En la teoría de números , un primer reptend completo , prime repetend completo , prime adecuada [1] : 166 o largo prime en la base b es un impar número primo p tal que el cociente de Fermat
(donde p no divide b ) da un número cíclico . Por tanto, la expansión digital deen base b repite los dígitos del número cíclico correspondiente infinitamente, al igual que el decon rotación de los dígitos para cualquier a entre 1 y p - 1. El número cíclico correspondiente al primo p poseerá p - 1 dígitos si y solo si p es un primo de repetición completo. Es decir, el orden multiplicativo ord p b = p - 1, que equivale a que b sea una raíz primitiva módulo p .
El término "prima larga" fue utilizado por John Conway y Richard Guy en su Libro de números . Confusamente, el OEIS de Sloane se refiere a estos números primos como "números cíclicos".
Base 10
Se puede suponer una base 10 si no se especifica una base, en cuyo caso la expansión del número se denomina decimal periódico . En base 10, si un número primo de repetición completo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece en la repetición el mismo número de veces que cada otro dígito. [1] : 166 (Para tales números primos en base 10, consulte OEIS : A073761 . De hecho, en base b , si un número primo repetido completo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., b −1 aparece en la repetición el mismo número de veces que cada otro dígito, pero no existe tal número primo cuando b = 12, ya que cada número primo completo de repetición en base 12 termina en el dígito 5 o 7 en la misma base. Generalmente, no existe tal número primo cuando b es congruente con 0 o 1 módulo 4.
Los valores de p menores que 1000 para los que esta fórmula produce números cíclicos en decimal son:
- 7 , 17 , 19 , 23 , 29 , 47 , 59 , 61 , 97 , 109 , 113 , 131 , 149 , 167 , 179 , 181 , 193 , 223 , 229 , 233 , 257 , 263 , 269 , 313 , 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ... (secuencia A001913 en la OEIS )
Por ejemplo, el caso b = 10, p = 7 da el número cíclico 142857 ; por tanto, 7 es un primo de repetición completo. Además, 1 dividido por 7 escrito en base 10 es 0.142857 142857 142857 142857 ...
No todos los valores de p producirán un número cíclico usando esta fórmula; por ejemplo, p = 13 da 076923 076923. Estos casos fallidos siempre contendrán una repetición de dígitos (posiblemente varios) en el transcurso de p - 1 dígitos.
El patrón conocido de esta secuencia proviene de la teoría algebraica de números , específicamente, esta secuencia es el conjunto de primos p de tal manera que 10 es una raíz primitiva módulo p . La conjetura de Artin sobre las raíces primitivas es que esta secuencia contiene 37.395 ..% de los números primos.
Patrones de aparición de números primos repetidos completos
La aritmética modular avanzada puede mostrar que cualquier primo de las siguientes formas:
- 40 k + 1
- 40 k + 3
- 40 k + 9
- 40 k + 13
- 40 k + 27
- 40 k + 31
- 40 k + 37
- 40 k + 39
nunca puede ser un número primo de repetición completo en base 10. Los primeros números primos de estas formas, con sus puntos, son:
40 k + 1 | 40 k + 3 | 40 k + 9 | 40 k + 13 | 40 k + 27 | 40 k + 31 | 40 k + 37 | 40 k + 39 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
41 período 5 | 3 período 1 | 89 período 44 | 13 período 6 | 67 período 33 | 31 período 15 | 37 período 3 | 79 período 13 |
241 período 30 | 43 período 21 | 409 período 204 | 53 período 13 | 107 período 53 | 71 período 35 | 157 período 78 | 199 período 99 |
281 período 28 | 83 período 41 | 449 período 32 | 173 período 43 | 227 período 113 | 151 período 75 | 197 período 98 | 239 período 7 |
401 período 200 | 163 período 81 | 569 período 284 | 293 período 146 | 307 período 153 | 191 período 95 | 277 período 69 | 359 período 179 |
521 período 52 | 283 período 141 | 769 período 192 | 373 período 186 | 347 período 173 | 271 período 5 | 317 período 79 | 439 período 219 |
601 período 300 | 443 período 221 | 809 período 202 | 613 período 51 | 467 período 233 | 311 período 155 | 397 período 99 | 479 período 239 |
Sin embargo, los estudios muestran que dos tercios de los números primos de la forma 40 k + n , donde n ∈ {7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33} son números primos repetidos completos. Para algunas secuencias, la preponderancia de números primos repetidos completos es mucho mayor. Por ejemplo, 285 de los 295 números primos de la forma 120 k + 23 por debajo de 100000 son números primos de repetición completa, siendo 20903 el primero que no es de repetición completa.
