Un poliedro uniforme tiene polígonos regulares como caras y es transitivo de vértice (es decir, hay una isometría que mapea cualquier vértice sobre cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son congruentes .
Los poliedros uniformes pueden ser regulares (si también son transitivos de caras y aristas), cuasi regulares (si también son transitivos de aristas pero no transitivos de caras) o semirregulares (si no son transitivos de aristas ni de caras). No es necesario que las caras y los vértices sean convexos , por lo que muchos de los poliedros uniformes también son poliedros en estrella .
Hay dos clases infinitas de poliedros uniformes, junto con otros 75 poliedros:
- Clases infinitas:
- Convexo excepcional:
- 5 sólidos platónicos : poliedros convexos regulares,
- 13 sólidos de Arquímedes : 2 poliedros cuasirregulares y 11 semirregulares convexos.
- Estrella (no convexa) excepcional:
- 4 poliedros de Kepler-Poinsot : poliedros regulares no convexos,
- 53 poliedros estelares uniformes : 5 cuasirregulares y 48 semirregulares.
Por tanto, 5 + 13 + 4 + 53 = 75.
También hay muchos poliedros uniformes degenerados con pares de bordes que coinciden, incluido uno encontrado por John Skilling llamado el gran dirhombidodecaedro disnub (figura de Skilling).
Los poliedros duales a poliedros uniformes son transitivos de cara (isoédricos) y tienen figuras de vértice regulares , y generalmente se clasifican en paralelo con su poliedro dual (uniforme). El dual de un poliedro regular es regular, mientras que el dual de un sólido de Arquímedes es un sólido catalán .
El concepto de poliedro uniforme es un caso especial del concepto de politopo uniforme , que también se aplica a las formas en el espacio de dimensiones superiores (o dimensiones inferiores).
Definición
(Branko Grünbaum 1994 )
Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954) definen los poliedros uniformes como poliedros transitivos de vértice con caras regulares. Definen un poliedro como un conjunto finito de polígonos, de modo que cada lado de un polígono es un lado de otro polígono, de modo que ningún subconjunto no vacío de los polígonos tiene la misma propiedad. Por polígono se refieren implícitamente a un polígono en un espacio euclidiano tridimensional; se permite que estos no sean convexos y se crucen entre sí.
Hay algunas generalizaciones del concepto de poliedro uniforme. Si se descarta el supuesto de conectividad, obtenemos compuestos uniformes, que se pueden dividir como una unión de poliedros, como el compuesto de 5 cubos. Si dejamos de lado la condición de que la realización del poliedro no sea degenerada, obtenemos los llamados poliedros uniformes degenerados. Estos requieren una definición más general de poliedros. Grünbaum (1994) dio una definición bastante complicada de poliedro, mientras que McMullen y Schulte (2002) dieron una definición más simple y general de poliedro: en su terminología, un poliedro es un politopo abstracto bidimensional con un 3 no degenerado. -realización dimensional. Aquí un politopo abstracto es un conjunto de sus "caras" que satisfacen varias condiciones, una realización es una función desde sus vértices a algún espacio, y la realización se llama no degenerada si dos caras distintas del politopo abstracto tienen realizaciones distintas. Algunas de las formas en que pueden degenerarse son las siguientes:
- Rostros ocultos. Algunos poliedros tienen caras que están ocultas, en el sentido de que ningún punto de su interior puede verse desde el exterior. Por lo general, estos no se cuentan como poliedros uniformes.
- Compuestos degenerados. Algunos poliedros tienen múltiples aristas y sus caras son las caras de dos o más poliedros, aunque estos no son compuestos en el sentido anterior ya que los poliedros comparten aristas.
- Cubiertas dobles. Existen algunos poliedros no orientables que tienen cubiertas dobles que satisfacen la definición de un poliedro uniforme. Las cubiertas dobles tienen caras, aristas y vértices doblados. Por lo general, no se cuentan como poliedros uniformes.
- Caras dobles. Hay varios poliedros con caras dobles producidos por la construcción de Wythoff. La mayoría de los autores no permiten caras dobles y las eliminan como parte de la construcción.
- Bordes dobles. La figura de Skilling tiene la propiedad de que tiene aristas dobles (como en los poliedros uniformes degenerados) pero sus caras no se pueden escribir como una unión de dos poliedros uniformes.
Historia
Poliedros convexos regulares
- Los sólidos platónicos se remontan a los griegos clásicos y fueron estudiados por los pitagóricos , Platón (c. 424 - 348 aC), Theaetetus (c. 417 aC - 369 aC), Timeo de Locri (ca. 420-380 aC) y Euclides (fl. 300 aC). Los etruscos descubrieron el dodecaedro regular antes del 500 a. C. [1]
Poliedros convexos uniformes no regulares
- El cuboctaedro fue conocido por Platón .
- Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C.) descubrió los 13 sólidos de Arquímedes . Su libro original sobre el tema se perdió, pero Pappus de Alejandría (c. 290 - c. 350 dC) mencionó que Arquímedes enumeró 13 poliedros.
- Piero della Francesca (1415-1492) redescubrió los cinco truncamientos de los sólidos platónicos: tetraedro truncado, octaedro truncado, cubo truncado, dodecaedro truncado e icosaedro truncado, e incluyó ilustraciones y cálculos de sus propiedades métricas en su libro De quinque corporibus regularibus . También habló del cuboctaedro en un libro diferente. [2]
- Luca Pacioli plagió la obra de Francesca en De divina proporione en 1509, agregando el rombicuboctaedro , llamándolo icosihexaedro por sus 26 caras, que fue dibujado por Leonardo da Vinci .
- Johannes Kepler (1571-1630) fue el primero en publicar la lista completa de sólidos de Arquímedes , en 1619, y también identificó las infinitas familias de prismas y antiprismas uniformes .
Poliedros estrella regular
- Kepler (1619) descubrió dos de los poliedros regulares de Kepler-Poinsot y Louis Poinsot (1809) descubrió los otros dos. El conjunto de cuatro fue probado completo por Augustin Cauchy (1789-1857) y nombrado por Arthur Cayley (1821-1895).
Otros 53 poliedros estelares no regulares
- De los 53 restantes, Edmund Hess (1878) descubrió dos, Albert Badoureau (1881) descubrió 36 más y Pitsch (1881) descubrió de forma independiente 18, de los cuales 3 no habían sido descubiertos previamente. Juntos, estos dieron 41 poliedros.
- El geómetra HSM Coxeter descubrió los doce restantes en colaboración con JCP Miller (1930-1932) pero no los publicó. MS Longuet-Higgins y HC Longuet-Higgins descubrieron de forma independiente once de estos. Lesavre y Mercier redescubrieron cinco de ellos en 1947.
- Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954) publicaron la lista de poliedros uniformes.
- Sopov (1970) demostró su conjetura de que la lista estaba completa.
- En 1974, Magnus Wenninger publicó su libro Modelos de poliedros , que enumera los 75 poliedros uniformes no prismáticos, con muchos nombres inéditos que Norman Johnson les dio .
- Skilling (1975) demostró de forma independiente la completitud y demostró que si la definición de poliedro uniforme se relaja para permitir que los bordes coincidan, solo hay una posibilidad adicional.
- En 1987, Edmond Bonan dibujó todos los poliedros uniformes y sus duales en 3D, con un programa de Turbo Pascal llamado Polyca : casi de ellos se mostraron durante el Congreso de la Unión Internacional Estereoscópica celebrado en el Congress Theatre, Eastbourne, Reino Unido. [ cita requerida ] . [3]
- En 1993, Zvi Har'El produjo una construcción caleidoscópica completa de los poliedros uniformes y los duales con un programa de computadora llamado Kaleido , y se resumió en un papel Solución uniforme para poliedros uniformes , contando las figuras 1-80. [4]
- También en 1993, R. Mäder portó esta solución de Kaleido a Mathematica con un sistema de indexación ligeramente diferente. [5]
- En 2002, Peter W. Messer descubrió un conjunto mínimo de expresiones de forma cerrada para determinar las principales cantidades combinatorias y métricas de cualquier poliedro uniforme (y su dual) dado solo su símbolo Wythoff . [6]
Poliedros uniformes en estrella
Las 57 formas no prismáticas no convexas, con la excepción del gran dirhombicosidodecaedro , son compiladas por construcciones de Wythoff dentro de triángulos de Schwarz .
Formas convexas de Wythoff Construction
Las operaciones de construcción de Wythoff pueden nombrar los poliedros uniformes convexos en la forma regular.
Con más detalle, el poliedro uniforme convexo se da a continuación por su construcción de Wythoff dentro de cada grupo de simetría.
Dentro de la construcción de Wythoff, hay repeticiones creadas por formas de simetría más baja. El cubo es un poliedro regular y un prisma cuadrado. El octaedro es un poliedro regular y un antiprisma triangular. El octaedro también es un tetraedro rectificado . Muchos poliedros se repiten a partir de diferentes fuentes de construcción y están coloreados de manera diferente.
