Los dígitos de algunos enteros específicos se permutan o cambian cíclicamente cuando se multiplican por un número n . Algunos ejemplos son:
- 142857 × 3 = 428571 (se desplaza cíclicamente un lugar a la izquierda)
- 142857 × 5 = 714285 (se desplaza cíclicamente un lugar a la derecha)
- 128205 × 4 = 512820 (se desplaza cíclicamente un lugar a la derecha)
- 076923 × 9 = 692307 (se desplaza cíclicamente dos lugares a la izquierda)
Estos números enteros específicos, conocidos como enteros transponibles , pueden ser números cíclicos, pero no siempre lo son . La caracterización de tales números se puede hacer usando decimales repetidos (y por lo tanto las fracciones relacionadas), o directamente.
General
Para cualquier entero coprime a 10, su recíproco es un decimal periódico sin dígitos no recurrentes. Por ejemplo, 1 ⁄ 143 = 0. 006993 006993 006993 ...
Si bien la expresión de una sola serie con vinculum en la parte superior es adecuada, la intención de la expresión anterior es mostrar que las seis permutaciones cíclicas de 006993 se pueden obtener a partir de este decimal periódico si seleccionamos seis dígitos consecutivos del decimal periódico comenzando desde diferentes dígitos.
Esto ilustra que las permutaciones cíclicas están relacionadas de alguna manera con la repetición de decimales y las fracciones correspondientes.
El máximo común divisor (mcd) entre cualquier permutación cíclica de un entero de m dígitos y 10 m - 1 es constante. Expresado como fórmula,
donde N es un número entero de m dígitos; y N c es cualquier permutación cíclica de N .
Por ejemplo,
mcd (091575, 999999) = mcd (3 2 × 5 2 × 11 × 37, 3 3 × 7 × 11 × 13 × 37) = 3663 = mcd (915750, 999999) = mcd (157509, 999999) = mcd (575091, 999999) = mcd (750915, 999999) = mcd (509157, 999999)
Si N es un número entero de m dígitos, el número N c , obtenido al desplazar N hacia la izquierda cíclicamente, se puede obtener de:
donde d es el primer dígito de N y m es el número de dígitos.
Esto explica el mcd común anterior y el fenómeno es verdadero en cualquier base si 10 se reemplaza por b , la base.
Por tanto, las permutaciones cíclicas están relacionadas con los decimales repetidos, las fracciones correspondientes y los divisores de 10 m −1. Por ejemplo, las fracciones relacionadas con las permutaciones cíclicas anteriores son:
- 091575 ⁄ 999999 , 915750 ⁄ 999999 , 157509 ⁄ 999999 , 575091 ⁄ 999999 , 750915 ⁄ 999999 , y 509157 ⁄ 999999 .
Reducidos a sus términos más bajos utilizando el gcd común, son:
- 25 ⁄ 273 , 250 ⁄ 273 , 43 ⁄ 273 , 157 ⁄ 273 , 205 ⁄ 273 , y 139 ⁄ 273 .
Es decir, estas fracciones cuando se expresan en términos mínimos , tienen el mismo denominador. Esto es cierto para las permutaciones cíclicas de cualquier número entero.
Método de fracción
Multiplicador integral
Un multiplicador integral se refiere a que el multiplicador n es un número entero:
- Un número entero X se desplaza cíclicamente a la derecha en k posiciones cuando se multiplica por un número entero n . X es entonces los dígitos repetidos de 1 ⁄ F , donde F es F 0 = n 10 k - 1 ( F 0 es coprime a 10), o un factor de F 0 ; excluyendo cualquier valor de F que no sea superior a n .
- Un número entero X se desplaza cíclicamente a la izquierda en k posiciones cuando se multiplica por un número entero n . X es entonces los dígitos repetidos de 1 ⁄ F , donde F es F 0 = 10 k - n , o un factor de F 0 ; excluyendo cualquier valor de F que no sea superior a n y que no sea coprime a 10.
Es necesario que F sea coprime a 10 para que 1 ⁄ F es un decimal periódico sin dígitos anteriores que no se repitan (consulte varias secciones del decimal periódico ). Si hay dígitos que no están en un período, entonces no hay una solución correspondiente.
