En matemáticas , más específicamente en análisis funcional , un funcional lineal positivo en un espacio vectorial ordenado es un funcional lineal en para que para todos los elementos positivos , es decir , sostiene que
En otras palabras, un funcional lineal positivo está garantizado para tomar valores no negativos para elementos positivos. La importancia de los funcionales lineales positivos radica en resultados como el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .
Cuándo es un espacio vectorial complejo , se supone que para todos, es real. Como en el caso cuandoes un C * -álgebra con su subespacio parcialmente ordenado de elementos autoadjuntos, a veces un orden parcial se coloca solo en un subespacio, y el orden parcial no se extiende a todos los , en cuyo caso los elementos positivos de son los elementos positivos de , por abuso de notación. [ aclaración necesaria ] Esto implica que para un C * -álgebra, un funcional lineal positivo envía cualquier igual a para algunos a un número real, que es igual a su conjugado complejo y, por lo tanto, todos los funcionales lineales positivos conservan la autoadincidencia de tales . Esta propiedad se explota en la construcción de GNS para relacionar funcionales lineales positivos en un álgebra C * con productos internos .
Condiciones suficientes para la continuidad de todos los funcionales lineales positivos
Existe una clase comparativamente grande de espacios vectoriales topológicos ordenados en los que toda forma lineal positiva es necesariamente continua. [1] Esto incluye todas las redes de vectores topológicos que se completan secuencialmente . [1]
Teorema Seaser un espacio vectorial topológico ordenado con cono positivo y deja denotar la familia de todos los subconjuntos acotados de . Entonces, cada una de las siguientes condiciones es suficiente para garantizar que cada funcional lineal positivo en es continuo:
- tiene interior topológico no vacío (en ). [1]
- es completo y metrizable y. [1]
- es bornológico yes un estricto semi-completo -cone en. [1]
- es el límite inductivo de una familiade espacios de Fréchet ordenados con respecto a una familia de mapas lineales positivos donde para todos , dónde es el cono positivo de . [1]
Extensiones positivas continuas
El siguiente teorema se debe a H. Bauer e, independientemente, a Namioka. [1]
- Teorema : [1] Sea ser un espacio vectorial topológico ordenado (TVS) con cono positivo , dejar ser un subespacio vectorial de , y deja ser una forma lineal en . Luego tiene una extensión a una forma lineal positiva continua en si y solo si existe alguna vecindad convexa de tal que está delimitado por encima de .
- Corolario : [1] Sea ser un espacio vectorial topológico ordenado con cono positivo , dejar ser un subespacio vectorial de . Si contiene un punto interior de entonces cada forma lineal positiva continua en tiene una extensión a una forma lineal positiva continua en .
- Corolario : [1] Sea ser un espacio vectorial ordenado con cono positivo , dejar ser un subespacio vectorial de , y deja ser una forma lineal en . Luego tiene una extensión a una forma lineal positiva en si y solo si existe algún subconjunto absorbente convexo en conteniendo tal que está delimitado por encima de .
Prueba: basta con dotar con la mejor topología localmente convexa en un barrio de .
Ejemplos de
- Considere, como ejemplo de , La C * -algebra de complejos matrices cuadradas con los elementos positivos que son las matrices definidas positivas . La función de traza definida en esta C * -álgebra es una función positiva, ya que los valores propios de cualquier matriz definida positiva son positivos, por lo que su traza es positiva.
- Considere el espacio Riesz de todas las funciones continuas de valor complejo de soporte compacto en un espacio de Hausdorff localmente compacto . Considere una medida regular de Borel en y funcional definido por
- para todos en . Entonces, esta función es positiva (la integral de cualquier función positiva es un número positivo). Además, cualquier funcional positivo en este espacio tiene esta forma, como se deduce del teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .
Funcionales lineales positivos (C * -álgebras)
Dejar ser un álgebra C * (más generalmente, un sistema de operador en un álgebra C *) con identidad . Dejar denotar el conjunto de elementos positivos en .
Un funcional lineal en se dice que es positivo si, para todos .
- Teorema. Un funcional lineal en es positivo si y solo si está acotado y . [2]
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Si ρ es un funcional lineal positivo en un C * -álgebra , entonces se puede definir una forma sesquilineal semidefinida en por . Así, de la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos
Ver también
- Elemento positivo
- Operador lineal positivo
Referencias
- ↑ a b c d e f g h i j Schaefer y Wolff 1999 , págs. 225-229.
- ^ Murphy, Gerard. "3.3.4". C * -Álgebras y teoría del operador (1ª ed.). Academic Press, Inc. pág. 89. ISBN 978-0125113601.
Bibliografía
- Kadison, Richard , Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores, vol. I: Teoría elemental , Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821808191 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .