En dinámica de fluidos , la paradoja de d'Alembert (o la paradoja hidrodinámica ) es una contradicción alcanzada en 1752 por el matemático francés Jean le Rond d'Alembert . [1] D'Alembert demostró que, para un flujo potencial incompresible e invisible , la fuerza de arrastre es cero en un cuerpo que se mueve con velocidad constante en relación con el fluido . [2] La resistencia cero está en contradicción directa con la observación de una resistencia sustancial en cuerpos que se mueven en relación con los fluidos, como el aire y el agua; especialmente a altas velocidades que se corresponden con altos números de Reynolds. Es un ejemplo particular de la paradoja de la reversibilidad . [3]
D'Alembert, trabajando en un problema de premio de 1749 de la Academia de Berlín sobre arrastre de flujo, concluyó: "Me parece que la teoría (flujo potencial), desarrollada con todo el rigor posible, da, al menos en varios casos, una estricta desaparición resistencia, una paradoja singular que dejo a los futuros Geómetros [es decir, matemáticos - los dos términos se usaban indistintamente en ese momento] para dilucidar " . [4] Una paradoja física indica fallas en la teoría.
La mecánica de fluidos fue desacreditada por los ingenieros desde el principio, lo que resultó en una desafortunada división entre el campo de la hidráulica , que observa fenómenos que no podían explicarse, y la mecánica de fluidos teórica que explica fenómenos que no podían observarse, en palabras de la Química. El premio Nobel Sir Cyril Hinshelwood . [5]
Según el consenso científico , la aparición de la paradoja se debe a los efectos desatendidos de la viscosidad . Junto con los experimentos científicos, hubo grandes avances en la teoría de la fricción de fluidos viscosos durante el siglo XIX. Con respecto a la paradoja, esto culminó con el descubrimiento y descripción de capas límite delgadas por Ludwig Prandtl en 1904. Incluso con números de Reynolds muy altos, las capas límite delgadas permanecen como resultado de fuerzas viscosas. Estas fuerzas viscosas causan arrastre por fricción en objetos aerodinámicos, y para los cuerpos de acantilado, el resultado adicional es la separación del flujo y una estela de baja presión detrás del objeto, lo que lleva al arrastre de la forma . [6] [7] [8] [9]
La opinión general en la comunidad de la mecánica de fluidos es que, desde un punto de vista práctico, la paradoja se resuelve según las líneas sugeridas por Prandtl. [6] [7] [8] [9] [10] [11] Falta una demostración matemática formal, y es difícil de proporcionar, como en muchos otros problemas de flujo de fluidos que involucran las ecuaciones de Navier-Stokes (que se utilizan para describir flujo viscoso).
Saint-Venant , que modeló la fricción de un fluido viscoso , dio los primeros pasos para resolver la paradoja . Saint-Venant afirma en 1847: [12]
- Pero se encuentra otro resultado si, en lugar de un fluido ideal -objeto de los cálculos de los geómetras del siglo pasado- se utiliza un fluido real, compuesto por un número finito de moléculas y ejerciendo en su estado de movimiento fuerzas de presión desiguales o fuerzas que tienen componentes tangenciales a los elementos superficiales por los que actúan; componentes a los que nos referimos como fricción del fluido, nombre que se les ha dado desde Descartes y Newton hasta Venturi ".
Poco después, en 1851, Stokes calculó la resistencia de una esfera en el flujo de Stokes , conocida como ley de Stokes . [13] El flujo de Stokes es el límite bajo del número de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el movimiento de un líquido viscoso. [14]
Sin embargo, cuando el problema de flujo se pone en una forma adimensional , las ecuaciones viscosas de Navier-Stokes convergen para aumentar los números de Reynolds hacia las ecuaciones de Euler no viscosas , lo que sugiere que el flujo debería converger hacia las soluciones no viscosas de la teoría del flujo potencial : tener el cero. arrastre de la paradoja de d'Alembert. De esto, no hay evidencia encontrada en mediciones experimentales de visualizaciones de arrastre y flujo. [15] Esto volvió a plantear preguntas sobre la aplicabilidad de la mecánica de fluidos en la segunda mitad del siglo XIX.
