En matemáticas , los suavizadores (también conocidos como aproximaciones a la identidad ) son funciones suaves con propiedades especiales, que se utilizan, por ejemplo, en la teoría de la distribución para crear secuencias de funciones suaves que se aproximan a funciones no suaves (generalizadas) , mediante convolución . Intuitivamente, dada una función que es bastante irregular, al convolucionarla con un suavizador, la función se "suaviza", es decir, sus rasgos definidos se suavizan, sin dejar de permanecer cerca de la función original no suave (generalizada). [1]
También se les conoce como calmantes de Friedrichs en honor a Kurt Otto Friedrichs , quien los presentó. [2]
Notas históricas
Los calmantes fueron introducidos por Kurt Otto Friedrichs en su artículo ( Friedrichs 1944 , págs. 136-139), que se considera un punto de inflexión en la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales . [3] El nombre de este objeto matemático tuvo una curiosa génesis, y Peter Lax cuenta toda la historia en su comentario sobre ese artículo publicado en " Selecta " de Friedrichs . [4] Según él, en ese momento, el matemático Donald Alexander Flanders era un colega de Friedrichs: como le gustaba consultar a sus colegas sobre el uso del inglés, le pidió a Flanders un consejo sobre cómo nombrar el operador de suavizado que estaba usando. [3] Flanders era un puritano , apodado por sus amigos Moll en honor a Moll Flanders en reconocimiento a sus cualidades morales: sugirió llamar al nuevo concepto matemático un " apaciguador " como un juego de palabras que incorpora tanto el apodo de Flanders como el verbo " apaciguar ". , que significa "suavizar" en sentido figurado. [5]
Anteriormente, Sergei Sobolev usó calmantes en su época para hacer el artículo de 1938, [6] que contiene la prueba del teorema de incrustación de Sobolev : el propio Friedrichs reconoció el trabajo de Sobolev sobre los calmantes afirmando que: - " Estos calmantes fueron introducidos por Sobolev y el autor ... ". [7]
Cabe señalar que el término "apaciguador" ha sufrido una deriva lingüística desde la época de estos trabajos fundacionales: Friedrichs definió como " apaciguador " al operador integral cuyo núcleo es una de las funciones que hoy en día se denominan atenuadores. Sin embargo, dado que las propiedades de un operador integral lineal están completamente determinadas por su núcleo, el propio núcleo heredó el nombre mollfier como resultado del uso común.
Definición
Definición moderna (basada en distribución)
Definición 1. Sies una función suave en ℝ n , n ≥ 1, que satisface los siguientes tres requisitos
- (1) tiene un soporte compacto [8]
- (2)
- (3)
dónde es la función delta de Dirac y el límite debe entenderse en el espacio de distribuciones de Schwartz , entonceses un apaciguador . La funcióntambién podría satisfacer otras condiciones: [9] por ejemplo, si cumple
- (4) ≥ 0 para todo x ∈ ℝ n , entonces se llama un suavizador positivo
- (5) = para alguna función infinitamente diferenciable : ℝ + → ℝ, entonces se llama un suavizador simétrico
Notas sobre la definición de Friedrichs
Nota 1 . Cuando la teoría de las distribuciones todavía no se conocía ni se usaba ampliamente, la propiedad [10] (3) anterior se formuló diciendo que la convolución de la funcióncon una función dada que pertenece a un propio espacio de Hilbert o Banach converge como ε → 0 a esa función: [11] esto es exactamente lo que hizo Friedrichs . [12] Esto también aclara por qué los tranquilizadores están relacionados con identidades aproximadas . [13]
Nota 2 . Como se señaló brevemente en la sección " Notas históricas " de esta entrada, originalmente, el término "suavizador" identificaba el siguiente operador de convolución : [13] [14]
dónde y es una función suave que satisface las tres primeras condiciones indicadas anteriormente y una o más condiciones complementarias como positividad y simetría.
Ejemplo concreto
Considere la función de una variable en ℝ n definida por
donde la constante numérica asegura la normalización. Se ve fácilmente que esta función es infinitamente diferenciable, no analítica con derivada evanescente para | x | = 1 . por lo tanto, se puede utilizar como suavizante como se describe anteriormente: también es fácil ver que define un suavizador positivo y simétrico . [15]
Propiedades
Todas las propiedades de un suavizante están relacionadas con su comportamiento bajo la operación de convolución : enumeramos las siguientes, cuyas demostraciones se pueden encontrar en todos los textos sobre teoría de la distribución . [dieciséis]
Propiedad de suavizado
Para cualquier distribución , la siguiente familia de convoluciones indexadas por el número real
dónde denota convolución , es una familia de funciones suaves .
Aproximación de identidad
Para cualquier distribución , la siguiente familia de convoluciones indexadas por el número real converge a
Soporte de convolución
Para cualquier distribución ,
dónde indica el apoyo en el sentido de distribuciones, yindica su adición de Minkowski .
Aplicaciones
Las aplicaciones básicas de los suavizantes es demostrar propiedades válidas para funciones suaves también en situaciones no suaves:
Producto de distribuciones
En algunas teorías de funciones generalizadas , los moderadores se utilizan para definir la multiplicación de distribuciones : precisamente, dadas dos distribuciones y , el límite del producto de una función suave y una distribución
define (si existe) su producto en varias teorías de funciones generalizadas .
Teoremas "Débil = Fuerte"
De manera muy informal, los mitigadores se utilizan para probar la identidad de dos tipos diferentes de extensión de operadores diferenciales: la extensión fuerte y la extensión débil . El documento ( Friedrichs 1944 ) ilustra bastante bien este concepto: sin embargo, la gran cantidad de detalles técnicos necesarios para mostrar lo que esto realmente significa impide que se detallen formalmente en esta breve descripción.