Para estos dos casos, los múltiplos de X , es decir ( j X ) también son soluciones siempre que el entero i satisfaga la condición n j ⁄ F <1. La mayoría de las veces es conveniente elegir laFmás pequeñaque se ajuste a lo anterior. Las soluciones se pueden expresar mediante la fórmula:
- donde p es una longitud de período de 1 ⁄ F ; y F es un factor de F 0 coprime a 10.
- Por ejemplo, F 0 = 1260 = 2 2 × 3 2 × 5 × 7. Los factores que excluyen 2 y 5 se recomponen para F = 3 2 × 7 = 63. Alternativamente, tache todos los ceros finales de 1260 para convertirlos en 126, luego divida por 2 (o 5) iterativamente hasta que el cociente ya no sea divisible por 2 (o 5). El resultado también es F = 63.
Para excluir enteros que comienzan con ceros de las soluciones, seleccione un entero j tal que j ⁄ F > 1 ⁄ 10 , es decir j > F ⁄ 10 .
No hay una solución cuando n > M .
Multiplicador fraccional
Un entero X se desplaza cíclicamente a la izquierda en k posiciones cuando se multiplica por una fracción n ⁄ s . Xes entonces los dígitos repetidos de s ⁄ F , dondeFesF0= s 10 k -n, o un factor deF0; yFdebe ser coprime a 10.
Para este tercer caso, los múltiplos de X , es decir, ( j X ) son nuevamente soluciones, pero la condición que debe cumplirse para el entero j es que n j ⁄ F <1. Nuevamente, es conveniente elegir laFmás pequeñaque se ajuste a lo anterior.
Las soluciones se pueden expresar mediante la fórmula:
- donde p se define de la misma manera; y F se convierte en coprimo a 10 mediante el mismo proceso que antes.
Para excluir enteros que comienzan con ceros de las soluciones, seleccione un entero j tal que j s ⁄ F > 1 ⁄ 10 , es decir j > F ⁄ 10 s .
De nuevo si j s ⁄ F > 1, no hay solución.
Representación directa
El enfoque de álgebra directa para los casos anteriores del multiplicador integral conduce a la siguiente fórmula:
- donde m es el número de dígitos de X , y D , el número de k dígitos desplazado desde el extremo inferior de X al extremo superior de n X , satisface D <10 k .
- Si los números son no tener ceros a la izquierda, entonces n 10 k - 1 ≤ D .
- donde m es el número de dígitos de X , y D , el número de k dígitos desplazado del extremo superior de X al extremo inferior de n X , satisface:
- y el 10-parte (el producto de los términos correspondientes a los números primos 2 y 5 de la factorización ) de 10 k - n divide D .
- La 10 parte de un número entero t a menudo se abrevia
- Si los números son no tener ceros a la izquierda, a continuación, 10 k - 1 ≤ D .
- donde m es el número de dígitos de X , y D , el número de k dígitos desplazado del extremo superior de X al extremo inferior de n X , satisface:
Permutación cíclica por multiplicación
Una división larga de 1 entre 7 da:
0,142857 ... 7) 1.000000 .7 3 28 2 14 6 56 4 35 5 49 1
En el último paso, 1 reaparece como resto. Los residuos cíclicos son {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Reescribimos los cocientes con el dividendo / residuo correspondiente por encima de ellos en todos los pasos:
Dividendo / Resto 1 3 2 6 4 5 Cocientes 1 4 2 8 5 7
y también tenga en cuenta que:
- 1 ⁄ 7 = 0,142857 ...
- 3 ⁄ 7 = 0,428571 ...
- 2 ⁄ 7 = 0,285714 ...
- 6 ⁄ 7 = 0,857142 ...
- 4 ⁄ 7 = 0,571428 ...
- 5 ⁄ 7 = 0,714285 ...
Al observar los restos en cada paso, podemos realizar una permutación cíclica deseada por multiplicación. P.ej,
- El número entero 142857, correspondiente al resto 1, se permuta a 428571 cuando se multiplica por 3, el resto correspondiente de este último.
- El número entero 142857, correspondiente al resto 1, se permuta a 857142 cuando se multiplica por 6, el resto correspondiente de este último.