Flujo separado invisible: Kirchhoff y Rayleigh
En la segunda mitad del siglo XIX, el enfoque cambió nuevamente hacia el uso de la teoría del flujo no viscoso para la descripción del arrastre de fluidos, asumiendo que la viscosidad se vuelve menos importante con números de Reynolds altos. El modelo propuesto por Kirchhoff [17] y Rayleigh [18] se basó en la teoría de la línea de flujo libre de Helmholtz [19] y consiste en una estela constante detrás del cuerpo. Los supuestos aplicados a la región de estela incluyen: velocidades de flujo iguales a la velocidad del cuerpo y una presión constante. Esta región de estela se separa del flujo potencial fuera del cuerpo y se despierta mediante láminas de vórtice con saltos discontinuos en la velocidad tangencial a través de la interfaz. [20] [21] Para tener un arrastre distinto de cero en el cuerpo, la región de estela debe extenderse hasta el infinito. De hecho, esta condición se cumple para el flujo de Kirchhoff perpendicular a una placa. La teoría establece correctamente que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad. [22] En primera instancia, la teoría solo podría aplicarse a flujos que se separan en bordes afilados. Más tarde, en 1907, fue ampliado por Levi-Civita a los flujos que se separan de un límite curvo suave. [23]
Se sabía fácilmente que tales flujos constantes no son estables, ya que las capas de vórtice desarrollan las llamadas inestabilidades de Kelvin-Helmholtz . [21] Pero este modelo de flujo constante se estudió más a fondo con la esperanza de que aún pudiera dar una estimación razonable de la resistencia. Rayleigh pregunta "... si los cálculos de resistencia se ven afectados materialmente por esta circunstancia, ya que las presiones experimentadas deben ser casi independientes de lo que sucede a cierta distancia en la parte trasera del obstáculo, donde la inestabilidad comenzaría a manifestarse". [18]
Sin embargo, surgieron objeciones fundamentales contra este enfoque: Kelvin observó que si una placa se mueve con velocidad constante a través del fluido (en reposo lejos de la placa, excepto por la estela), la velocidad en la estela es igual a la de la placa. La extensión infinita de la estela, que se ensancha con la distancia a la placa, como se obtiene de la teoría, da como resultado una energía cinética infinita en la estela, que debe ser rechazada por motivos físicos. [22] [24] Además, las diferencias de presión observadas entre la parte delantera y trasera de la placa, y las fuerzas de arrastre resultantes, son mucho mayores de lo previsto: para una placa plana perpendicular al flujo, el coeficiente de arrastre previsto es C D = 0,88, mientras que en los experimentos se encuentra C D = 2,0. Esto se debe principalmente a la succión en el lado de la estela de la placa, inducida por el flujo inestable en la estela real (a diferencia de la teoría que supone una velocidad de flujo constante igual a la velocidad de la placa). [25]
Por lo tanto, esta teoría resulta insatisfactoria como explicación de la resistencia de un cuerpo que se mueve a través de un fluido. Aunque se puede aplicar a los llamados flujos de cavidad donde, en lugar de una estela llena de líquido, se supone que existe una cavidad de vacío detrás del cuerpo. [21] [22] [26]
Capas límite delgadas: Prandtl
El físico alemán Ludwig Prandtl sugirió en 1904 que los efectos de una capa límite delgada y viscosa posiblemente podrían ser la fuente de una resistencia sustancial. [27] Prandtl propuso la idea de que, a altas velocidades y altos números de Reynolds, una condición de límite de no deslizamiento provoca una fuerte variación de las velocidades de flujo sobre una capa delgada cerca de la pared del cuerpo. Esto conduce a la generación de vorticidad y disipación viscosa de energía cinética en la capa límite. La disipación de energía, que falta en las teorías inviscid, resulta en cuerpos de farol en la separación del flujo. La baja presión en la región de estela provoca el arrastre de la forma , y este puede ser mayor que el arrastre de fricción debido al esfuerzo cortante viscoso en la pared. [15]
La evidencia de que el escenario de Prandtl ocurre para cuerpos de farol en flujos de números de Reynolds altos se puede ver en flujos impulsados impulsivamente alrededor de un cilindro. Inicialmente, el flujo se asemeja al flujo potencial, después de lo cual el flujo se separa cerca del punto de estancamiento trasero . A partir de entonces, los puntos de separación se mueven aguas arriba, lo que da como resultado una región de baja presión de flujo separado. [15]
Prandtl formuló la hipótesis de que los efectos viscosos son importantes en las capas delgadas, llamadas capas límite, adyacentes a los límites sólidos, y que la viscosidad no tiene un papel importante en el exterior. El espesor de la capa límite se reduce cuando se reduce la viscosidad. El problema completo del flujo viscoso, descrito por las ecuaciones no lineales de Navier-Stokes , en general no se puede resolver matemáticamente. Sin embargo, usando su hipótesis (y respaldada por experimentos) Prandtl pudo derivar un modelo aproximado para el flujo dentro de la capa límite, llamado teoría de la capa límite ; mientras que el flujo fuera de la capa límite podría tratarse utilizando la teoría del flujo no viscoso . La teoría de la capa límite se adapta al método de expansiones asintóticas emparejadas para derivar soluciones aproximadas. En el caso más simple de una placa plana paralela al flujo entrante, la teoría de la capa límite da como resultado un arrastre (de fricción), mientras que todas las teorías de flujo no viscoso predecirán un arrastre cero. Es importante destacar que para la aeronáutica , la teoría de Prandtl se puede aplicar directamente a cuerpos aerodinámicos como superficies aerodinámicas donde, además del arrastre por fricción de la superficie, también hay arrastre de forma. El arrastre de forma se debe al efecto de la capa límite y la estela fina sobre la distribución de la presión alrededor del perfil aerodinámico. [8] [28]
Preguntas abiertas
Verificar, como sugirió Prandtl, que una causa muy pequeña (viscosidad muy pequeña para aumentar el número de Reynolds) tiene un gran efecto (arrastre sustancial) puede ser muy difícil.