La construcción de Wythoff se aplica igualmente a poliedros uniformes y mosaicos uniformes en la superficie de una esfera , por lo que se dan imágenes de ambos. Los embaldosados esféricas incluyendo el conjunto de hosohedrons y diedros que son poliedros degenerados.
Estos grupos de simetría se forman a partir de los grupos de puntos de reflexión en tres dimensiones , cada una representada por un triángulo fundamental ( p q r ), donde p > 1, q > 1, r > 1 y 1 / p + 1 / q + 1 / r <1 .
- Simetría tetraédrica (3 3 2) - orden 24
- Simetría octaédrica (4 3 2) - orden 48
- Simetría icosaédrica (5 3 2) - orden 120
- Simetría diedro ( n 2 2), para n = 3,4,5, ... - orden 4 n
Las formas no reflectantes restantes se construyen mediante operaciones de alternancia aplicadas a los poliedros con un número par de lados.
Junto con los prismas y su simetría diedro , el proceso de construcción esférico de Wythoff agrega dos clases regulares que se degeneran como poliedros: el dihedra y el hosohedra , teniendo el primero solo dos caras y el segundo solo dos vértices. El truncamiento del hosohedra regular crea los prismas.
Debajo de los poliedros uniformes convexos se indexan de 1 a 18 para las formas no prismáticas, ya que se presentan en las tablas por forma de simetría.
Para el conjunto infinito de formas prismáticas, están indexadas en cuatro familias:
- Hosohedra H 2 ... (solo como mosaicos esféricos)
- Dihedra D 2 ... (solo como mosaicos esféricos)
- Prismas P 3 ... (hosoedros truncados)
- Antiprisms A 3 ... (prismas chatos)
Tablas de resumen
Nombre de Johnson | Padre | Truncado | Rectificado | Bitruncado (tr. Dual) | Birectificado (dual) | Cantelado | Omnitruncated ( cantitruncated ) | Desaire |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diagrama de Coxeter | ||||||||
Símbolo de Schläfli extendido | ||||||||
{p, q} | t {p, q} | r {p, q} | 2t {p, q} | 2r {p, q} | rr {p, q} | tr {p, q} | sr {p, q} | |
t 0 {p, q} | t 0,1 {p, q} | t 1 {p, q} | t 1,2 {p, q} | t 2 {p, q} | t 0,2 {p, q} | t 0,1,2 {p, q} | ht 0,1,2 {p, q} | |
Símbolo de Wythoff (pq 2) | q | p 2 | 2 q | pag | 2 | pq | 2 p | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pq 2 |
Figura de vértice | p q | q.2p.2p | (pq) 2 | p.2q.2q | q p | p.4.q.4 | 4.2p.2q | 3.3.p.3.q |
Tetraédrico (3 3 2) | 3.3.3 | 3.6.6 | 3.3.3.3 | 3.6.6 | 3.3.3 | 3.4.3.4 | 4.6.6 | 3.3.3.3.3 |
Octaédrico (4 3 2) | 4.4.4 | 3.8.8 | 3.4.3.4 | 4.6.6 | 3.3.3.3 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.3.3.3.4 |
Icosaédrico (5 3 2) | 5.5.5 | 3.10.10 | 3.5.3.5 | 5.6.6 | 3.3.3.3.3 | 3.4.5.4 | 4.6.10 | 3.3.3.3.5 |
Y una muestra de simetrías diedras:
(La esfera no se corta, solo se corta el mosaico.) (En una esfera, un borde es el arco del gran círculo, el camino más corto, entre sus dos vértices. Por lo tanto, un digón cuyos vértices no son polar-opuestos es plano: parece un borde.)