Primos de repetición completa binarios
En base 2 , los números primos de repetición completos son: (menos de 1000)
- 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ... (secuencia A001122 en la OEIS )
Para estos números primos, 2 es una raíz primitiva módulo p , por lo que 2 n módulo p puede ser cualquier número natural entre 1 y p - 1.
Estas secuencias de período p - 1 tienen una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de −1 para el desplazamiento de. La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante pruebas intransigentes . [2]
Todos ellos son de la forma 8 k + 3 u 8 k + 5, porque si p = 8 k + 1 u 8 k + 7, entonces 2 es un residuo cuadrático módulo p , entonces p divide, y el período de en base 2 hay que dividir y no puede ser p - 1, por lo que no son primos repetidos completos en base 2.
Además, todos los primos seguros congruentes con 3 (mod 8) son primos repetidos completos en base 2. Por ejemplo, 3, 11, 59, 83, 107, 179, 227, 347, 467, 563, 587, 1019, 1187, 1283 , 1307, 1523, 1619, 1907, etc. (menos de 2000)
Las secuencias primos de repetición completa binarias (también llamadas secuencias decimales de longitud máxima) han encontrado aplicaciones de codificación criptográfica y de corrección de errores. [3] En estas aplicaciones, generalmente se utilizan decimales repetidos hasta la base 2, lo que da lugar a secuencias binarias. La secuencia binaria de longitud máxima para(cuando 2 es una raíz primitiva de p ) viene dado por: [4]
La siguiente es una lista sobre los períodos (en binario) de los primos congruentes con 1 o 7 (mod 8): (menos de 1000)
8 k + 1 | 17 | 41 | 73 | 89 | 97 | 113 | 137 | 193 | 233 | 241 | 257 | 281 | 313 | 337 | 353 | 401 | 409 | 433 | 449 | 457 | 521 | 569 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
período | 8 | 20 | 9 | 11 | 48 | 28 | 68 | 96 | 29 | 24 | dieciséis | 70 | 156 | 21 | 88 | 200 | 204 | 72 | 224 | 76 | 260 | 284 |
8 k + 1 | 577 | 593 | 601 | 617 | 641 | 673 | 761 | 769 | 809 | 857 | 881 | 929 | 937 | 953 | 977 | 1009 | 1033 | 1049 | 1097 | 1129 | 1153 | 1193 |
período | 144 | 148 | 25 | 154 | 64 | 48 | 380 | 384 | 404 | 428 | 55 | 464 | 117 | 68 | 488 | 504 | 258 | 262 | 274 | 564 | 288 | 298 |
8 k + 7 | 7 | 23 | 31 | 47 | 71 | 79 | 103 | 127 | 151 | 167 | 191 | 199 | 223 | 239 | 263 | 271 | 311 | 359 | 367 | 383 | 431 | 439 |
período | 3 | 11 | 5 | 23 | 35 | 39 | 51 | 7 | 15 | 83 | 95 | 99 | 37 | 119 | 131 | 135 | 155 | 179 | 183 | 191 | 43 | 73 |
8 k + 7 | 463 | 479 | 487 | 503 | 599 | 607 | 631 | 647 | 719 | 727 | 743 | 751 | 823 | 839 | 863 | 887 | 911 | 919 | 967 | 983 | 991 | 1031 |
período | 231 | 239 | 243 | 251 | 299 | 303 | 45 | 323 | 359 | 121 | 371 | 375 | 411 | 419 | 431 | 443 | 91 | 153 | 483 | 491 | 495 | 515 |
Ninguno de ellos son primos de repetición completa binarios.
