En matemáticas , un grupo cíclicamente ordenado es un conjunto con una estructura de grupo y un orden cíclico , de modo que la multiplicación por la izquierda y la derecha conservan el orden cíclico.
Los grupos cíclicamente ordenados fueron estudiados en profundidad por primera vez por Ladislav Rieger en 1947. [1] Son una generalización de grupos cíclicos : el grupo cíclico infinito Z y los grupos cíclicos finitos Z / n . Dado que un orden lineal induce un orden cíclico, los grupos ordenados cíclicamente también son una generalización de grupos ordenados linealmente : los números racionales Q , los números reales R , etc. Algunos de los grupos ordenados cíclicamente más importantes no caen en ninguna categoría anterior: el grupo circular T y susubgrupos , como el subgrupo de puntos racionales .
Cocientes de grupos lineales
Es natural para representar grupos cíclicamente ordenados como cocientes : uno tiene Z n = Z / n Z y T = R / Z . Incluso un grupo una vez lineal como Z , cuando se dobla en un círculo, puede ser pensado como Z 2 / Z . Rieger ( 1946 , 1947 , 1948 ) demostró que esta imagen es un fenómeno genérico. Para cualquier grupo ordenado L y cualquier elemento central z que genere un subgrupo cofinal Z de L , el grupo cociente L / Z es un grupo cíclicamente ordenado. Además, cada grupo cíclicamente ordenado se puede expresar como un grupo cociente. [2]
El grupo circular
Świerczkowski (1959a) se basó en los resultados de Rieger en otra dirección. Dado un grupo ordenado cíclicamente K y un grupo ordenado L , el producto K × L es un grupo ordenado cíclicamente. En particular, si T es el grupo circular y L es un grupo ordenado, entonces cualquier subgrupo de T × L es un grupo ordenado cíclicamente. Por otra parte, cada grupo cíclicamente ordenada se puede expresar como un subgrupo de tal producto A con T . [3]
Por analogía con un grupo de Arquímedes ordenado linealmente , se puede definir un grupo de Arquímedes cíclicamente ordenado como un grupo que no contiene ningún par de elementos x , y tal que [e, x n , y ] para cada entero positivo n . [3] Dado que solo se consideran n positivos , esta es una condición más fuerte que su contraparte lineal. Por ejemplo, Z ya no califica, ya que uno tiene [0, n , −1] para cada n .
Como corolario de la demostración de Świerczkowski, cada grupo de Arquímedes ordenado cíclicamente es un subgrupo de T mismo. [3] Este resultado es análogo a Otto Hölder 1901 teorema 's que cada grupo ordenable de Arquímedes es un subgrupo de R . [4]
Topología
Cada compacto grupo cíclicamente ordenada es un subgrupo de T .
Generalizaciones
Estructuras relacionadas
Gluschankof (1993) mostró que una cierta subcategoría de grupos cíclicamente ordenados, los "grupos Ic proyectables con unidad débil", es equivalente a una cierta subcategoría de álgebras MV , las "álgebras MV proyectables". [5]
Notas
- ↑ Pecinová-Kozáková , 2005 , p. 194.
- ^ Świerczkowski 1959a , p. 162.
- ^ a b c Świerczkowski 1959a , págs. 161-162.
- ^ Hölder 1901 , citado después de Hofmann & Lawson 1996 , págs. 19, 21, 37
- ^ Gluschankof 1993 , p. 261.
Referencias
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