En matemáticas , en álgebra lineal y análisis funcional , un subespacio cíclico es un cierto subespacio especial de un espacio vectorial asociado con un vector en el espacio vectorial y una transformación lineal del espacio vectorial. El subespacio cíclico asociado con un vector v en un espacio vectorial V y una transformación lineal T de V se denomina subespacio cíclico T generado por v . El concepto de subespacio cíclico es un componente básico en la formulación del teorema de descomposición cíclica en álgebra lineal.
Definición
Dejar ser una transformación lineal de un espacio vectorial y deja ser un vector en . La-subespacio cíclico de generado por es el subespacio de generado por el conjunto de vectores . Este subespacio se denota por. En el caso cuandoes un espacio vectorial topológico ,se llama vector cíclico para Si es denso en . Para el caso particular de espacios de dimensión finita , esto equivale a decir que es todo el espacio . [1]
Existe otra definición equivalente de espacios cíclicos. Dejarser una transformación lineal de un espacio vectorial topológico sobre un campo y ser un vector en . El conjunto de todos los vectores de la forma, dónde es un polinomio en el anillo de todos los polinomios en encima , es el -subespacio cíclico generado por . [1]
El subespacio es un subespacio invariante para, en el sentido de que .
Ejemplos de
- Para cualquier espacio vectorial y cualquier operador lineal en , la -subespacio cíclico generado por el vector cero es el subespacio cero de .
- Si es el operador de identidad, entonces cada-El subespacio cíclico es unidimensional.
- es unidimensional si y solo si es un vector característico (autovector) de.
- Dejar ser el espacio vectorial bidimensional y dejar ser el operador lineal en representado por la matriz relativo a la base ordenada estándar de . Dejar. Luego. Por lo tanto y entonces . Por lo tanto es un vector cíclico para .
Matriz complementaria
Dejar ser una transformación lineal de un -espacio vectorial dimensional sobre un campo y ser un vector cíclico para . Entonces los vectores
formar una base ordenada para . Sea el polinomio característico para ser
- .
Luego
Por lo tanto, en relación con la base ordenada , el operador está representado por la matriz
Esta matriz se llama matriz compañera del polinomio.. [1]
Ver también
enlaces externos
- PlanetMath: subespacio cíclico
Referencias
- ^ a b c Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). Álgebra lineal (2ª ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. p. 227 . Señor 0276251 .