El período binario del n- ésimo primo es
- 2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 11, 28, 5, 36, 20, 14, 23, 52, 58, 60, 66, 35, 9, 39, 82, 11, 48, 100, 51, 106, 36, 28, 7, 130, 68, 138, 148, 15, 52, 162, 83, 172, 178, 180, 95, 96, 196, 99, 210, 37, 226, 76, 29, 119, 24, 50, 16, 131, 268, 135, 92, 70, 94, 292, 102, 155, 156, 316, 30, 21, 346, 348, 88, 179, 183, 372, 378, 191, 388, 44, ... (esta secuencia comienza en n = 2, o el primo = 3) (secuencia A014664 en la OEIS )
El nivel de período binario de n- ésimo primo es
- 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 8, 2, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 18, 1, 2, 1, 1, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 3, 8, 2, 10, 5, 16, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 11, 16, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 9, 2, 2, 1, 1, 10, 6, 6, 1, 2, 6, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, .. . (secuencia A001917 en la OEIS )
Sin embargo, los estudios muestran que tres cuartos de los números primos de la forma 8 k + n , donde n ∈ {3, 5} son números primos repetidos completos en la base 2 (por ejemplo, hay 87 números primos por debajo de 1000 congruentes con 3 o 5 (mod 8), y 67 de ellos son de repetición completa en la base 2, es un 77% en total). Para algunas secuencias, la preponderancia de números primos repetidos completos es mucho mayor. Por ejemplo, 1078 de los 1206 números primos de la forma 24 k +5 por debajo de 100000 son números primos de repetición completa en la base 2, siendo 1013 el primero que no es de repetición completa en la base 2.
reptend primo de n -ésimo nivel
Un primo reptend de n -ésimo nivel es un primo p que tiene n ciclos diferentes en expansiones de( k es un número entero, 1 ≤ k ≤ p −1). En base 10, los primos de repetición de nivel n más pequeños son
- 7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931, 9161, 118901, 6763, 18233, 1409, 88741, 4003, 5171, 19489, 86143, 23201, ... (secuencia A054471 en la OEIS )
En base 2, los primos de repetición de n -ésimo nivel más pequeños son
- 3, 7, 43, 113, 251, 31, 1163, 73, 397, 151, 331, 1753, 4421, 631, 3061, 257, 1429, 127, 6043, 3121, 29611, 1321, 18539, 601, 15451, 14327, 2971, 2857, 72269, 3391, 683, 2593, 17029, 2687, 42701, 11161, 13099, 1103, 71293, 13121, 17467, 2143, 83077, 25609, 5581, 5153, 26227, 2113, 51941, 2351, ... (secuencia A101208 en la OEIS )
norte | N -ésimo reptend primos (en decimal) | Secuencia OEIS |
---|---|---|
1 | 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, ... | A006883 |
2 | 3, 13, 31, 43, 67, 71, 83, 89, 107, 151, 157, 163, 191, 197, 199, 227, 283, 293, 307, 311, 347, 359, 373, 401, 409, 431, 439, 443, 467, 479, 523, 557, 563, 569, 587, 599, ... | A275081 |
3 | 103, 127, 139, 331, 349, 421, 457, 463, 607, 661, 673, 691, 739, 829, 967, 1657, 1669, 1699, 1753, 1993, 2011, 2131, 2287, 2647, 2659, 2749, 2953, 3217, 3229, 3583, 3691, 3697, 3739, 3793, 3823, 3931, ... | A055628 |
4 | 53, 173, 277, 317, 397, 769, 773, 797, 809, 853, 1009, 1013, 1093, 1493, 1613, 1637, 1693, 1721, 2129, 2213, 2333, 2477, 2521, 2557, 2729, 2797, 2837, 3329, 3373, 3517, 3637, 3733, 3797, 3853, 3877, ... | A056157 |