El matemático Garrett Birkhoff en el capítulo inicial de su libro Hydrodynamics from 1950, [29] aborda una serie de paradojas de la mecánica de fluidos (incluida la paradoja de d'Alembert) y expresa una clara duda en sus resoluciones oficiales:
- " Además, creo que atribuirlos todos a la negligencia de la viscosidad es una simplificación excesiva injustificada. La raíz es más profunda, precisamente en la falta de ese rigor deductivo cuya importancia es tan comúnmente minimizada por físicos e ingenieros " . [30]
En particular, sobre la paradoja de d'Alembert, considera otra posible ruta para la creación de la resistencia: la inestabilidad de las soluciones de flujo potencial de las ecuaciones de Euler . Birkhoff afirma:
- " En cualquier caso, los párrafos anteriores dejan en claro que la teoría de los flujos no viscosos es incompleta. De hecho, el razonamiento que conduce al concepto de un" flujo constante "no es concluyente; no existe una justificación rigurosa para la eliminación del tiempo como una variable independiente. Así, aunque los flujos de Dirichlet (soluciones potenciales) y otros flujos estables son matemáticamente posibles, no hay razón para suponer que cualquier flujo estacionario sea estable " . [31]
En su reseña de 1951 [32] del libro de Birkhoff, el matemático James J. Stoker critica duramente el primer capítulo del libro:
- " Al revisor le resultó difícil entender para qué clase de lectores se escribió el primer capítulo. Para los lectores familiarizados con la hidrodinámica, la mayoría de los casos citados como paradojas pertenecen a la categoría de errores corregidos hace mucho tiempo o a la categoría de discrepancias entre la teoría y los experimentos, cuyas razones también se comprenden bien. Por otro lado, es muy probable que los no iniciados obtengan ideas equivocadas sobre algunos de los logros importantes y útiles en hidrodinámica al leer este capítulo " .
En la segunda y revisada edición de Hydrodynamics de Birkhoff en 1960, las dos declaraciones anteriores ya no aparecen. [33]
Treinta años después, Stewartson revisa la importancia y la utilidad de los logros obtenidos sobre el tema de la paradoja de d'Alembert. Su extenso artículo de la encuesta de 1981 comienza con: [10]
- " Dado que la teoría clásica no viscosa lleva a la conclusión evidentemente absurda de que la resistencia experimentada por un cuerpo rígido que se mueve a través de un fluido con velocidad uniforme es cero, durante los últimos cien años se han realizado grandes esfuerzos para proponer teorías alternativas y explicar cómo un No obstante, una fuerza de fricción extremadamente pequeña en el fluido puede tener un efecto significativo en las propiedades del flujo. Los métodos utilizados son una combinación de observación experimental, cálculo a menudo a gran escala y análisis de la estructura de la forma asintótica de la solución como la fricción tiende a cero. Este ataque de tres frentes ha logrado un éxito considerable, especialmente durante los últimos diez años, por lo que ahora la paradoja puede considerarse resuelta en gran parte " .
Para muchas paradojas de la física, su resolución a menudo radica en trascender la teoría disponible. [34] En el caso de la paradoja de d'Alembert, Prandtl proporcionó el mecanismo esencial para su resolución a través del descubrimiento y modelado de capas limítrofes viscosas delgadas , que no desaparecen con números de Reynolds altos . [27]
Hoffman y Johnson publicaron una nueva resolución, en conexión con la segunda cita de Birkhoff anterior, en Journal of Mathematical Fluid Mechanics, agosto de 2010, volumen 12, número 3, págs. 321–334 , que es completamente diferente de la resolución de Prandtl basada en su límite. teoría de capas. La nueva resolución se basa en el descubrimiento, apoyado por análisis matemáticos y cálculos, de que el flujo potencial con arrastre cero es una solución matemática formal inestable no física de las ecuaciones de Euler, que como flujo físico (que satisface una condición de límite de deslizamiento) de una inestabilidad básica en la separación desarrolla Estela turbulenta creando arrastre. La nueva resolución cuestiona el legado de Prandtl basado en el concepto de capa límite (causada por una condición de límite sin deslizamiento) y abre nuevas posibilidades en la mecánica de fluidos computacional explorada en Hoffman y Johnson, Computational Turbulent Incompressible Flow, Springer, 2007 . La nueva resolución ha dado lugar a una nueva teoría del vuelo.
