En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un grupo de Arquímedes es un grupo ordenado linealmente para el cual se cumple la propiedad de Arquímedes : cada dos elementos de grupo positivo están delimitados por múltiplos enteros entre sí. El conjunto R de números reales junto con la operación de suma y la relación de ordenación habitual entre pares de números es un grupo de Arquímedes. Según Otto Hölder , cada grupo de Arquímedes es isomorfo a un subgrupo de este grupo. El nombre "Arquímedes" proviene de Otto Stolz, quien nombró la propiedad de Arquímedes después de su aparición en las obras de Arquímedes . [1]
Definición
Un grupo aditivo consiste en un conjunto de elementos, una operación de suma asociativa que combina pares de elementos y devuelve un solo elemento, un elemento identidad (o elemento cero) cuya suma con cualquier otro elemento es el otro elemento, y una operación aditiva inversa como que la suma de cualquier elemento y su inverso es cero. [2] Un grupo es un grupo ordenado linealmente cuando, además, sus elementos pueden ordenarse linealmente de una manera que sea compatible con la operación de grupo: para todos los elementos x , y , yz , si x ≤ y entonces ( x + z ) ≤ ( y + z ) y ( z + x ) ≤ ( z + y ).
La notación na (donde n es un número natural ) representa la suma de grupo de n copias de a . Un grupo de Arquímedes ( G , +, ≤) es un grupo de sujetos linealmente ordenado a la siguiente condición adicional, la propiedad de Arquímedes: Por cada una y b en G que son mayores que 0 , es posible encontrar un número natural n para el cual la desigualdad b ≤ na se cumple. [3]
Una definición equivalente es que un grupo de Arquímedes es un grupo ordenable sin ningún delimitadas cíclicos subgrupos : no existe un subgrupo cíclico S y un elemento x con x mayor que todos los elementos de S . [4] Es fácil ver que esto es equivalente a la otra definición: la propiedad de Arquímedes para un par de elementos a y b es sólo la afirmación de que el subgrupo cíclico generado por un no está limitada por b .
Ejemplos de grupos de Arquímedes
Los conjuntos de los enteros , los números racionales , los números reales , junto con la operación de suma y el ordenamiento habitual (≤), son grupos de Arquímedes. Cada subgrupo de un grupo de Arquímedes es en sí mismo Arquímedes, de modo que cada subgrupo de estos grupos, como el grupo aditivo de los números pares o de los racionales diádicos , también forma un grupo de Arquímedes.
A la inversa, como demostró Otto Hölder , cada grupo de Arquímedes es isomorfo (como grupo ordenado) a un subgrupo de los números reales. [5] [6] [7] [8] De esto se sigue que todo grupo de Arquímedes es necesariamente un grupo abeliano : su operación de adición debe ser conmutativa . [5]
Ejemplos de grupos no arquimedianos
Los grupos que no pueden ordenarse linealmente, como los grupos finitos , no son de Arquímedes. Para otro ejemplo, vea los números p-ádicos , un sistema de números que generaliza los números racionales de una manera diferente a los números reales.
También existen grupos ordenados no arquimedianos; el grupo ordenado ( G , +, ≤) definido como sigue no es de Arquímedes. Sean los elementos de G los puntos del plano euclidiano , dados por sus coordenadas cartesianas : pares ( x , y ) de números reales. Sea la operación de suma de grupos una suma puntual (vectorial) y ordene estos puntos en orden lexicográfico : si a = ( u , v ) y b = ( x , y ), entonces a + b = ( u + x , v + y ), y a ≤ b exactamente cuando v < y o v = y y u ≤ x . Entonces esto da un grupo ordenado, pero uno que no es de Arquímedes. Para ver esto, considere los elementos (1, 0) y (0, 1), los cuales son mayores que el elemento cero del grupo (el origen ). Para cada número natural n , se sigue de estas definiciones que n (1, 0) = ( n , 0) <(0, 1), por lo que no hay n que satisfaga la propiedad de Arquímedes. [9] Este grupo se puede considerar como el grupo aditivo de pares de un número real y un infinitesimal , dónde es una unidad infinitesimal: pero para cualquier número real positivo . Los campos ordenados que no son de Arquímedes se pueden definir de manera similar, y sus grupos aditivos son grupos ordenados que no son de Arquímedes. Estos se utilizan en análisis no estándar e incluyen los números hiperrealistas y los números surrealistas .