- El entero 857142, correspondiente al resto 6, se permuta a 571428 cuando se multiplica por 5 ⁄ 6 ; es decir, dividido por 6 y multiplicado por 5, el resto correspondiente de este último.
De esta manera, se puede realizar un desplazamiento cíclico a la izquierda oa la derecha de cualquier número de posiciones.
Y lo que es menos importante, esta técnica se puede aplicar a cualquier número entero para desplazarse cíclicamente hacia la derecha o hacia la izquierda en un número determinado de lugares por la siguiente razón:
- Cada decimal periódico se puede expresar como un número racional (fracción).
- Cada entero, cuando se suma con un punto decimal al frente y se concatena consigo mismo infinitas veces, se puede convertir a una fracción, por ejemplo, podemos transformar 123456 de esta manera en 0.123456123456 ..., que por lo tanto se puede convertir a fracción 123456 ⁄ 999999 . Esta fracción se puede simplificar aún más, pero no se hará aquí.
- Para permutar el entero 123456 a 234561, todo lo que hay que hacer es multiplicar 123456 por 234561 ⁄ 123456 . Esto parece una trampa, pero si 234561 ⁄ 123456 es un número entero (en este caso no lo es), la misión está completa.
Prueba de fórmula para operación cíclica de cambio a la derecha
Un número entero X se desplaza cíclicamente a la derecha en k posiciones cuando se multiplica por un número entero n . Demuestre su fórmula.
Prueba
Primero reconozca que X son los dígitos repetidos de un decimal periódico , que siempre posee un comportamiento cíclico en la multiplicación. El entero X y su múltiplo n X tendrán entonces la siguiente relación:
- El número entero X son los dígitos repetidos de la fracción. 1 ⁄ F , digamos d p d p-1 ... d 3 d 2 d 1 , donde d p , d p-1 , ..., d 3 , d 2 y d 1 cada uno representa un dígito y p es el número de dígitos.
- El múltiplo n X es, por tanto, los dígitos repetidos de la fracción n ⁄ F , digamosd k d k-1 ... d 3 d 2 d 1 d p d p-1 ... d k + 2 d k + 1 , que representan los resultados después del desplazamiento cíclico a la derecha dekposiciones.
- F debe ser coprime a 10 para que cuando 1 ⁄ F se expresa en decimal; no hay dígitos anteriores que no se repitan; de lo contrario, el decimal periódico no posee un comportamiento cíclico en la multiplicación.
- Si el primer resto se toma como n, entonces 1 será el ( k + 1) st resto en la división larga para n ⁄ F para que tenga lugar esta permutación cíclica.
- Para que n × 10 k = 1 (mod F ), F será F 0 = ( n × 10 k - 1), o un factor de F 0 ; pero excluyendo cualquier valor no mayor que ny cualquier valor que tenga un factor común no trivial con 10, como se dedujo anteriormente.
Esto completa la prueba.
Prueba de fórmula para operación cíclica de cambio a la izquierda
Un número entero X se desplaza cíclicamente a la izquierda k posiciones cuando se multiplica por un número entero n . Demuestre su fórmula.
Prueba
Primero reconozca que X son los dígitos repetidos de un decimal periódico , que siempre posee un comportamiento cíclico en la multiplicación. El entero X y su múltiplo n X tendrán entonces la siguiente relación:
- El número entero X son los dígitos repetidos de la fracción. 1 ⁄ F , digamos d p d p-1 ... d 3 d 2 d 1 .
- El múltiplo n X es, por tanto, los dígitos repetidos de la fracción n ⁄ F , digamosd p-k d p-k-1 ... d 3 d 2 d 1 d p d p-1 ... d p-k + 1 ,
que representa los resultados después del desplazamiento cíclico a la izquierda de k posiciones.
- F debe ser coprime a 10 para que 1 ⁄ F no tiene dígitos anteriores que no se repiten; de lo contrario, el decimal periódico no posee un comportamiento cíclico en la multiplicación.
- Si el primer resto se toma como 1, entonces n será el ( k + 1) st resto en la división larga para 1 ⁄ F para que tenga lugar esta permutación cíclica.
