- Apeirogons , {∞}, se pueden utilizar como caras de mosaico.
- La restricción de que las baldosas se unen de borde a borde se puede relajar, lo que permite embaldosados adicionales como el mosaico de Pitágoras .
Los triángulos de grupo de simetría con retrogrados incluyen:
- (4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)
Los triángulos de grupo de simetría con infinito incluyen:
- (4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)
Branko Grünbaum , en el libro de 1987 Tilings and patterns , en la sección 12.3 enumera una lista de 25 mosaicos uniformes, incluidas las 11 formas convexas, y agrega 14 más que él llama mosaicos huecos que incluían las dos primeras expansiones anteriores, caras poligonales de estrellas y figuras de vértices. .
HSM Coxeter et al., En el artículo de 1954 'Poliedros uniformes', en la Tabla 8: Teselaciones uniformes , utiliza las tres primeras expansiones y enumera un total de 38 mosaicos uniformes. Si también se contabiliza una baldosa hecha de 2 apeirogons, el total puede considerarse 39 baldosas uniformes.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/0/01/Six_uniform_tiling_vertex_figures.png/320px-Six_uniform_tiling_vertex_figures.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/3/31/Twenty_one_uniform_tiling_vertex_figures.png/320px-Twenty_one_uniform_tiling_vertex_figures.png)
Además de las 11 soluciones convexas, las 28 teselaciones de estrellas uniformes enumeradas por Coxeter et al. , agrupados por gráficos de bordes compartidos, se muestran a continuación. Para mayor claridad, los primeros siete mosaicos no se colorean con apeirogons y, a partir de entonces, solo se colorean los polígonos alrededor de un vértice.
# [1] | Diagrama | Configuración de vértice | Wythoff | Simetría | Notas |
---|---|---|---|---|---|
I1 | ![]() | ∞.∞ | p1m1 | (Dos baldosas de semiplano, orden 2 baldosas apeirogonal ) | |
I2 | ![]() | 4.4.∞ | ∞ 2 | 2 | p1m1 | Prisma apeirogonal |
I3 | ![]() | 3.3.3.∞ | | 2 2 ∞ | p11g | Antiprisma apeirogonal |
Simetría del grupo de papel tapiz | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
McNeill [1] | Grünbaum [2] | Diagrama de aristas | Sólido | Configuración de vértice | Wythoff | Simetría |
I4 | ![]() | ![]() | 4.∞.4 / 3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m | |
I5 | ![]() | ![]() | (3.∞.3.∞.3.∞) / 2 | 3/2 | 3 ∞ | p6m | |
I6 | ![]() | ![]() | 6.∞.6 / 5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | ||
I7 | ![]() | ∞.3.∞.3 / 2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ | |||
1 | 15 | ![]() | ![]() | 3 / 2.12.6.12 -3.12.6.12 | 3/2 6 | 6 | p6m |
dieciséis | ![]() | 4.12.4 / 3.12 / 11 4.12.4 / 3.-12 | 2 6 (3/2 6/2) | | |||
2 | ![]() | ![]() | 8 / 3.4.8 / 3.∞ | 4 ∞ | 4/3 | p4m | |
7 | ![]() | 8 / 3.8.8 / 5.8 / 7 8 / 3.8.-8 / 3.-8 | 4/3 4 (4/2 ∞ / 2) | | |||
![]() | 8.4 / 3.8.∞ 8.-4.8.∞ | 4/3 ∞ | 4 | ||||
3 | ![]() | ![]() | 12 / 5.6.12 / 5.∞ | 6 ∞ | 6/5 | p6m | |
21 | ![]() | 12 / 5.12.12 / 7.12 / 11 12 / 5.12.-12 / 5.-12 | 6/5 6 (6/2 ∞ / 2) | | |||
![]() | 12.6 / 5.12.∞ 12.-6.12.∞ | 6/5 ∞ | 6 | ||||
4 | 18 | ![]() | ![]() | 12 / 5.3.12 / 5.6 / 5 | 3 6 | 6/5 | p6m |
19 | ![]() | 12 / 5.4.12 / 7.4 / 3 12 / 5.4.-12 / 5.-4 | 2 6/5 (3/2 6/2) | | |||
17 | ![]() | 4.3 / 2.4.6 / 5 4.-3.4.-6 | 3/2 6 | 2 | |||
5 | ![]() | ![]() | 8.8 / 3.∞ | 4/3 4 ∞ | | p4m | |
6 | ![]() | ![]() | 12.12 / 5.∞ | 6/5 6 ∞ | | p6m | |
7 | 6 | ![]() | ![]() | 8.4 / 3.8 / 5 4.8.-8/3 | 2 4/3 4 | | p4m |
8 | 13 | ![]() | ![]() | 6.4 / 3.12 / 7 -6.4.12 / 5 | 2 3 6/5 | | p6m |
9 | 12 | ![]() | ![]() | 12.6 / 5.12 / 7 -12.6.12 / 5 | 3 6/5 6 | | p6m |
10 | 8 | ![]() | ![]() | 4,8 / 5,8 / 5 -4,8 / 3,8 / 3 | 2 4 | 4/3 | p4m |
11 | 22 | ![]() | ![]() | 12 / 5.12 / 5.3 / 2 12 / 5.12 / 5.-3 | 2 3 | 6/5 | p6m |
12 | 2 | ![]() | ![]() | 4.4.3 / 2.3 / 2.3 / 2 4.4.-3.-3.-3 | no Wythoffian | cmm |
13 | 4 | ![]() | 4.3 / 2.4.3 / 2.3 / 2 4.-3.4.-3.-3 | | 2 4/3 4/3 | p4g | |
14 | ![]() | 3.4.3.4/3.3.∞ 3.4.3.-4.3.∞ | | 4/3 4 ∞ | p4g |
Azulejos auto-duales
![The {4,4} square tiling (black) with its dual (red).](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/4/42/Self-dual_square_tiling.png)
Los mosaicos también pueden ser auto-duales . El mosaico cuadrado, con el símbolo de Schläfli {4,4}, es auto-dual; aquí se muestran dos mosaicos cuadrados (rojo y negro), duales entre sí.