(pág. 2 2) | Padre | Truncado | Rectificado | Bitruncado (tr. Dual) | Birectificado (dual) | Cantelado | Omnitruncated ( cantitruncated ) | Desaire |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diagrama de Coxeter | ||||||||
Símbolo de Schläfli extendido | ||||||||
{p, 2} | t {p, 2} | r {p, 2} | 2t {p, 2} | 2r {p, 2} | rr {p, 2} | tr {p, 2} | sr {p, 2} | |
t 0 {p, 2} | t 0,1 {p, 2} | t 1 {p, 2} | t 1,2 {p, 2} | t 2 {p, 2} | t 0,2 {p, 2} | t 0,1,2 {p, 2} | ht 0,1,2 {p, 2} | |
Símbolo de Wythoff | 2 | p 2 | 2 2 | pag | 2 | p 2 | 2 p | 2 | p | 2 2 | p 2 | 2 | p 2 2 | | | p 2 2 |
Figura de vértice | p 2 | 2.2p.2p | p.2.p.2 | p.4.4 | 2 p | p.4.2.4 | 4.2p.4 | 3.3.3.p |
Diedro (2 2 2) | {2,2} | 2.4.4 | 2.2.2.2 | 4.4.2 | 2.2 | 2.4.2.4 | 4.4.4 | 3.3.3.2 |
Diedro (3 2 2) | 3.3 | 2.6.6 | 2.3.2.3 | 4.4.3 | 2.2.2 | 2.4.3.4 | 4.4.6 | 3.3.3.3 |
Diedro (4 2 2) | 4.4 | 2.8.8 | 2.4.2.4 | 4.4.4 | 2.2.2.2 | 2.4.4.4 | 4.4.8 | 3.3.3.4 |
Diedro (5 2 2) | 5.5 | 2.10.10 | 2.5.2.5 | 4.4.5 | 2.2.2.2.2 | 2.4.5.4 | 4.4.10 | 3.3.3.5 |
Diedro (6 2 2) | 6.6 | 2.12.12 | 2.6.2.6 | 4.4.6 | 2.2.2.2.2.2 | 2.4.6.4 | 4.4.12 | 3.3.3.6 |
(3 3 2) T d simetría tetraédrica
La simetría tetraédrica de la esfera genera 5 poliedros uniformes y una sexta forma mediante una operación de desaire.
La simetría tetraédrica está representada por un triángulo fundamental con un vértice con dos espejos y dos vértices con tres espejos, representado por el símbolo (3 3 2). También se puede representar mediante el grupo A 2 o [3,3] de Coxeter , así como un diagrama de Coxeter :.
Hay 24 triángulos, visibles en las caras del hexaedro tetrakis y en los triángulos de colores alternativos en una esfera:
# | Nombre | Gráfico A 3 | Gráfico A 2 | Imagen | Embaldosado | Figura de vértice | Símbolos de Coxeter y Schläfli | Cuenta de rostros por posición | Recuentos de elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pos. 2 [3] (4) | Pos. 1 [2] (6) | Pos. 0 [3] (4) | Caras | Bordes | Vértices | ||||||||
1 | Tetraedro | {3,3} | {3} | 4 | 6 | 4 | |||||||
[1] | Tetraedro birectificado (igual que el tetraedro ) | t 2 {3,3} = {3,3} | {3} | 4 | 6 | 4 | |||||||
2 | Tetratetraedro tetraedro rectificado (igual que el octaedro ) | t 1 {3,3} = r {3,3} | {3} | {3} | 8 | 12 | 6 | ||||||
3 | Tetraedro truncado | t 0,1 {3,3} = t {3,3} | {6} | {3} | 8 | 18 | 12 | ||||||
[3] | Tetraedro bitruncado (igual que tetraedro truncado ) | t 1,2 {3,3} = t {3,3} | {3} | {6} | 8 | 18 | 12 | ||||||
4 | Cantellated tetraedro Rhombitetratetrahedron (igual que cuboctaedro ) | t 0,2 {3,3} = rr {3,3} | {3} | {4} | {3} | 14 | 24 | 12 | |||||
5 | Tetratetraedro omnitruncado Tetratetraedro truncado (igual que el octaedro truncado ) | t 0,1,2 {3,3} = tr {3,3} | {6} | {4} | {6} | 14 | 36 | 24 | |||||
6 | Tetratetraedro chato (igual que icosaedro ) | sr {3,3} | {3} | 2 {3} | {3} | 20 | 30 | 12 |
(4 3 2) O h octaédrica simetría
La simetría octaédrica de la esfera genera 7 poliedros uniformes y 7 más por alternancia. Seis de estas formas se repiten de la tabla de simetría tetraédrica anterior.
La simetría octaédrica está representada por un triángulo fundamental (4 3 2) contando los espejos en cada vértice. También se puede representar mediante el grupo de Coxeter B 2 o [4,3], así como un diagrama de Coxeter :.
Hay 48 triángulos, visibles en las caras del dodecaedro disdyakis y en los triángulos de colores alternativos en una esfera:
# | Nombre | Gráfico B 3 | Gráfico B 2 | Imagen | Embaldosado | Figura de vértice | Símbolos de Coxeter y Schläfli | Cuenta de rostros por posición | Recuentos de elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pos. 2 [4] (6) | Pos. 1 [2] (12) | Pos. 0 [3] (8) | Caras | Bordes | Vértices | ||||||||
7 | Cubo | {4,3} | {4} | 6 | 12 | 8 | |||||||
[2] | Octaedro | {3,4} | {3} | 8 | 12 | 6 | |||||||
[4] | Cubo rectificado Octaedro rectificado ( Cuboctaedro ) | {4,3} | {4} | {3} | 14 | 24 | 12 | ||||||
8 | Cubo truncado | t 0,1 {4,3} = t {4,3} | {8} | {3} | 14 | 36 | 24 | ||||||
[5] | Octaedro truncado | t 0,1 {3,4} = t {3,4} | {4} | {6} | 14 | 36 | 24 | ||||||
9 | Cubo cantelado Octaedro cantelado Rombicuboctaedro | t 0,2 {4,3} = rr {4,3} | {4} | {4} | {3} | 26 | 48 | 24 | |||||
10 | Cubo omnitruncado Octaedro omnitruncado Cuboctaedro truncado | t 0,1,2 {4,3} = tr {4,3} | {8} | {4} | {6} | 26 | 72 | 48 | |||||
[6] | Octaedro chato (igual que icosaedro ) | = s {3,4} = sr {3,3} | {3} | {3} | 20 | 30 | 12 | ||||||
[1] | Medio cubo (igual que tetraedro ) | = h {4,3} = {3,3} | 1 / 2 {3} | 4 | 6 | 4 | |||||||
[2] | Cubo cántico (igual que el tetraedro truncado ) | = h 2 {4,3} = t {3,3} | 1 / 2 {6} | 1 / 2 {3} | 8 | 18 | 12 | ||||||
[4] | (igual que Cuboctahedron ) | = rr {3,3} | 14 | 24 | 12 | ||||||||
[5] | (igual que el octaedro truncado ) | = tr {3,3} | 14 | 36 | 24 | ||||||||
[9] | Octaedro chato cántico (igual que rombicuboctaedro ) | s 2 {3,4} = rr {3,4} | 26 | 48 | 24 | ||||||||
11 | Cuboctaedro chato | sr {4,3} | {4} | 2 {3} | {3} | 38 | 60 | 24 |
(5 3 2) I h simetría icosaédrica
La simetría icosaédrica de la esfera genera 7 poliedros uniformes y 1 más por alternancia. Solo uno se repite de la tabla de simetría tetraédrica y octaédrica anterior.
La simetría icosaédrica está representada por un triángulo fundamental (5 3 2) contando los espejos en cada vértice. También se puede representar mediante el grupo de Coxeter G 2 o [5,3], así como un diagrama de Coxeter :.
Hay 120 triángulos, visibles en las caras del triacontaedro disdyakis y en los triángulos de colores alternativos en una esfera:
# | Nombre | Gráfico (A 2 ) [6] | Gráfico (H 3 ) [10] | Imagen | Embaldosado | Figura de vértice | Símbolos de Coxeter y Schläfli | Cuenta de rostros por posición | Recuentos de elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pos. 2 [5] (12) | Pos. 1 [2] (30) | Pos. 0 [3] (20) | Caras | Bordes | Vértices | ||||||||
12 | Dodecaedro | {5,3} | {5} | 12 | 30 | 20 | |||||||
[6] | Icosaedro | {3,5} | {3} | 20 | 30 | 12 | |||||||
13 | Dodecaedro rectificado icosaedro rectificado Icosidodecaedro | t 1 {5,3} = r {5,3} | {5} | {3} | 32 | 60 | 30 | ||||||
14 | Dodecaedro truncado | t 0,1 {5,3} = t {5,3} | {10} | {3} | 32 | 90 | 60 | ||||||
15 | Icosaedro truncado | t 0,1 {3,5} = t {3,5} | {5} | {6} | 32 | 90 | 60 | ||||||
dieciséis | Cantellated dodecaedro Cantellated icosaedro rombicosidodecaedro | t 0,2 {5,3} = rr {5,3} | {5} | {4} | {3} | 62 | 120 | 60 | |||||
17 | Dodecaedro omnitruncado icosaedro omnitruncado icosidodecaedro truncado | t 0,1,2 {5,3} = tr {5,3} | {10} | {4} | {6} | 62 | 180 | 120 | |||||
18 | Icosidodecaedro desaire | sr {5,3} | {5} | 2 {3} | {3} | 92 | 150 | 60 |
(p 2 2) Prismático [p, 2], I 2 (p) familia (D p h simetría diédrica)
La simetría diedro de la esfera genera dos conjuntos infinitos de poliedros uniformes, prismas y antiprismas, y dos conjuntos más infinitos de poliedros degenerados, el hosoedro y el dihedra que existen como teselas en la esfera.
La simetría diedro está representada por un triángulo fundamental (p 2 2) contando los espejos en cada vértice. También se puede representar mediante el grupo de Coxeter I 2 (p) o [n, 2], así como un diagrama de Coxeter prismático :.