- Para que 1 × 10 k = n (modo F ), F será F 0 = (10 k - n ), o un factor de F 0 ; pero excluyendo cualquier valor no mayor que n , y cualquier valor que tenga un factor común no trivial con 10, como se dedujo anteriormente.
Esto completa la prueba. La prueba de un multiplicador no integral como n ⁄ s puede derivarse de forma similar y no se documenta aquí.
Cambiar un número entero cíclicamente
Las permutaciones pueden ser:
- Desplazamiento cíclico a la derecha por posición única ( números parásitos );
- Desplazamiento cíclico a la derecha en posiciones dobles;
- Desplazamiento cíclico a la derecha en cualquier número de posiciones;
- Desplazamiento cíclico a la izquierda en una sola posición;
- Desplazamiento cíclico a la izquierda en posiciones dobles; y
- Desplazamiento cíclico a la izquierda en cualquier número de posiciones
Números de parásitos
Cuando un número parásito se multiplica por n, no solo exhibe el comportamiento cíclico, sino que la permutación es tal que el último dígito del número parásito ahora se convierte en el primer dígito del múltiplo. Por ejemplo, 102564 x 4 = 410256. Tenga en cuenta que 102564 son los dígitos repetidos de 4 ⁄ 39 y 410256 los dígitos repetidos de 16 ⁄ 39 .
Desplazamiento cíclico a la derecha en posiciones dobles
Un número entero X se desplaza cíclicamente a la derecha en posiciones dobles cuando se multiplica por un número entero n . X es entonces los dígitos repetidos de 1 ⁄ F , donde F = n × 10 2 - 1; o un factor de ello; pero excluyendo valores para los cuales 1 ⁄ F tiene una longitud de período que divide 2 (o, de manera equivalente, menos de 3); y F debe ser coprime a 10.
La mayoría de las veces es conveniente elegir la F más pequeña que se ajuste a lo anterior.
Resumen de Resultados
La siguiente multiplicación mueve los dos últimos dígitos de cada número entero original a los dos primeros dígitos y cambia cada dos dígitos a la derecha:
Multiplicador n | Solucion | Representado por | Otras soluciones |
---|---|---|---|
2 | 0050251256 2814070351 7587939698 4924623115 5778894472 3618090452 2613065326 6331658291 4572864321 608040201 | 1 ⁄ 199 x 2 = 2 ⁄ 199 período = 99, es decir, 99 dígitos repetidos. | 2 ⁄ 199 , 3 ⁄ 199 , ..., 99 ⁄ 199 |
3 | 0033444816 0535117056 8561872909 6989966555 1839464882 9431438127 090301 | 1 ⁄ 299 x 3 = 3 ⁄ 299 período = 66 299 = 13 × 23 | 2 ⁄ 299 , 3 ⁄ 299 , ..., 99 ⁄ 299 algunos casos especiales se ilustran a continuación |
3 | 076923 | 1 ⁄ 13 x 3 = 3 ⁄ 13 período = 6 | 2 ⁄ 13 , 3 ⁄ 13 , 4 ⁄ 13 |
3 | 0434782608 6956521739 13 | 1 ⁄ 23 x 3 = 3 ⁄ 23 período = 22 | 2 ⁄ 23 , 3 ⁄ 23 , ..., 7 ⁄ 23 |
4 | 0025062656 64160401 | 1 ⁄ 399 x 4 = 4 ⁄ 399 período = 18 399 = 3 × 7 × 19. | 2 ⁄ 399 , 3 ⁄ 399 , ..., 99 ⁄ 399 algunos casos especiales se ilustran a continuación |
4 | 142857 | 1 ⁄ 7 x 4 = 4 ⁄ 7 período = 6 | - |
4 | 0526315789 47368421 | 1 ⁄ 19 x 4 = 4 ⁄ 19 período = 18 | 2 ⁄ 19 , 3 ⁄ 19 , 4 ⁄ 19 |
5 | (un número cíclico con un período de 498) | 1 ⁄ 499 x 5 = 5 ⁄ 499 499 es un primo de repetición completo | 2 ⁄ 499 , 3 ⁄ 499 , ..., 99 ⁄ 499 |
Tenga en cuenta que:
- 299 = 13 x 23, y el período de 1 ⁄ 299 se determina con precisión mediante la fórmula, LCM (6, 22) = 66, de acuerdo con el decimal repetido # Generalización .