Funciones de corte suave
Por convolución de la función característica de la bola unitaria con la función suave (definido como en (3) con), se obtiene la función
que es una función suave igual a en , con soporte contenido en . Esto se puede ver fácilmente observando que si ≤ y ≤ luego ≤ . Por lo tanto para ≤ ,
- .
Es fácil ver cómo se puede generalizar esta construcción para obtener una función uniforme idéntica a una en una vecindad de un conjunto compacto dado , e igual a cero en todos los puntos cuya distancia de este conjunto sea mayor que un conjunto dado.. [17] Tal función se llama un (liso) de la función de corte : esas funciones se utilizan para eliminar singularidades de un dado ( generalizado ) función de multiplicación . Dejan sin cambios el valor de la ( generalizada ) la función que se multiplican sólo en un determinado conjunto , modificando así su apoyo : también de corte funciones son las partes básicas de particiones uniformes de la unidad .
Ver también
- Identidad aproximada
- Función suave no analítica
- Función de golpe
- Circunvolución
- Transformación de Weierstrass
- Distribución (matemáticas)
- Kurt Otto Friedrichs
- Función generalizada
- Sergei Sobolev
Notas
- ^ Respeto a la topología del espacio dado de funciones generalizadas.
- ^ Véase ( Friedrichs 1944 , págs. 136-139).
- ↑ a b Véase el comentario de Peter Lax sobre el artículo ( Friedrichs 1944 ) en ( Friedrichs 1986 , volumen 1, p. 117).
- ^ ( Friedrichs 1986 , volumen 1, p. 117)
- ↑ En ( Friedrichs 1986 , volumen 1, p. 117) Lax escribe precisamente que: - " Sobre el uso del inglés, a Friedrichs le gustaba consultar a su amigo y colega, Donald Flanders, descendiente de puritanos y él mismo puritano, con el más alto nivel de su su propia conducta, sin censurar hacia los demás. En reconocimiento de sus cualidades morales, sus amigos lo llamaban Moll. Cuando Friedrichs le preguntó cómo llamar al operador de suavizado, Flander sremarcó que podrían ser nombrados suavizante en su honor; Friedrichs estaba encantado, como en otros ocasiones, para llevar este chiste a la imprenta " .
- ^ Ver ( Sobolev 1938 ).
- ^ Friedrichs (1953 , p. 196).
- ^ Como una función de golpe
- ^ Ver ( Giusti 1984 , p. 11).
- ↑ Como cuandose publicóel artículo ( Friedrichs 1944 ), pocos años antes de que Laurent Schwartz difundiera su trabajo.
- ^ Obviamente la topología con respecto a la convergencia es la del espacio de Hilbert o Banach considerado.
- ^ Ver ( Friedrichs 1944 , págs. 136-138), propiedades PI , PII , PIII y su consecuencia PIII 0 .
- ^ a b También, a este respecto, Friedrichs (1944 , pp. 132) dice: - " La principal herramienta para la demostración es una cierta clase de operadores de suavizado que se aproximan a la unidad, los" suavizadores " .
- ^ Ver ( Friedrichs 1944 , p. 137), párrafo 2, " Operadores integrales ".
- ↑ Ver ( Hörmander 1990 , p. 14), lema 1.2.3 .: el ejemplo se expresa en forma implícita definiendo primero
- por ,
- por .
- ^ Ver por ejemplo ( Hörmander 1990 ).
- ↑ Una prueba de este hecho se puede encontrar en ( Hörmander 1990 , p. 25), Teorema 1.4.1.
Referencias
- Friedrichs, Kurt Otto (enero de 1944), "La identidad de las extensiones débiles y fuertes de los operadores diferenciales", Transactions of the American Mathematical Society , 55 (1): 132-151, doi : 10.1090 / S0002-9947-1944-0009701- 0 , JSTOR 1.990.143 , MR 0.009.701 , Zbl 0.061,26201. El primer artículo en el que se introdujeron los calmantes.
- Friedrichs, Kurt Otto (1953), "Sobre la diferenciabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales elípticas lineales" , Communications on Pure and Applied Mathematics , VI (3): 299–326, doi : 10.1002 / cpa.3160060301 , MR 0058828 , Zbl 0051.32703 , archivado desde el original el 5 de enero de 2013. Un artículo donde se investiga la diferenciabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas mediante el uso de suavizadores.
- Friedrichs, Kurt Otto (1986), Morawetz, Cathleen S. (ed.), Selecta , Contemporary Mathematicians, Boston- Basel - Stuttgart : Birkhäuser Verlag , págs. 427 (Vol. 1), págs. 608 (Vol. 2), ISBN 0-8176-3270-0, Zbl 0613.01020. Una selección de las obras de Friedrichs con una biografía y comentarios de David Isaacson , Fritz John , Tosio Kato , Peter Lax , Louis Nirenberg , Wolfgag Wasow , Harold Weitzner .
- Giusti, Enrico (1984), Superficies mínimas y funciones de variaciones limitadas , Monografías en matemáticas, 80 , Basilea - Boston - Stuttgart : Birkhäuser Verlag, págs. Xii + 240, ISBN 0-8176-3153-4, MR 0775682 , Zbl 0.545,49018.
- Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2a ed.), Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-52343-X, MR 1065136 , Zbl 0.712,35001.
- Sobolev, Sergei L. (1938), "Sur un théorème d'analyse fonctionnelle" , Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (en ruso y francés), 4 (46) (3): 471–497, Zbl 0022.14803. El trabajo donde Sergei Sobolev demostró su teorema de incrustación , introduciendo y utilizando operadores integrales muy similares a los suavizadores, sin nombrarlos.