En matemáticas , el n -ésimo polinomio ciclotómico , para cualquier entero positivo n , es el único polinomio irreducible con coeficientes enteros que es un divisor de y no es un divisor de para cualquier k < n . Sus raíces son n º raíces primitivas de la unidad , Donde k se ejecuta a través de los números enteros positivos no mayores que n y coprimos a n (y i es la unidad imaginaria ). En otras palabras, el n -ésimo polinomio ciclotómico es igual a
También se puede definir como el polinomio mónico con coeficientes enteros que es el polinomio mínimo sobre el campo de los números racionales de cualquier raíz n -ésima primitiva de la unidad ( es un ejemplo de tal raíz).
Una relación importante que une polinomios ciclotómicos y raíces primitivas de unidad es
mostrando que x es una raíz desi y solo si es una d- ésima raíz primitiva de unidad para alguna d que divide n .
Ejemplos de
Si n es un número primo , entonces
Si n = 2 p donde p es un número primo impar , entonces
Para n hasta 30, los polinomios ciclotómicos son: [1]
El caso del polinomio ciclotómico 105 es interesante porque 105 es el número entero más bajo que es el producto de tres números primos impares distintos (3 * 5 * 7) y este polinomio es el primero que tiene un coeficiente distinto de 1, 0 o −1:
Propiedades
Herramientas fundamentales
Los polinomios ciclotómicos son polinomios mónicos con coeficientes enteros que son irreducibles sobre el campo de los números racionales. A excepción de n igual a 1 o 2, son palindrómicos de grado par.
El grado de O, en otras palabras, el número de n th raíces primitivas de la unidad, es, dónde es la función totient de Euler .
El hecho de que es un polinomio irreducible de grado en el ring es un resultado no trivial debido a Gauss . [2] Dependiendo de la definición elegida, es el valor del grado o la irreductibilidad lo que no es un resultado trivial. El caso del primo n es más fácil de probar que el caso general, gracias al criterio de Eisenstein .
Una relación fundamental que involucra polinomios ciclotómicos es
lo que significa que cada raíz n -ésima de la unidad es una raíz d -ésima primitiva de la unidad para una d única que divide n .
La fórmula de inversión de Möbius permite la expresión de como una fracción racional explícita:
dónde es la función de Möbius .
El polinomio ciclotómico puede calcularse dividiendo (exactamente) por los polinomios ciclotómicos de los divisores propios de n calculados previamente de forma recursiva por el mismo método:
(Recordar que .)
Esta fórmula permite el cálculo de en una computadora para cualquier n , tan pronto como estén disponibles la factorización entera y la división de polinomios . Muchos sistemas informáticos de álgebra , como SageMath , Maple , Mathematica y PARI / GP , tienen una función incorporada para calcular los polinomios ciclotómicos.
Casos sencillos de cálculo
Como se señaló anteriormente, si n es un número primo, entonces
Si n es un número entero impar mayor que uno, entonces
En particular, si n = 2 p es dos veces un número primo impar, entonces (como se señaló anteriormente)
Si n = p m es una potencia prima (donde p es prima), entonces
Más en general, si n = p m r con r primo con p , entonces
Estas fórmulas se pueden aplicar repetidamente para obtener una expresión simple para cualquier polinomio ciclotómico. en términos de un polinomio ciclotómico de índice libre cuadrado : Si q es el producto de los divisores primos de n (su radical ), entonces [3]
Esto permite dar fórmulas para el n -ésimo polinomio ciclotómico cuando n tiene como máximo un factor primo impar: si p es un número primo impar y h y k son números enteros positivos, entonces:
Para los otros valores de n , el cálculo del n -ésimo polinomio ciclotómico se reduce de manera similar al dedonde q es el producto de los distintos divisores primos impares de n . Para lidiar con este caso, uno tiene que, para p primo y sin dividir n , [4]
Enteros que aparecen como coeficientes
El problema de acotar la magnitud de los coeficientes de los polinomios ciclotómicos ha sido objeto de varios trabajos de investigación.
Si n tiene como máximo dos factores primos impares distintos, entonces Migotti mostró que los coeficientes deestán todos en el conjunto {1, −1, 0}. [5]
El primer polinomio ciclotómico para un producto de tres factores primos impares diferentes es tiene un coeficiente -2 (vea su expresión arriba ). Lo contrario no es cierto: solo tiene coeficientes en {1, −1, 0}.
Si n es un producto de factores primos impares más diferentes, los coeficientes pueden aumentar a valores muy altos. P.ej, tiene coeficientes que van desde −22 a 23, , el n más pequeño con 6 primos impares diferentes, tiene coeficientes de magnitud hasta 532.
Sea A ( n ) el valor absoluto máximo de los coeficientes de Φ n . Se sabe que para cualquier positivo k , el número de n hasta x con A ( n )> n k es al menos c ( k ) ⋅ x para un positivo c ( k ) en función de k y x suficientemente grande. En la dirección opuesta, para cualquier función ψ ( n ) que tiende a infinito con n tenemos A ( n ) acotada arriba por n ψ ( n ) para casi todos los n . [6]
Fórmula de Gauss
Sea n impar, libre de cuadrados y mayor que 3. Entonces: [7] [8]
donde tanto A n ( z ) como B n ( z ) tienen coeficientes enteros, A n ( z ) tiene grado φ ( n ) / 2 y B n ( z ) tiene grado φ ( n ) / 2 - 2. Además, Un n ( z ) es palindrómico cuando su grado es par; si su grado es impar es antipalindrómico. De manera similar, B n ( z ) es palindrómico a menos que n sea compuesto y ≡ 3 (mod 4), en cuyo caso es antipalindrómico.
Los primeros casos son
Fórmula de Lucas
Sea n impar, libre de cuadrados y mayor que 3. Entonces [9]
donde tanto U n ( z ) como V n ( z ) tienen coeficientes enteros, U n ( z ) tiene grado φ ( n ) / 2 y V n ( z ) tiene grado φ ( n ) / 2 - 1. Esto puede también ser escrito
Si n es par, libre de cuadrados y mayor que 2 (esto obliga a n / 2 a ser impar),
donde tanto C n ( z ) como D n ( z ) tienen coeficientes enteros, C n ( z ) tiene grado φ ( n ) y D n ( z ) tiene grado φ ( n ) - 1. C n ( z ) y D n ( z ) son ambos palindrómicos.
Los primeros casos son:
Polinomios ciclotómicos sobre un campo finito y sobre los enteros p -ádicos
Sobre un campo finito con un número primo p de elementos, para cualquier número entero n que no sea múltiplo de p , el polinomio ciclotómico factoriza en polinomios irreducibles de grado d , dondees la función totient de Euler y d es el orden multiplicativo de p módulo n . En particular,es irreducible si y solo si p es una raíz primitiva módulo n , es decir, p no divide n , y su orden multiplicativo módulo n es, el grado de . [ cita requerida ]
Estos resultados también son ciertos sobre los enteros p -ádicos , ya que el lema de Hensel permite elevar una factorización sobre el campo con p elementos a una factorización sobre los enteros p -ádicos.
Valores polinomiales
Si x toma cualquier valor real, entoncespara cada n ≥ 3 (esto se deduce del hecho de que las raíces de un polinomio ciclotómico son todas no reales, para n ≥ 3 ).
Para el estudio de los valores que un polinomio ciclotómico puede tomar cuando x se da un valor entero, es suficiente considerar sólo el caso n ≥ 3 , como los casos n = 1 y n = 2 son triviales (uno tiene y ).
Para n ≥ 2 , uno tiene
- si n no es una potencia primaria ,
- Si es una potencia prima con k ≥ 1 .
Los valores que un polinomio ciclotómico puede tomar para otros valores enteros de x está fuertemente relacionado con el orden multiplicativo módulo un número primo.
Más precisamente, dado un número primo p y un entero b coprime con p , el orden multiplicativo de b módulo p , es el menor entero positivo n tal que p es un divisor dePara b > 1 , el orden multiplicativo de b módulo p es también el período más corto de la representación de 1 / p en la base numérica b (ver Número primo único ; esto explica la elección de la notación).
La definición del orden multiplicativo implica que, si n es el orden multiplicativo de b módulo p , entonces p es un divisor de Lo contrario no es cierto, pero uno tiene lo siguiente.