- 399 = 3 x 7 x 19, y el período de 1 ⁄ 399 está determinado con precisión por la fórmula, LCM (1, 6, 18) = 18.
Hay muchas otras posibilidades.
Desplazamiento cíclico a la izquierda en una sola posición
Problema: Un entero X desviación a la izquierda cíclicamente por una sola posición cuando se multiplica por 3. Busque X .
Solución: Primero reconozca que X son los dígitos repetidos de un decimal periódico , que siempre posee un comportamiento cíclico interesante en las multiplicaciones. El entero X y su múltiplo tendrán la siguiente relación:
- El número entero X son los dígitos repetidos de la fracción. 1 ⁄ F , di una puta .
- El múltiplo es, por tanto, los dígitos repetidos de la fracción. 3 ⁄ F , di perra .
- Para que tenga lugar esta permutación cíclica, entonces 3 será el siguiente resto en la división larga para 1 / F . Por tanto, F será 7 ya que 1 × 10 ÷ 7 da un resto 3.
Esto produce los resultados que:
- X = los dígitos repetidos de 1 ⁄ 7
- = 142857 y
- el múltiplo = 142857 × 3 = 428571, los dígitos repetidos de 3 ⁄ 7
La otra solución está representada por 2 ⁄ 7 x 3 = 6 ⁄ 7 :
- 285714 x 3 = 857142
No hay otras soluciones [1] porque:
- El número entero n debe ser el resto subsiguiente en una división larga de una fracción 1 / F . Dado que n = 10 - F, y F es coprime a 10 para que 1 ⁄ F para ser un decimal periódico, entonces n será menor que 10.
- Para n = 2, F debe ser 10 - 2 = 8. Sin embargo 1 ⁄ 8 no genera un decimal periódico, de manera similar para n = 5.
- Para n = 7, F debe ser 10 - 7 = 3. Sin embargo, 7> 3 y 7 ⁄ 3 = 2.333> 1 y no se ajusta al propósito.
- De manera similar, no hay solución para ningún otro número entero de n menor que 10 excepto n = 3.
Sin embargo, si el multiplicador no está restringido a ser un número entero (aunque feo), hay muchas otras soluciones de este método. Por ejemplo, si un entero X se desplaza cíclicamente a la derecha en una sola posición cuando se multiplica por 3 ⁄ 2 , luego 3 será el siguiente resto después de 2 en una división larga de una fracción 2 / F . Esto deduce que F = 2 x 10 - 3 = 17, dando X como los dígitos repetidos de 2 ⁄ 17 , es decir, 1176470588235294, y su múltiplo es 1764705882352941.
A continuación se resumen algunos de los resultados encontrados de esta manera:
Multiplicador n ⁄ s | Solucion | Representado por | Otras soluciones |
---|---|---|---|
1 ⁄ 2 | 105263157894736842 | 2 ⁄ 19 × 1 ⁄ 2 = 1 ⁄ 19 | Otros números de 2 parásitos: 4 ⁄ 19 , 6 ⁄ 19 , 8 ⁄ 19 , 10 ⁄ 19 , 12 ⁄ 19 , 14 ⁄ 19 , 16 ⁄ 19 , 18 ⁄ 19 |
3 ⁄ 2 | 1176470588235294 | 2 ⁄ 17 × 3 ⁄ 2 = 3 ⁄ 17 | 4 ⁄ 17 , 6 ⁄ 17 , 8 ⁄ 17 , 10 ⁄ 17 |
7 ⁄ 2 | 153846 | 2 ⁄ 13 × 7 ⁄ 2 = 7 ⁄ 13 | - |
9 ⁄ 2 | 18 | 2 ⁄ 11 × 9 ⁄ 2 = 9 ⁄ 11 | - |
7 ⁄ 3 | 1304347826086956521739 | 3 ⁄ 23 × 7 ⁄ 3 = 7 ⁄ 23 | 6 ⁄ 23 , 9 ⁄ 23 , 12 ⁄ 23 , 15 ⁄ 23 , 18 ⁄ 23 , 21 ⁄ 23 |
19 ⁄ 4 | 190476 | 4 ⁄ 21 × 19 ⁄ 4 = 19 ⁄ 21 | - |
Desplazamiento cíclico a la izquierda en posiciones dobles
Un número entero X se desplaza cíclicamente a la izquierda en posiciones dobles cuando se multiplica por un número entero n . X es entonces los dígitos repetidos de 1 ⁄ F , donde F es R = 10 2 - n, o un factor de R ; excluyendo los valores de F para los cuales 1 ⁄ F tiene una longitud de período que divide 2 (o, de manera equivalente, menos de 3); y F debe ser coprime a 10.
