En matemáticas , y específicamente en ecuaciones diferenciales parciales (PDE), la fórmula de d'Alembert es la solución general a la ecuación de onda unidimensional. (donde los índices de subíndice indican diferenciación parcial , utilizando el operador de d'Alembert , el PDE se convierte en:).
La solución depende de las condiciones iniciales en: y . Consiste en términos separados para las condiciones iniciales. y :
Lleva el nombre del matemático Jean le Rond d'Alembert , quien lo derivó en 1747 como una solución al problema de una cuerda vibrante . [1]
Detalles
Las características del PDE son (dónde el signo indica las dos soluciones de la ecuación cuadrática), por lo que podemos usar el cambio de variables (para la solución positiva) y (para la solución negativa) para transformar la PDE en . La solución general de este PDE es dónde y están funciones. De nuevo en coordenadas,
- es Si y están .
Esta solución se puede interpretar como dos ondas con velocidad constante moviéndose en direcciones opuestas a lo largo del eje x.
Ahora considere esta solución con los datos de Cauchy .
Utilizando obtenemos .
Utilizando obtenemos .
Podemos integrar la última ecuación para obtener
Ahora podemos resolver este sistema de ecuaciones para obtener
Ahora, usando
La fórmula de d'Alembert se convierte en:
Generalización para ecuaciones diferenciales hiperbólicas canónicas no homogéneas
La forma general de una ecuación diferencial canónica de tipo hiperbólico no homogénea toma la forma de:
por .
Todas las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes se pueden transformar en sus respectivas formas canónicas . Esta ecuación es uno de estos tres casos: Ecuación diferencial parcial elíptica , Ecuación diferencial parcial parabólica y Ecuación diferencial parcial hiperbólica .
La única diferencia entre una ecuación diferencial homogénea y una no homogénea (parcial) es que en la forma homogénea solo permitimos que 0 esté en el lado derecho ( ), mientras que el no homogéneo es mucho más general, como en podría ser cualquier función siempre que sea continua y pueda diferenciarse continuamente dos veces.
La solución de la ecuación anterior viene dada por la fórmula:
.
Si , la primera parte desaparece, si , la segunda parte desaparece, y si , la tercera parte desaparece de la solución, ya que la integración de la función 0 entre dos límites cualesquiera siempre da como resultado 0.
Ver también
Notas
- ↑ D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Investiga sobre la curva que forma una cuerda tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, páginas 214-219. Véase también: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Más investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, páginas 220-249. Véase también: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration", Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, páginas 355-360.
- ^ Pinchover, Rubinstein (2013). Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (octava impresión). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.
enlaces externos
- Un ejemplo de resolución de una ecuación de onda no homogénea de www.exampleproblems.com
https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html