En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , una subcategoría de una categoría C es una categoría S cuyos objetos son objetos en C y cuyos morfismos son morfismos en C con las mismas identidades y composición de morfismos. Intuitivamente, una subcategoría de C es una categoría que se obtiene de C "eliminando" algunos de sus objetos y flechas.
Definicion formal
Sea C una categoría. Una subcategoría S de C está dada por
- una subcolección de objetos de C , denotado ob ( S ),
- una subcolección de morfismos de C , denominada hom ( S ).
tal que
- para cada X en ob ( S ), el morfismo de identidad id X está en hom ( S ),
- para cada morfismo f : X → Y en hom ( S ), tanto la fuente X como la meta Y están en ob ( S ),
- para cada par de morfismos f y g en hom ( S ), el compuesto f o g está en hom ( S ) siempre que se defina.
Estas condiciones garantizan que S es una categoría en su propio derecho: su colección de objetos es ob ( S ), su colección de morfismos es hom ( S ), y sus identidades y composición son como en C . Hay un functor fiel obvio I : S → C , llamado el functor de inclusión que toma objetos y morfismos a sí mismos.
Deje que S sea una subcategoría de una categoría C . Decimos que S es una subcategoría completa de C si para cada par de objetos X e Y de S ,
Una subcategoría completa es la que incluye todos los morfismos en C entre los objetos de S . Para cualquier colección de objetos A en C , hay una subcategoría completa única de C cuyos objetos son aquellos en A .
Ejemplos de
- La categoría de conjuntos finitos forma una subcategoría completa de la categoría de conjuntos .
- La categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son biyecciones forma una subcategoría no completa de la categoría de conjuntos.
- La categoría de grupos abelianos forma una subcategoría completa de la categoría de grupos .
- La categoría de anillos (cuyos morfismos son homomorfismos de anillos que conservan unidades ) forma una subcategoría no completa de la categoría de rngs .
- Para un campo K , la categoría de K - espacios vectoriales forma una subcategoría completa de la categoría de K - módulos (izquierda o derecha) .
Embeddings
Dada una subcategoría S de C , el functor de inclusión I : S → C es tanto un functor fiel como inyectivo en objetos. Está completo si y solo si S es una subcategoría completa.
Algunos autores definen una incrustación como un functor completo y fiel . Tal funtor es necesariamente inyectivo en objetos hasta el isomorfismo . Por ejemplo, la incrustación de Yoneda es una incrustación en este sentido.
Algunos autores definen una incrustación como un functor fiel y pleno que inyecta objetos. [1]
Otros autores definen un functor como una incrustación si es fiel e inyectable en los objetos. De manera equivalente, F es una incrustación si inyecta morfismos. Entonces, un funtor F se denomina incrustación completa si es un funtor completo y una incrustación.
Con las definiciones en el párrafo anterior, para cualquier (completo) incrustación de F : B → C la imagen de F es un (completo) subcategoría S de C , y F induce un isomorfismo de categorías entre B y S . Si F no es inyectiva en los objetos a continuación, la imagen de F es equivalente a B .
En algunas categorías, también se puede hablar de morfismos de la categoría como incrustaciones .
Tipos de subcategorías
Una subcategoría S de C se dice que es isomorfismo-cerrado o repleta si cada isomorfismo k : X → Y en C de tal manera que Y está en S también pertenece a S . Se dice que una subcategoría completa con isomorfismo cerrado es estrictamente completa .
Una subcategoría de C es amplia o lluf (un término primero planteado por Peter Freyd [2] ) si contiene todos los objetos de C . [3] Una subcategoría amplia generalmente no está completa: la única subcategoría completa amplia de una categoría es esa categoría en sí.
Una subcategoría de Serre es una subcategoría completa no vacía S de una categoría abeliana C tal que para todas las secuencias exactas cortas
en C , M pertenece a S si y solo si ambos y hacer. Esta noción surge de la teoría C de Serre .
Ver también
- Subcategoría reflectante
- Categoría exacta , una subcategoría completa cerrada bajo extensiones.
Referencias
- ^ Jaap van Oosten. "Teoría básica de categorías" (PDF) .
- ^ Freyd, Peter (1991). "Categorías algebraicamente completas". Actas de la Conferencia Internacional sobre Teoría de Categorías, Como, Italia (CT 1990) . Apuntes de clase en matemáticas. 1488 . Saltador. págs. 95-104. doi : 10.1007 / BFb0084215 . ISBN 978-3-540-54706-8.
- ^ Subcategoría amplia en nLab