La mayoría de las veces es conveniente elegir la F más pequeña que se ajuste a lo anterior.
Resumen de Resultados
A continuación se resumen algunos de los resultados obtenidos de esta manera, donde los espacios en blanco entre los dígitos dividen los dígitos en grupos de 10 dígitos:
Multiplicador n | Solucion | Representado por | Otras soluciones |
---|---|---|---|
2 | 142857 | 1 ⁄ 7 × 2 = 2 ⁄ 7 | 2 ⁄ 7 , 3 ⁄ 7 |
3 | 0103092783 5051546391 7525773195 8762886597 9381443298 9690721649 4845360824 7422680412 3711340206 185567 | 1 ⁄ 97 x 3 = 3 ⁄ 97 | 2 ⁄ 97 , 3 ⁄ 97 , 4 ⁄ 97 , 5 ⁄ 97 , ...., 31 ⁄ 97 , 32 ⁄ 97 |
4 | Sin solución | - | - |
5 | 0526315789 47368421 | 1 ⁄ 19 x 5 = 5 ⁄ 19 | 2 ⁄ 19 , 3 ⁄ 19 |
6 | 0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617 | 1 ⁄ 47 x 6 = 6 ⁄ 47 | 2 ⁄ 47 , 3 ⁄ 47 , 4 ⁄ 47 , 5 ⁄ 47 , 6 ⁄ 47 , 7 ⁄ 47 |
7 | 0322580645 16129 | 1 ⁄ 31 x 7 = 7 ⁄ 31 | 2 ⁄ 31 , 3 ⁄ 31 , 4 ⁄ 31 1 ⁄ 93 , 2 ⁄ 93 , 4 ⁄ 93 , 5 ⁄ 93 , 7 ⁄ 93 , 8 ⁄ 93 , 10 ⁄ 93 , 11 ⁄ 93 , 13 ⁄ 93 |
8 | 0434782608 6956521739 13 | 1 ⁄ 23 x 8 = 8 ⁄ 23 | 2 ⁄ 23 |
9 | 076923 | 1 ⁄ 13 x 9 = 9 ⁄ 13 | 1 ⁄ 91 , 2 ⁄ 91 , 3 ⁄ 91 , 4 ⁄ 91 , 5 ⁄ 91 , 6 ⁄ 91 , 8 ⁄ 91 , 9 ⁄ 91 , 10 ⁄ 91 |
10 | Sin solución | - | - |
11 | 0112359550 5617977528 0898876404 4943820224 7191 | 1 ⁄ 89 x 11 = 11 ⁄ 89 | 2 ⁄ 89 , 3 ⁄ 89 , 4 ⁄ 89 , 5 ⁄ 89 , 6 ⁄ 89 , 7 ⁄ 89 , 8 ⁄ 89 |
12 | Sin solución | - | - |
13 | 0344827586 2068965517 24137931 | 1 ⁄ 29 x 13 = 13 ⁄ 29 | 2 ⁄ 29 1 ⁄ 87 , 2 ⁄ 87 , 4 ⁄ 87 , 5 ⁄ 87 , 6 ⁄ 87 |
14 | 0232558139 5348837209 3 | 1 ⁄ 43 x 14 = 14 ⁄ 43 | 2 ⁄ 43 , 3 ⁄ 43 |
15 | 0588235294 117647 | 1 ⁄ 17 x 15 = 15 ⁄ 17 | - |
Otras bases
En el sistema duodecimal , los números enteros transponibles son: (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)
Multiplicador n | Solución más pequeña tal que la multiplicación mueva el último dígito a la izquierda | Dígitos | Representado por | Solución más pequeña tal que la multiplicación mueva el primer dígito a la derecha | Dígitos | Representado por |
---|---|---|---|---|---|---|
2 | 06316948421 | Ɛ | 1 ⁄ 1Ɛ x 2 = 2 ⁄ 1Ɛ | 2497 | 4 | 1 ⁄ 5 x 2 = 2 ⁄ 5 |
3 | 2497 | 4 | 1 ⁄ 5 x 3 = 3 ⁄ 5 | sin solución | ||
4 | 0309236 ᘔ 8820 61647195441 | 1Ɛ | 1 ⁄ 3Ɛ x 4 = 4 ⁄ 3Ɛ | sin solución | ||