Mosaicos uniformes utilizando polígonos en estrella
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/27/Hexagon_hexagram_tiling2.png/220px-Hexagon_hexagram_tiling2.png)
π / 8.4 **
π / 4.8 *
π / 4 no se considera de borde a borde debido al gran cuadrado, aunque puede interpretarse como un polígono en estrella con pares de bordes colineales.
Ver un polígono en estrella como un polígono no convexo con el doble de lados permite polígonos en estrella, y contarlos como polígonos regulares permite que se utilicen en un mosaico uniforme . Estos polígonos están etiquetados como {N α } para un 2N-gon isotoxal no convexo con un ángulo diedro externo α. Sus vértices externos están etiquetados como N*
αy N interno**
α. Esta expansión de la definición requiere que las esquinas con solo 2 polígonos no se consideren vértices. El mosaico se define por su configuración de vértice como una secuencia cíclica de polígonos convexos y no convexos alrededor de cada vértice. Hay 4 mosaicos uniformes de este tipo con ángulos α ajustables y 18 mosaicos uniformes que solo funcionan con ángulos específicos. [3]
Todas estas teselaciones están topológicamente relacionadas con las teselaciones uniformes ordinarias con polígonos regulares convexos, con los vértices de 2 valencia ignorados y las caras cuadradas como digones, reducidas a un solo borde.
![]() 3.6* α.6** α 3.12.12 topológico | ![]() 4.4* α.4** α Topológico 4.8.8 | ![]() 6.3* α.3** α Topológico 6.6.6 | ![]() 3.3* α.3.3** α Topológico 3.6.3.6 |
![]() 4.6.4* π / 6.6 Topológico 4.4.4.4 | ![]() (8,4* π / 4) 2 Topológico 4.4.4.4 | ![]() 12.12.4* π / 3 Topológico 4.8.8 | ![]() 3.3.8* π / 12.4** π / 3.8* π / 12 Topológico 4.8.8 | ![]() 3.3.8* π / 12.3.4.3.8* π / 12 Topológico 4.8.8 | ![]() 3.4.8.3.8* π / 12 Topológico 4.8.8 |
![]() 5.5.4* 4π / 10.5.4* π / 10 Topológico 3.3.4.3.4 | ![]() 4.6* π / 6.6** π / 2.6* π / 6 Topológico 6.6.6 | ![]() (4,6* π / 6) 3 Topológico 6.6.6 | ![]() 9.9.6* 4π / 9 Topológico 6.6.6 | ![]() (6,6* π / 3) 2 Topológico 3.6.3.6 | ![]() (12,3* π / 6) 2 Topológico 3.6.3.6 |
![]() 3.4.6.3.12* π / 6 Topológico 4.6.12 | ![]() 3.3.3.12* π / 6.3.3.12* π / 6 3.12.12 topológico | ![]() 18.18.3* 2π / 9 3.12.12 topológico | ![]() 3.6.6* π / 3.6 Topológico 3.4.6.4 | ![]() 8.3* π / 12.8.6* 5π / 12 Topológico 3.4.6.4 | ![]() 9.3.9.3* π / 9 Topológico 3.6.3.6 |
Mosaicos uniformes usando polígonos alternos
Los polígonos estelares de la forma {p α } también pueden representar 2 p -gones convexos alternando dos ángulos, siendo el más simple un rombo {2 α }. Permitir que estos sean polígonos regulares, crea mosaicos más uniformes, con un ejemplo a continuación.
![]() 3.2 * .6.2 ** Topológico 3.4.6.4 | ![]() 4.4.4.4 Topológico 4.4.4.4 | ![]() (2* π / 6.2** π / 3) 2 Topológico 4.4.4.4 | ![]() 2* π / 6.2* π / 6.2** π / 3.2** π / 3 Topológico 4.4.4.4 | ![]() 4.2* π / 6.4.2** π / 3 Topológico 4.4.4.4 |
Ver también
- Símbolo de Wythoff
- Lista de mosaicos uniformes
- Azulejos uniformes en plano hiperbólico
- Politopo uniforme
Referencias
- ^ a b Jim McNeill
- ^ Azulejos y patrones, tabla 12.3.1 p.640
- ↑ Tilings and Patterns Branko Gruenbaum, GC Shephard, 1987. 2.5 Tilings usando polígonos en estrella, pp.82-85.
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1. (Azulejos de estrellas sección 12.3)
- HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins , JCP Miller , Poliedros uniformes , Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR 91532 (Tabla 8)
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teselado uniforme" . MathWorld .
- Teselaciones uniformes en el plano de Euclides
- Teselaciones del plano
- El mundo de los teselados de David Bailey
- K-azulejos uniformes
- azulejos n-uniformes
- Klitzing, Richard. "Azulejos euclidianos 4D" .
Espacio | Familia | / / | ||||
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E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Uniforme de 10 panal | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |