En la relatividad especial , el electromagnetismo y la teoría de las ondas , el operador de d'Alembert (denotado por un cuadro:), También llamado el d'Alembert , operador de onda , operador de caja o, a veces operador quabla ( cf . Símbolo nabla ) es el operador de Laplace de espacio de Minkowski . El operador lleva el nombre del matemático y físico francés Jean le Rond d'Alembert .
En el espacio de Minkowski, en coordenadas estándar ( t , x , y , z ) , tiene la forma
Aquí es el Laplaciano tridimensional y g μν es la métrica inversa de Minkowski con
- , , por .
Tenga en cuenta que los índices de suma μ y ν varían de 0 a 3: consulte la notación de Einstein . Hemos asumido unidades tales que la velocidad de la luz c = 1.
(Algunos autores utilizan alternativamente la firma métrica negativa de (- + + +) , con.)
Las transformaciones de Lorentz dejan la métrica de Minkowski invariante, por lo que el d'Alembertian produce un escalar de Lorentz . Las expresiones de coordenadas anteriores siguen siendo válidas para las coordenadas estándar en cada marco inercial.
El símbolo de la caja () y notaciones alternativas
Hay una variedad de notaciones para el d'Alembertian. Los más comunes son el símbolo de la caja.( Unicode : U + 2610 ☐ CAJA DE BOLETAS ) cuyos cuatro lados representan las cuatro dimensiones del espacio-tiempo y el símbolo del cuadradoque enfatiza la propiedad escalar a través del término al cuadrado (muy parecido al laplaciano ). De acuerdo con la notación triangular para el laplaciano , a veces se utiliza.
Otra forma de escribir el d'Alembertian en coordenadas planas estándar es . Esta notación se usa ampliamente en la teoría cuántica de campos , donde las derivadas parciales generalmente se indexan, por lo que la falta de un índice con la derivada parcial cuadrática indica la presencia del d'Alembertian.
A veces, el símbolo de la caja se usa para representar la derivada covariante de Levi-Civita de cuatro dimensiones . El símbololuego se usa para representar las derivadas espaciales, pero esto depende del gráfico de coordenadas .
Aplicaciones
La ecuación de onda para pequeñas vibraciones tiene la forma
donde u ( x , t ) es el desplazamiento.
La ecuación de onda para el campo electromagnético en el vacío es
donde A μ es el cuatro potencial electromagnético en el calibre de Lorenz .
La ecuación de Klein-Gordon tiene la forma
Función de Green
La función del verde ,, para el d'Alembertian se define por la ecuación
dónde es la función delta de Dirac multidimensional y y son dos puntos en el espacio de Minkowski.
Una solución especial viene dada por la función de Green retardada que corresponde a la propagación de la señal solo hacia adelante en el tiempo [1]
dónde es la función escalón Heaviside .
Ver también
Referencias
- ^ S. Siklos. "La función causal de Green para la ecuación de onda" (PDF) . Consultado el 2 de enero de 2013 .
enlaces externos
- "Operador D'Alembert" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Poincaré, Henri (1906). Wikisource ., originalmente impreso en Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . - a través de
- Weisstein, Eric W. "d'Alembertian" . MathWorld .