5 | 025355 ᘔ 94330 73 ᘔ 458409919 Ɛ7151 | 25 | 1 ⁄ 4Ɛ x 5 = 5 ⁄ 4Ɛ | 186 ᘔ 35 | 6 | 1 ⁄ 7 x 5 = 5 ⁄ 7 |
6 | 020408142854 ᘔ 997732650 ᘔ 1 83469163061 | 2Ɛ | 1 ⁄ 5Ɛ x 6 = 6 ⁄ 5Ɛ | sin solución | ||
7 | 01899Ɛ864406 Ɛ33ᘔᘔ 1542391 374594930525 5Ɛ171 | 35 | 1 ⁄ 6Ɛ x 7 = 7 ⁄ 6Ɛ | sin solución | ||
8 | 076Ɛ45 | 6 | 1 ⁄ 17 x 8 = 8 ⁄ 17 | sin solución | ||
9 | 014196486344 59Ɛ9384Ɛ26Ɛ5 33040547216 ᘔ 1155Ɛ3Ɛ12978 ᘔ 3991 | 45 | 1 ⁄ 8Ɛ x 9 = 9 ⁄ 8Ɛ | sin solución | ||
ᘔ | 08579214Ɛ364 29 ᘔ 7 | 14 | 1 ⁄ 15 x ᘔ = ᘔ ⁄ 15 | sin solución | ||
Ɛ | 011235930336 ᘔ 53909 ᘔ873Ɛ3 25819Ɛ997505 5Ɛ54ᘔ 3145 ᘔ 42 694157078404 491Ɛ1 | 55 | 1 ⁄ ᘔƐ x Ɛ = Ɛ ⁄ ᘔƐ | sin solución |
Tenga en cuenta que el problema de "Desplazamiento cíclico a la izquierda en una sola posición" no tiene solución para el multiplicador menor que 12 excepto 2 y 5, el mismo problema en el sistema decimal no tiene solución para el multiplicador menor que 10 excepto 3.
Notas
- ^ P. Yiu, k-right-transponable integers, Cap.18.1 'Matemáticas recreativas'
Referencias
- P. Yiu, k-enteros transponibles a la derecha, k-enteros transponibles a la izquierda Cap.18.1, 18.2 págs. 168/360 en 'Recreational Mathematics', https://web.archive.org/web/20090901180500/http:/ /math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
- CA Pickover , Wonders of Numbers , Capítulo 28, Oxford University Press Reino Unido, 2000.
- Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A092697 (Para 1 <= n <= 9, a (n) = número mínimo m tal que el producto n * m se obtiene simplemente desplazando el dígito más a la derecha de m al extremo izquierdo)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- Gardner, Martin. Circo matemático: más rompecabezas, juegos, paradojas y otros entretenimientos matemáticos de Scientific American. Nueva York: The Mathematical Association of America, 1979. págs. 111-122.
- Kalman, Dan; 'Fracciones con patrones de dígitos cíclicos' The College Mathematics Journal, vol. 27, núm. 2. (marzo de 1996), págs. 109-115.
- Leslie, John. "La filosofía de la aritmética: exhibiendo una visión progresiva de la teoría y práctica de ...." , Longman, Hurst, Rees, Orme y Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
- Wells, David; " El Diccionario Penguin de números curiosos e interesantes " , Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5