A continuación se muestran las primeras cinco simetrías diedras: D 2 ... D 6 . La simetría diédrica D p tiene orden 4n , representa las caras de una bipirámide y en la esfera como una línea ecuatorial en la longitud y n líneas de longitud igualmente espaciadas.
(2 2 2) Simetría diedro
Hay 8 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide cuadrada (octaedro) y triángulos de colores alternativos en una esfera:
# | Nombre | Imagen | Embaldosado | Figura de vértice | Símbolos de Coxeter y Schläfli | Cuenta de rostros por posición | Recuentos de elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pos. 2 [2] (2) | Pos. 1 [2] (2) | Pos. 0 [2] (2) | Caras | Bordes | Vértices | ||||||
D 2 H 2 | Diedro digonal , hosoedro digonal | {2,2} | {2} | 2 | 2 | 2 | |||||
D 4 | Diedro digonal truncado (igual que el diedro cuadrado ) | t {2,2} = {4,2} | {4} | 2 | 4 | 4 | |||||
P 4 [7] | Diedro digonal omnitruncado (igual que el cubo ) | t 0,1,2 {2,2} = tr {2,2} | {4} | {4} | {4} | 6 | 12 | 8 | |||
A 2 [1] | Diedro digonal chato (igual que el tetraedro ) | sr {2,2} | 2 {3} | 4 | 6 | 4 |
(3 2 2) D 3h simetría diedro
Hay 12 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide hexagonal y triángulos de colores alternativos en una esfera:
# | Nombre | Imagen | Embaldosado | Figura de vértice | Símbolos de Coxeter y Schläfli | Cuenta de rostros por posición | Recuentos de elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pos. 2 [3] (2) | Pos. 1 [2] (3) | Pos. 0 [2] (3) | Caras | Bordes | Vértices | ||||||
D 3 | Diedro trigonal | {3,2} | {3} | 2 | 3 | 3 | |||||
H 3 | Hosoedro trigonal | {2,3} | {2} | 3 | 3 | 2 | |||||
D 6 | Diedro trigonal truncado (igual que el diedro hexagonal ) | t {3,2} | {6} | 2 | 6 | 6 | |||||
P 3 | Hosoedro trigonal truncado ( prisma triangular ) | t {2,3} | {3} | {4} | 5 | 9 | 6 | ||||
P 6 | Diedro trigonal omnitruncado ( prisma hexagonal ) | t 0,1,2 {2,3} = tr {2,3} | {6} | {4} | {4} | 8 | 18 | 12 | |||
A 3 [2] | Diedro trigonal desaire (igual que el antiprisma triangular ) (igual que el octaedro ) | sr {2,3} | {3} | 2 {3} | 8 | 12 | 6 | ||||
P 3 | Diedro trigonal chato cántico ( prisma triangular ) | s 2 {2,3} = t {2,3} | 5 | 9 | 6 |
(4 2 2) D 4h simetría diedro
Hay 16 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide octagonal y triángulos de colores alternativos en una esfera:
# | Nombre | Imagen | Embaldosado | Figura de vértice | Símbolos de Coxeter y Schläfli | Cuenta de rostros por posición | Recuentos de elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pos. 2 [4] (2) | Pos. 1 [2] (4) | Pos. 0 [2] (4) | Caras | Bordes | Vértices | ||||||
D 4 | diedro cuadrado | {4,2} | {4} | 2 | 4 | 4 | |||||
H 4 | hosoedro cuadrado | {2,4} | {2} | 4 | 4 | 2 | |||||
D 8 | Diedro cuadrado truncado (igual que el diedro octogonal ) | t {4,2} | {8} | 2 | 8 | 8 | |||||
P 4 [7] | Hosoedro cuadrado truncado ( cubo ) | t {2,4} | {4} | {4} | 6 | 12 | 8 | ||||
D 8 | Diedro cuadrado omnitruncado ( prisma octogonal ) | t 0,1,2 {2,4} = tr {2,4} | {8} | {4} | {4} | 10 | 24 | dieciséis | |||
A 4 | Diedro cuadrado chato ( antiprisma cuadrado ) | sr {2,4} | {4} | 2 {3} | 10 | dieciséis | 8 | ||||
P 4 [7] | Diedro cuadrado chato cántico ( cubo ) | s 2 {4,2} = t {2,4} | 6 | 12 | 8 | ||||||
A 2 [1] | Hosoedro cuadrado chato ( antiprisma digital ) ( tetraedro ) | s {2,4} = sr {2,2} | 4 | 6 | 4 |
(5 2 2) D 5h simetría diedro
Hay 20 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide decagonal y triángulos de colores alternativos en una esfera:
# | Nombre | Imagen | Embaldosado | Figura de vértice | Símbolos de Coxeter y Schläfli | Cuenta de rostros por posición | Recuentos de elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pos. 2 [5] (2) | Pos. 1 [2] (5) | Pos. 0 [2] (5) | Caras | Bordes | Vértices | ||||||
D 5 | Diedro pentagonal | {5,2} | {5} | 2 | 5 | 5 | |||||
H 5 | Hosoedro pentagonal | {2,5} | {2} | 5 | 5 | 2 | |||||
D 10 | Diedro pentagonal truncado (igual que el diedro decagonal ) | t {5,2} | {10} | 2 | 10 | 10 | |||||
P 5 | Hosoedro pentagonal truncado (igual que el prisma pentagonal ) | t {2,5} | {5} | {4} | 7 | 15 | 10 | ||||
P 10 | Diedro pentagonal omnitruncado ( prisma decagonal ) | t 0,1,2 {2,5} = tr {2,5} | {10} | {4} | {4} | 12 | 30 | 20 | |||
A 5 | Diedro pentagonal chato ( antiprisma pentagonal ) | sr {2,5} | {5} | 2 {3} | 12 | 20 | 10 | ||||
P 5 | Diedro pentagonal chato cántico ( prisma pentagonal ) | s 2 {5,2} = t {2,5} | 7 | 15 | 10 |
(6 2 2) D 6h simetría diedro
Hay 24 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide dodecagonal y triángulos de colores alternativos en una esfera.
# | Nombre | Imagen | Embaldosado | Figura de vértice | Símbolos de Coxeter y Schläfli | Cuenta de rostros por posición | Recuentos de elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pos. 2 [6] (2) | Pos. 1 [2] (6) | Pos. 0 [2] (6) | Caras | Bordes | Vértices | ||||||
D 6 | Diedro hexagonal | {6,2} | {6} | 2 | 6 | 6 | |||||
H 6 | Hosoedro hexagonal | {2,6} | {2} | 6 | 6 | 2 | |||||
D 12 | Diedro hexagonal truncado (igual que el diedro dodecagonal ) | t {6,2} | {12} | 2 | 12 | 12 | |||||
H 6 | Hosoedro hexagonal truncado (igual que el prisma hexagonal ) | t {2,6} | {6} | {4} | 8 | 18 | 12 | ||||
P 12 | Diedro hexagonal omnitruncado ( prisma dodecagonal ) | t 0,1,2 {2,6} = tr {2,6} | {12} | {4} | {4} | 14 | 36 | 24 | |||
A 6 | Diedro hexagonal chato ( antiprisma hexagonal ) | sr {2,6} | {6} | 2 {3} | 14 | 24 | 12 | ||||
P 3 | Diedro hexagonal cántico ( prisma triangular ) | = h 2 {6,2} = t {2,3} | 5 | 9 | 6 | ||||||
P 6 | Diedro hexagonal chato cántico ( prisma hexagonal ) | s 2 {6,2} = t {2,6} | 8 | 18 | 12 | ||||||
A 3 [2] | Hosoedro hexagonal recto (igual que el antiprisma triangular ) (igual que el octaedro ) | s {2,6} = sr {2,3} | 8 | 12 | 6 |
Operadores de construcción Wythoff
Operación | Símbolo | Diagrama de Coxeter | Descripción |
---|---|---|---|
Padre | {p, q} t 0 {p, q} | Cualquier poliedro o mosaico regular | |
Rectificado (r) | r {p, q} t 1 {p, q} | Los bordes están completamente truncados en puntos únicos. El poliedro ahora tiene las caras combinadas del padre y el dual. Los poliedros se nombran por el número de lados de las dos formas regulares: {p, q} y {q, p}, como cuboctaedro para r {4,3} entre un cubo y un octaedro. | |
Birectificado (2r) (también dual ) | 2r {p, q} t 2 {p, q} | El birectificado (dual) es un truncamiento adicional para que las caras originales se reduzcan a puntos. Se forman nuevas caras debajo de cada vértice padre. El número de bordes no cambia y se gira 90 grados. Una birectificación puede verse como dual. | |
Truncado (t) | t {p, q} t 0,1 {p, q} | Cada vértice original se corta y una nueva cara llena el espacio. El truncamiento tiene un grado de libertad, que tiene una solución que crea un poliedro truncado uniforme. El poliedro tiene sus caras originales dobladas en lados y contiene las caras del dual. | |
Bitruncated (2t) (también truncado dual) | 2t {p, q} t 1,2 {p, q} | Un bitruncation puede verse como el truncamiento del dual. Un cubo bitruncado es un octaedro truncado. | |
Cantellated (rr) (también expandido ) | rr {p, q} | Además del truncamiento de vértices, cada borde original se bisela con nuevas caras rectangulares que aparecen en su lugar. Una cantelación uniforme está a medio camino entre la forma parental y la dual. Un poliedro cantelado se nombra como rombi-r {p, q}, como rombicuboctaedro para rr {4,3}. | |
Cantitruncated (tr) (También omnitruncated ) | tr {p, q} t 0,1,2 {p, q} | Las operaciones de truncamiento y cantelación se aplican juntas para crear una forma omnitruncada que tiene las caras del padre dobladas en los lados, las caras del dual dobladas en los lados y los cuadrados donde existían los bordes originales. |
Operación | Símbolo | Diagrama de Coxeter | Descripción |
---|---|---|---|
Snub rectificado (sr) | sr {p, q} | Los alternos cantitruncados. Todas las caras originales terminan con la mitad de lados y los cuadrados degeneran en bordes. Dado que las formas omnitruncadas tienen 3 caras / vértice, se forman nuevos triángulos. Por lo general, estas formas de facetas alternas se deforman ligeramente a partir de entonces para terminar nuevamente como poliedros uniformes. La posibilidad de esta última variación depende del grado de libertad. | |
Desaire (s) | s {p, 2q} | Truncamiento alternativo | |
Desaire cántico (s 2 ) | s 2 {p, 2q} | ||
Cantelación alterna (hrr) | hrr {2p, 2q} | Solo posible en teselaciones uniformes (poliedros infinitos), alternancia de Por ejemplo, | |
Mitad (h) | h {2p, q} | Alternancia de, igual que | |
Cántico (h 2 ) | h 2 {2p, q} | Igual que | |
Medio rectificado (h) | hr {2p, 2q} | Solo posible en teselaciones uniformes (poliedros infinitos), alternancia de , igual que o Por ejemplo, = o | |
Cuarto (q) | q {2p, 2q} | Solo posible en teselaciones uniformes (poliedros infinitos), igual que Por ejemplo, = o |
Ver también
- Poliedro
- Poliedro regular
- Poliedro cuasirregular
- Poliedro semirregular
- Lista de poliedros uniformes
- Lista de poliedros uniformes por figura de vértice
- Lista de poliedros uniformes por símbolo de Wythoff
- Lista de poliedros uniformes por triángulo de Schwarz
- Lista de sólidos de Johnson
- Lista de modelos de poliedro de Wenninger
- Modelo poliedro
- Azulejos uniformes
- Azulejos uniformes en plano hiperbólico
- Poliedro pseudo-uniforme
- Lista de formas
Notas
- ^ Politopos regulares, p.13
- ^ Poliedros de Piero della Francesca
- ^ "Stéréo-Club Français - Galerie: Polyedres" .
- ^ Har'El, Z. Solución uniforme para poliedros uniformes. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El , software Kaleido , imágenes , imágenes duales
- ^ Mäder, RE Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [1]
- ^ Messer, Peter W. (2002). "Expresiones de forma cerrada para poliedros uniformes y sus duales" . Geometría discreta y computacional . 27 : 353–375. doi : 10.1007 / s00454-001-0078-2 .
Referencias
- Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. . Leipzig, Alemania: Teubner, 1900. [2]
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954). "Poliedros uniformes" (PDF) . Philosophical Transactions de la Royal Society A . 246 (916): 401–450. doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . Señor 0062446 .
- Grünbaum, B. (1994), "Poliedros con caras huecas", en Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; et al. (eds.), Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational , Springer, págs. 43–70, doi : 10.1007 / 978-94-011-0924-6_3 , ISBN 978-94-010-4398-4
- McMullen, Peter ; Schulte, Egon (2002), Abstract Regular Polytopes , Cambride University Press
- Habilidad, J. (1975). "El conjunto completo de poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas . 278 (1278): 111-135. doi : 10.1098 / rsta.1975.0022 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 74475 . Señor 0365333 .
- Sopov, SP (1970). "Una prueba de la exhaustividad de la lista de poliedros homogéneos elementales". Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139-156. Señor 0326550 .
- Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedro . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-09859-5.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Poliedro uniforme" . MathWorld .
- Solución uniforme para poliedros uniformes
- Los poliedros uniformes
- Poliedros uniformes virtuales poliedros
- Galería de poliedro uniforme
- Poliedro uniforme: de Wolfram MathWorld Tiene un gráfico visual de los 75
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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