Si n > 0 es un número entero positivo y b > 1 es un número entero, entonces (ver más abajo para una prueba)
dónde
- k es un número entero no negativo, siempre igual a 0 cuando b es par. (De hecho, si n no es ni 1 ni 2, entonces k es 0 o 1. Además, si n no es una potencia de 2 , entonces k siempre es igual a 0)
- g es 1 o el factor primo impar más grande de n .
- h es impar, coprime con n , y sus factores primos son exactamente los primos impares p tales que n es el orden multiplicativo de b módulo p .
Esto implica que, si p es un divisor primo impar deentonces n es un divisor de p - 1 o p es un divisor de n . En este último caso, no divide
El teorema de Zsigmondy implica que los únicos casos en los que b > 1 y h = 1 son
De la factorización anterior se deduce que los factores primos impares de
son exactamente los primos impares p tales que n es el orden multiplicativo de b módulo p . Esta fracción puede ser par solo cuando b es impar. En este caso, el orden multiplicativo de b módulo 2 es siempre 1 .
Hay muchos pares ( n , b ) con b > 1 tales quees primordial. De hecho, la conjetura de Bunyakovsky implica que, para cada n , hay infinitos b > 1 tales quees primordial. Consulte OEIS : A085398 para obtener la lista de los b > 1 más pequeños, tales quees primo (el más pequeño b > 1 tal que es primo se trata de , dónde es la constante de Euler-Mascheroni , yes la función totient de Euler ). Consulte también OEIS : A206864 para obtener la lista de los números primos más pequeños del formulariocon n > 2 y b > 1 , y, más generalmente, OEIS : A206942 , para los enteros positivos más pequeños de esta forma.
Pruebas |
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Aplicaciones
Utilizando , se puede dar una demostración elemental de la infinitud de primos congruentes a 1 módulo n , [10] que es un caso especial del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas .
Prueba |
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Suponer es una lista finita de primos congruentes con modulo Dejar y considerar . Dejar ser un factor primo de (para ver eso descomponerlo en factores lineales y tenga en cuenta que 1 es la raíz de la unidad más cercana a ). Desde lo sabemos es un nuevo primo que no está en la lista. Te mostraremos que Dejar ser el orden de modulo Desde tenemos . Por lo tanto. Te mostraremos que. Suponga por contradicción que . Desde tenemos para algunos . Luego es una raíz doble de Por lo tanto debe ser una raíz de la derivada, por lo que Pero y por lo tanto Esta es una contradicción así que . El orden de cual es , debe dividir . Por lo tanto |
Ver también
- Campo ciclotómico
- Factorización Aurifeuillean
- Raíz de unidad
Notas
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A013595" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor 1878556
- ^ Cox, David A. (2012), "Ejercicio 12", Teoría de Galois (2ª ed.), John Wiley & Sons, p. 237, doi : 10.1002 / 9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9.
- ^ Weisstein, Eric W. "Polinomio ciclotómico" . Consultado el 12 de marzo de 2014 .
- ^ Isaacs, Martín (2009). Álgebra: un curso de posgrado . Librería AMS. pag. 310. ISBN 978-0-8218-4799-2.
- ↑ Meier (2008)
- ^ Gauss, DA, artículos 356-357
- ^ Riesel, págs. 315-316, pág. 436
- ^ Riesel, pp. 309-315, p. 443
- ^ S. Shirali. Number Theory. Orient Blackswan, 2004. p. 67. ISBN 81-7371-454-1
Referencias
Gauss's book Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.
- Gauss, Carl Friedrich (1986) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Translated into English by Clarke, Arthur A. (2nd corr. ed.). New York: Springer. ISBN 0387962549.
- Gauss, Carl Friedrich (1965) [1801]. Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory). Translated into German by Maser, H. (2nd ed.). New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.
- Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-662-12893-0. ISBN 978-3-642-08628-1.
- Maier, Helmut (2008), "Anatomy of integers and cyclotomic polynomials", in De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (eds.), Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13-17, 2006, CRM Proceedings and Lecture Notes, 46, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 89–95, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl 1186.11010
- Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2nd ed.). Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3743-5.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Cyclotomic polynomial". MathWorld.
- "Cyclotomic polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- OEIS sequence A013595 (Triangle of coefficients of cyclotomic polynomial Phi_n(x) (exponents in increasing order))
- OEIS sequence A013594 (Smallest order of cyclotomic polynomial containing n or −n as a coefficient)