En matemáticas , los puntos racionales en el círculo unitario son aquellos puntos ( x , y ) tales que tanto x como y son números racionales ("fracciones") y satisfacen x 2 + y 2 = 1. El conjunto de tales puntos resulta en estar estrechamente relacionado con las triples pitagóricas primitivas . Considere un triángulo rectángulo primitivo , es decir, con longitudes de lados enteros a , b , c , con cla hipotenusa, de modo que los lados no tienen un factor común mayor que 1. Luego, en el círculo unitario existe el punto racional ( a / c , b / c ), que, en el plano complejo , es simplemente a / c + ib / c , donde i es la unidad imaginaria . Por el contrario, si ( x , y ) es un punto racional en el círculo unitario en el primer cuadrante del sistema de coordenadas (es decir, x > 0, y > 0), entonces existe un triángulo rectángulo primitivo con lados xc , yc , c , siendo c el mínimo común múltiplo de los denominadores de x e y . Existe una correspondencia entre los puntos ( a , b ) en el plano x - y y los puntos a + ib en el plano complejo que se utiliza a continuación.
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Operación grupal
El conjunto de puntos racionales en el círculo unitario, abreviado G en este artículo, forma un grupo abeliano infinito bajo rotaciones. El elemento de identidad es el punto (1, 0) = 1 + i 0 = 1. La operación de grupo, o "producto" es ( x , y ) * ( t , u ) = ( xt - uy , xu + yt ). Este producto es la suma de ángulos ya que x = cos ( A ) e y = sin ( A ), donde A es el ángulo que forma el vector ( x , y ) con el vector (1,0), medido en sentido antihorario. Entonces, con ( x , y ) y ( t , u ) formando ángulos A y B con (1, 0) respectivamente, su producto ( xt - uy , xu + yt ) es solo el punto racional en el círculo unitario que forma el ángulo A + B con (1, 0). La operación de grupo se expresa más fácilmente con números complejos: identificando los puntos ( x , y ) y ( t , u ) con x + iy y t + iu respectivamente, el producto de grupo anterior es solo la multiplicación ordinaria de números complejos ( x + iy ) ( t + iu ) = xt - yu + i ( xu + yt ), que corresponde al punto ( xt - uy , xu + yt ) como arriba.
Ejemplo
3/5 + 4/5 i y 5/13 + 12/13 i (que corresponden a los dos triples pitagóricos más famosos (3,4,5) y (5,12,13)) son puntos racionales en el círculo unitario en el plano complejo, y por lo tanto son elementos de G . Su producto de grupo es -33/65 + 56/65 i , que corresponde al triple pitagórico (33,56,65). La suma de los cuadrados de los numeradores 33 y 56 es 1089 + 3136 = 4225, que es el cuadrado del denominador 65.
Otras formas de describir al grupo
El conjunto de todas las matrices de rotación 2 × 2 con entradas racionales coincide con G. Esto se sigue del hecho de que el grupo circular es isomorfo a , y el hecho de que sus puntos racionales coinciden.
Estructura de grupo
La estructura de G es una suma infinita de grupos cíclicos . Sea G 2 el subgrupo de G generado por el punto 0 + 1 i . G 2 es un subgrupo cíclico de orden 4. Para un primo p de la forma 4 k + 1, sea G p el subgrupo de elementos con denominador p n donde n es un número entero no negativo. G p es un grupo cíclico infinito, y el punto ( a 2 - b 2 ) / p + (2 ab / p ) i es un generador de G p . Además, al factorizar los denominadores de un elemento de G , se puede demostrar que G es una suma directa de G 2 y G p . Es decir:
Dado que es una suma directa en lugar de un producto directo , solo un número finito de los valores de G p s son distintos de cero.
Ejemplo
Al ver G como una suma directa infinita, considere el elemento ({ 0 }; 2, 0, 1, 0, 0, ..., 0, ...) donde la primera coordenada 0 está en C 4 y las otras coordenadas dan las potencias de ( a 2 - b 2 ) / p ( r ) + i 2 ab / p ( r ), donde p ( r ) es el r- ésimo número primo de la forma 4 k + 1. Entonces esto corresponde a, en G , el punto racional (3/5 + i 4/5) 2 · (8/17 + i 15/17) 1 = −416/425 + i87 / 425. El denominador 425 es el producto del denominador 5 dos veces y el denominador 17 una vez, y como en el ejemplo anterior, el cuadrado del numerador −416 más el cuadrado del numerador 87 es igual al cuadrado del denominador 425. Es También debe tenerse en cuenta, como una conexión para ayudar a retener la comprensión, que el denominador 5 = p (1) es el primer primo de la forma 4 k + 1, y el denominador 17 = p (3) es el tercer primo de la forma 4 k + 1.
El grupo de puntos racionales de la hipérbola unitaria
Existe una estrecha conexión entre este grupo en la hipérbola de la unidad y el grupo discutido anteriormente. Sies un punto racional en el círculo unidad, donde un / c y b / c son fracciones reducidas , a continuación, ( c / a , b / a ) es un punto racional en la unidad de hipérbola, yasatisfaciendo la ecuación de la hipérbola unitaria. La operación de grupo aquí esy la identidad del grupo es el mismo punto (1, 0) que el anterior. En este grupo hay una conexión cercana con el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico , que es paralela a la conexión con el coseno y el seno en el grupo de círculo unitario anterior.
Copias dentro de un grupo más grande
Hay copias isomorfas de ambos grupos, como subgrupos (y como objetos geométricos) del grupo de los puntos racionales en la variedad abeliana en el espacio de cuatro dimensiones dado por la ecuaciónTenga en cuenta que esta variedad es el conjunto de puntos con métrica de Minkowski relativa al origen igual a 0. La identidad en este grupo más grande es (1, 0, 1, 0), y la operación de grupo es
Para el grupo en el círculo unitario, el subgrupo apropiado es el subgrupo de puntos de la forma ( w , x , 1, 0), cony su elemento de identidad es (1, 0, 1, 0). El grupo de hipérbola unitaria corresponde a puntos de forma (1, 0, y , z ), cony la identidad es nuevamente (1, 0, 1, 0). (Por supuesto, dado que son subgrupos del grupo más grande, ambos deben tener el mismo elemento de identidad).
Ver también
Referencias
- El grupo de puntos racionales en el círculo unitario [1] , Lin Tan, Revista de matemáticas, vol. 69, No. 3 (junio de 1996), págs. 163-171
- The Group of Primitive Pythagorean Triangles [2] , Ernest J. Eckert, Mathematics Magazine Vol 57 No. 1 (enero de 1984), págs. 22-26
- '' Puntos racionales en curvas elípticas '' Joseph Silverman