5 | 11, 251, 1061, 1451, 1901, 1931, 2381, 3181, 3491, 3851, 4621, 4861, 5261, 6101, 6491, 6581, 6781, 7331, 8101, 9941, 10331, 10771, 11251, 11261, 11411, 12301, 14051, 14221, 14411, ... | A056210 |
6 | 79, 547, 643, 751, 907, 997, 1201, 1213, 1237, 1249, 1483, 1489, 1627, 1723, 1747, 1831, 1879, 1987, 2053, 2551, 2683, 3049, 3253, 3319, 3613, 3919, 4159, 4507, 4519, 4801, 4813, 4831, 4969, ... | A056211 |
7 | 211, 617, 1499, 2087, 2857, 6007, 6469, 7127, 7211, 7589, 9661, 10193, 13259, 13553, 14771, 18047, 18257, 19937, 20903, 21379, 23549, 26153, 27259, 27539, 32299, 33181, 33461, 34847, 35491, 35897, ... | A056212 |
8 | 41, 241, 1601, 1609, 2441, 2969, 3041, 3449, 3929, 4001, 4409, 5009, 6089, 6521, 6841, 8161, 8329, 8609, 9001, 9041, 9929, 13001, 13241, 14081, 14929, 16001, 16481, 17489, 17881, 18121, 19001, ... | A056213 |
9 | 73, 1423, 1459, 2377, 2503, 3457, 7741, 9433, 10891, 10909, 16057, 17299, 17623, 20269, 21313, 22699, 24103, 26263, 28621, 28927, 29629, 30817, 32257, 34273, 34327, ... | A056214 |
10 | 281, 521, 1031, 1951, 2281, 2311, 2591, 3671, 5471, 5711, 6791, 7481, 8111, 8681, 8761, 9281, 9551, 10601, 11321, 12401, 13151, 13591, 14831, 14951, 15671, 16111, 16361, 18671, ... | A056215 |
norte | N -ésimo reptend primos (en binario) | Secuencia OEIS |
1 | 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, ... | A001122 |
2 | 7, 17, 23, 41, 47, 71, 79, 97, 103, 137, 167, 191, 193, 199, 239, 263, 271, 311, 313, 359, 367, 383, 401, 409, 449, 463, 479, 487, 503, 521, 569, 599, 607, 647, 719, 743, 751, 761, 769, ... | A115591 |
3 | 43, 109, 157, 229, 277, 283, 307, 499, 643, 691, 733, 739, 811, 997, 1021, 1051, 1069, 1093, 1459, 1579, 1597, 1627, 1699, 1723, 1789, 1933, 2179, 2203, 2251, 2341, 2347, 2749, 2917, ... | A001133 |
4 | 113, 281, 353, 577, 593, 617, 1033, 1049, 1097, 1153, 1193, 1201, 1481, 1601, 1889, 2129, 2273, 2393, 2473, 3049, 3089, 3137, 3217, 3313, 3529, 3673, 3833, 4001, 4217, 4289, 4457, 4801, 4817, 4937, ... | A001134 |
5 | 251, 571, 971, 1181, 1811, 2011, 2381, 2411, 3221, 3251, 3301, 3821, 4211, 4861, 4931, 5021, 5381, 5861, 6221, 6571, 6581, 8461, 8501, 9091, 9461, 10061, 10211, 10781, 11251, 11701, 11941, 12541, ... | A001135 |
6 | 31, 223, 433, 439, 457, 727, 919, 1327, 1399, 1423, 1471, 1831, 1999, 2017, 2287, 2383, 2671, 2767, 2791, 2953, 3271, 3343, 3457, 3463, 3607, 3631, 3823, 3889, 4129, 4423, 4519, 4567, 4663, 4729, 4759, ... | A001136 |
7 | 1163, 1709, 2003, 3109, 3389, 3739, 5237, 5531, 5867, 7309, 9157, 9829, 10627, 10739, 11117, 11243, 11299, 11411, 11467, 13259, 18803, 20147, 20483, 21323, 21757, 27749, 27763, 29947, ... | A152307 |
8 | 73, 89, 233, 937, 1217, 1249, 1289, 1433, 1553, 1609, 1721, 1913, 2441, 2969, 3257, 3449, 4049, 4201, 4273, 4297, 4409, 4481, 4993, 5081, 5297, 5689, 6089, 6449, 6481, 6689, 6857, 7121, 7529, 7993, ... | A152308 |
9 | 397, 7867, 10243, 10333, 12853, 13789, 14149, 14293, 14563, 15643, 17659, 18379, 18541, 21277, 21997, 23059, 23203, 26731, 27739, 29179, 29683, 31771, 34147, 35461, 35803, 36541, 37747, 39979, ... | A152309 |
10 | 151, 241, 431, 641, 911, 3881, 4751, 4871, 5441, 5471, 5641, 5711, 6791, 6871, 8831, 9041, 9431, 10711, 12721, 13751, 14071, 14431, 14591, 15551, 16631, 16871, 17231, 17681, 17791, 18401, 19031, 19471, ... | A152310 |
Repetición completa de números primos en varias bases
Artin también conjeturó:
- Hay infinitos números primos de repetición completa en todas las bases excepto en los cuadrados .
- Los números primos de repetición completa en todas las bases, excepto las potencias perfectas y los números cuya parte libre de cuadrados son congruentes de 1 a mod 4, comprenden el 37.395 ...% de todos los primos. (Ver OEIS : A085397 )
Base | Primos de repetición completa | Secuencia OEIS |
---|---|---|
−30 | 7, 41, 61, 83, 89, 107, 109, 127, 139, 173, 193, 197, 211, 227, 239, 281, 293, 311, 317, 331, 347, 349, 359, ... | A105902 |
−29 | 2, 17, 23, 41, 59, 71, 73, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 113, 137, 139, 167, 179, 199, 223, 227, 229, 239, 269, .. . | A105901 |
−28 | 3, 5, 13, 17, 19, 31, 41, 47, 59, 73, 83, 89, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 181, 227, 229, 251, 257, 269, 283, ... | A105900 |
−27 | 2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ... | A105875 |
−26 | 11, 23, 29, 41, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 127, 137, 157, 163, 173, 191, 193, 199, 227, 263, ... | A105898 |
−25 | 2, 3, 7, 11, 19, 23, 43, 47, 59, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 151, 167, 179, 223, 227, 239, 263, 283, 307, 311, ... | A105897 |
−24 | 13, 17, 19, 37, 41, 43, 47, 71, 89, 109, 113, 137, 139, 157, 163, 167, 181, 191, 211, 229, 233, 257, 263, 277, .. . | A105896 |
−23 | 2, 5, 7, 17, 19, 43, 67, 83, 89, 97, 107, 113, 137, 149, 181, 191, 199, 227, 229, 251, 263, 281, 283, 293, 337, ... | A105895 |
−22 | 3, 5, 17, 37, 41, 53, 59, 151, 167, 179, 193, 233, 251, 263, 269, 271, 281, 317, 337, 359, 379, 389, 397, 409, .. . | A105894 |
−21 | 2, 29, 47, 53, 59, 67, 83, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 167, 181, 197, 227, 233, 251, 281, 311, 313, .. . | A105893 |
−20 | 11, 13, 17, 31, 37, 53, 59, 73, 79, 113, 131, 137, 139, 157, 173, 179, 191, 199, 211, 233, 239, 257, 271, 277, .. . | A105892 |
−19 | 2, 3, 13, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 89, 103, 107, 113, 167, 173, 179, 193, 223, 227, 257, 269, 281, ... | A105891 |
−18 | 5, 7, 23, 29, 31, 37, 47, 53, 61, 71, 101, 103, 109, 127, 149, 151, 157, 167, 173, 181, 191, 197, 223, 239, .. . | A105890 |
−17 | 2, 5, 19, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 83, 97, 103, 113, 127, 151, 173, 179, 191, 193, 197, 233, 239, 251, 263, ... | A105889 |
−16 | 3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ... | A105876 |
−15 | 2, 11, 13, 29, 37, 41, 43, 59, 71, 73, 89, 97, 101, 103, 127, 131, 149, 157, 163, 179, 191, 193, 239, 251, 269, ... | A105887 |
−14 | 11, 17, 29, 31, 43, 47, 53, 73, 89, 97, 107, 109, 149, 163, 167, 179, 199, 241, 257, 271, 277, 311, 313, 317, .. . | A105886 |
−13 | 2, 3, 5, 23, 37, 41, 43, 73, 79, 89, 97, 107, 109, 127, 131, 137, 139, 149, 179, 191, 197, 199, 241, 251, 263, ... | A105885 |
−12 | 5, 17, 23, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 239, 251, 257, .. . | A105884 |
−11 | 2, 7, 13, 17, 29, 41, 73, 79, 83, 101, 107, 109, 127, 131, 139, 149, 151, 167, 173, 197, 227, 233, 239, 263, .. . | A105883 |
−10 | 3, 17, 29, 31, 43, 61, 67, 71, 83, 97, 107, 109, 113, 149, 151, 163, 181, 191, 193, 199, 227, 229, 233, 257, .. . | A007348 |
−9 | 2, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 71, 79, 83, 107, 127, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, ... | A105881 |
−8 | 5, 23, 29, 47, 53, 71, 101, 149, 167, 173, 191, 197, 239, 263, 269, 293, 311, 317, 359, 383, 389, 461, 479, ... | A105880 |
−7 | 2, 3, 5, 13, 17, 31, 41, 47, 59, 61, 83, 89, 97, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 199, 227, 229, 241, 251, 257, ... | A105879 |
−6 | 13, 17, 19, 23, 41, 47, 61, 67, 71, 89, 109, 113, 137, 157, 167, 211, 229, 233, 257, 263, 277, 283, 331, 359, .. . | A105878 |
−5 | 2, 11, 17, 19, 37, 53, 59, 73, 79, 97, 113, 131, 137, 139, 151, 157, 173, 179, 193, 197, 233, 239, 257, 277, .. . | A105877 |
−4 | 3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ... | A105876 |
−3 | 2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ... | A105875 |
−2 | 5, 7, 13, 23, 29, 37, 47, 53, 61, 71, 79, 101, 103, 149, 167, 173, 181, 191, 197, 199, 239, 263, 269, 271, 293, ... | A105874 |
2 | 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, ... | A001122 |
3 | 2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, ... | A019334 |
4 | (ninguno) | |
5 | 2, 3, 7, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 73, 83, 97, 103, 107, 113, 137, 157, 167, 173, 193, 197, 223, 227, 233, 257, ... | A019335 |
6 | 11, 13, 17, 41, 59, 61, 79, 83, 89, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 151, 157, 179, 199, 223, 227, 229, 233, .. . | A019336 |
7 | 2, 5, 11, 13, 17, 23, 41, 61, 67, 71, 79, 89, 97, 101, 107, 127, 151, 163, 173, 179, 211, 229, 239, 241, 257, ... | A019337 |
8 | 3, 5, 11, 29, 53, 59, 83, 101, 107, 131, 149, 173, 179, 197, 227, 269, 293, 317, 347, 389, 419, 443, 461, 467, .. . | A019338 |
9 | 2 (no otros) | |
10 | 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, .. . | A001913 |
11 | 2, 3, 13, 17, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 101, 103, 109, 149, 163, 173, 179, 197, 223, 233, 251, 277, ... | A019339 |
12 | 5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, .. . | A019340 |
13 | 2, 5, 11, 19, 31, 37, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 83, 89, 97, 109, 137, 149, 151, 167, 197, 227, 239, 241, 281, 293, ... | A019341 |
14 | 3, 17, 19, 23, 29, 53, 59, 73, 83, 89, 97, 109, 127, 131, 149, 151, 227, 239, 241, 251, 257, 263, 277, 283, 307, ... | A019342 |
15 | 2, 13, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 139, 149, 151, 157, 167, 193, 199, 227, 263, 269, 271, ... | A019343 |
dieciséis | (ninguno) | |
17 | 2, 3, 5, 7, 11, 23, 31, 37, 41, 61, 97, 107, 113, 131, 139, 167, 173, 193, 197, 211, 227, 233, 269, 277, 283, ... | A019344 |
18 | 5, 11, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 109, 139, 149, 157, 163, 173, 179, 181, 197, 227, 251, 269, .. . | A019345 |
19 | 2, 7, 11, 13, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 83, 89, 113, 139, 163, 173, 191, 193, 239, 251, 257, 263, 269, 281, ... | A019346 |
20 | 3, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 103, 107, 113, 137, 157, 163, 167, 173, 223, 227, 233, 257, 263, 277, ... | A019347 |
21 | 2, 19, 23, 29, 31, 53, 71, 97, 103, 107, 113, 137, 139, 149, 157, 179, 181, 191, 197, 223, 233, 239, 263, 271, .. . | A019348 |
22 | 5, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 71, 83, 107, 131, 139, 191, 193, 199, 211, 223, 227, 233, 269, 281, 283, 307, .. . | A019349 |
23 | 2, 3, 5, 17, 47, 59, 89, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 167, 179, 181, 223, 229, 281, 293, 307, 311, 337, 347, .. . | A019350 |
24 | 7, 11, 13, 17, 31, 37, 41, 59, 83, 89, 107, 109, 113, 137, 157, 179, 181, 223, 227, 229, 233, 251, 257, 277, .. . | A019351 |
25 | 2 (no otros) | |
26 | 3, 7, 29, 41, 43, 47, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 107, 131, 137, 139, 157, 167, 173, 179, 193, 239, 251, 269, 271, ... | A019352 |
27 | 2, 5, 17, 29, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269, 281, 293, 317, 353, 389, 401, 449, 461, 509, .. . | A019353 |
28 | 5, 11, 13, 17, 23, 41, 43, 67, 71, 73, 79, 89, 101, 107, 173, 179, 181, 191, 229, 257, 263, 269, 293, 313, 331, ... | A019354 |
29 | 2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 47, 73, 79, 89, 97, 101, 113, 127, 131, 137, 163, 191, 211, 229, 251, 263, 269, 293, ... | A019355 |
30 | 11, 23, 41, 43, 47, 59, 61, 79, 89, 109, 131, 151, 167, 173, 179, 193, 197, 199, 251, 263, 281, 293, 307, 317, .. . | A019356 |
Los números primos de repetición completa más pequeños en base n son:
- 2, 3, 2, 0, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 0, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 19, 2, 0, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 11, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 19, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 19, 2, 5, 2, 3, 2, 13, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 7, 2, 3, 2, 0, ... (secuencia A056619 en la OEIS )
Ver también
- Decimal repetido
Referencias
- ^ a b Dickson, Leonard E., 1952, Historia de la teoría de los números, Volumen 1 , Chelsea Public. Co.
- ^ Bellamy, J. "Aleatoriedad de secuencias D a través de pruebas intransigentes". 2013. arXiv : 1312.3618
- ^ Kak, Subhash, Chatterjee, A. "Sobre secuencias decimales". Transacciones IEEE sobre teoría de la información, vol. IT-27, págs.647-652, septiembre de 1981.
- ^ Kak, Subhash, "Cifrado y corrección de errores mediante secuencias d". IEEE Trans. On Computers, vol. C-34, págs. 803-809, 1985.
- Weisstein, Eric W. "La constante de Artin" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Full Reptend Prime" . MathWorld .
- Conway, JH y Guy R. K . El libro de los números. Nueva York: Springer-Verlag, 1996.
- Francis, Richard L .; "Pajares matemáticos: otra mirada a los números de repunición"; en The College Mathematics Journal , vol. 19, No. 3. (mayo de 1988), págs. 240–246.