Si bien los grupos ordenados que no son de Arquímedes no se pueden incrustar en los números reales, se pueden incrustar en una potencia de los números reales, con orden lexicográfico, mediante el teorema de incrustación de Hahn ; el ejemplo anterior es el caso bidimensional.
Propiedades adicionales
Cada grupo de Arquímedes tiene la propiedad de que, para cada corte de Dedekind del grupo, y cada elemento de grupo ε> 0, existe otro elemento de grupo x con x en el lado inferior del corte y x + ε en el lado superior del corte. . Sin embargo, existen grupos ordenados no arquimedianos con la misma propiedad. El hecho de que los grupos de Arquímedes sean abelianos se puede generalizar: todo grupo ordenado con esta propiedad es abeliano. [10]
Generalizaciones
Los grupos de Arquímedes pueden generalizarse a monoides de Arquímedes , monoides ordenados linealmente que obedecen a la propiedad de Arquímedes . Los ejemplos incluyen los números naturales , los no negativos números racionales y los no negativos números reales , con la operación binaria habitual y el orden . Mediante una prueba similar a la de los grupos de Arquímedes, se puede demostrar que los monoides de Arquímedes son conmutativos .
Ver también
- Equivalencia de Arquímedes
Referencias
- ^ Marvin, Stephen (2012), Diccionario de principios científicos , John Wiley & Sons, p. 17, ISBN 9781118582244.
- ^ La notación aditiva para grupos generalmente solo se usa para grupos abelianos , en los que la operación de suma es conmutativa . La definición aquí no asume conmutatividad, pero resultará ser una consecuencia de la propiedad de Arquímedes.
- ^ Alajbegovic, J .; Mockor, J. (1992), Teoremas de aproximación en álgebra conmutativa: métodos clásicos y categóricos , Serie ASI de la OTAN. Serie D, Ciencias Sociales y del Comportamiento, 59 , Springer, p. 5, ISBN 9780792319481.
- ^ Belegradek, Oleg (2002), "Grupos abelianos ordenados poli-regulares", Lógica y álgebra , Contemp. Math., 302 , Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, págs. 101-111, doi : 10.1090 / conm / 302/05049 , MR 1928386.
- ^ a b Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Encuestas y monografías matemáticas, 84 , Providence, RI: American Mathematical Society , p. 61, ISBN 978-0-8218-1963-0, Señor 1794715
- ^ Fuchs, László (2011) [1963]. Sistemas algebraicos parcialmente ordenados . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 45–46. ISBN 978-0-486-48387-0.
- ^ Kopytov, VM; Medvedev, N. Ya. (1996), Grupos ordenados a la derecha , Escuela de Álgebra y Lógica de Siberia, Springer, págs. 33–34, ISBN 9780306110603.
- ^ Para obtener una prueba de los grupos abelianos , consulte Ribenboim, Paulo (1999), La teoría de las valoraciones clásicas , Monografías en matemáticas, Springer, p. 60, ISBN 9780387985251.
- ^ Krupka, Demeter (2000), Introducción a la geometría variacional global , Biblioteca matemática de Holanda Septentrional, 13 , Elsevier, p. 8, ISBN 9780080954202.
- ^ Vinogradov, AA (1967), "Sistemas algebraicos ordenados", Álgebra, Topología, Geometría, 1965 (ruso) (en ruso), Akad. Nauk SSSR Inst. Naučn. Tehn. Informacii, Moscú, págs. 83-131, MR 0215761. Traducido al inglés en Filippov, ND, ed. (1970), Diez artículos sobre álgebra y análisis funcional , Traducciones de la American Mathematical Society, Serie 2, 96 , American Mathematical Society, Providence, RI, págs. 69-118, ISBN 9780821896662, MR 0268000.