Prueba de resistencia cero en flujo potencial constante
Flujo potencial
Los tres supuestos principales en la derivación de la paradoja de d'Alembert es que el flujo constante es incompresible , no viscoso e irrotacional . [35] Un fluido no viscoso se describe mediante las ecuaciones de Euler , que junto con las otras dos condiciones se leen
donde u denota la velocidad de flujo del fluido, p la presión , ρ la densidad y ∇ es el operador de gradiente .
Tenemos el segundo término en la ecuación de Euler como:
donde la primera igualdad es una identidad de cálculo vectorial y la segunda igualdad usa que el flujo es irrotacional. Además, para cada flujo de irrigación, existe un potencial de velocidad φ tal que u = ∇ φ . Sustituyendo todo esto en la ecuación para la conservación del momento se obtiene
Por lo tanto, la cantidad entre paréntesis debe ser constante (cualquier dependencia de t puede eliminarse redefiniendo φ ). Suponiendo que el fluido está en reposo en el infinito y que la presión se define como cero allí, esta constante es cero, y por lo tanto
que es la ecuación de Bernoulli para flujo potencial inestable.
Arrastre cero
Ahora, suponga que un cuerpo se mueve con velocidad constante v a través del fluido, que está en reposo infinitamente lejos. Entonces el campo de velocidad del fluido tiene que seguir al cuerpo, por lo que tiene la forma u ( x , t ) = u ( x - v t , 0), donde x es el vector de coordenadas espaciales, y así:
Dado que u = ∇ φ , esto se puede integrar con respecto ax :
La fuerza F que ejerce el fluido sobre el cuerpo viene dada por la integral de superficie
donde A denota la superficie del cuerpo yn el vector normal en la superficie del cuerpo. Pero de (2) se sigue que
por lo tanto
siendo la contribución de R (t) a la integral igual a cero.
En este punto, resulta más conveniente trabajar en los componentes vectoriales . El k- ésimo componente de esta ecuación dice
Sea V el volumen ocupado por el fluido. El teorema de la divergencia dice que
El lado derecho es una integral sobre un volumen infinito, por lo que esto necesita cierta justificación, que se puede proporcionar apelando a la teoría del potencial para mostrar que la velocidad u debe caer como r −3 , correspondiente a un campo de potencial dipolo en el caso de un cuerpo tridimensional de extensión finita, donde r es la distancia al centro del cuerpo. El integrando en la integral de volumen se puede reescribir de la siguiente manera:
donde primero se usa la igualdad (1) y luego la incompresibilidad del flujo. Sustituyendo esto nuevamente en la integral de volumen y otra aplicación del teorema de divergencia nuevamente. Esto produce
Sustituyendo esto en (3), encontramos que
El líquido no puede penetrar en el cuerpo y, por lo tanto, n · u = n · v en la superficie del cuerpo. Entonces y
Finalmente, el arrastre es la fuerza en la dirección en la que se mueve el cuerpo, por lo que
De ahí que el arrastre se desvanezca. Ésta es la paradoja de d'Alembert.
Notas
- ↑ Jean le Rond d'Alembert (1752).
- ^ Grimberg, Pauls y Frisch (2008).
- ^ Falkovich (2011), p. 32.
- ^ Reimpreso en: Jean le Rond d'Alembert (1768).
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- ↑ a b Landau y Lifshitz (1987), p. 15.
- ↑ a b Batchelor (2000), págs. 264-265, 303, 337.
- ^ a b c Schlichting, Hermann ; Gersten, Klaus (2000), Teoría de la capa límite (octava edición revisada y ampliada), Springer, ISBN 978-3-540-66270-9, págs. XIX – XXIII.
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- ↑ a b Stewartson (1981).
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- ^ Saint-Venant, A. (1847), "Mémoire sur la théorie de la résistance des fluides. Solution du paradoxe proposé à ce sujet par d'Alembert aux géomètres. Comparaison de la théorie aux expériences" , Comptes Rendus des Séances de l ' Académie des Sciences , 24 : 243-246 , recuperada 2008-08-15
- ^ Stokes, GG (1851), "Sobre el efecto de la fricción interna de los fluidos sobre el movimiento de los péndulos", Trans. Camb. Philos. Soc. , 9 : 8–106, Bibcode : 1851TCaPS ... 9 .... 8S. Reimpreso en Stokes, GG, "Sobre el efecto ...", Papeles matemáticos y físicos (2ª ed.), Cambridge Univ. Presione, 3
- ^ Las ecuaciones de flujo de Stokes tienen una solución para el flujo alrededor de una esfera, pero no para el flujo alrededor de un cilindro circular. Esto se debe al descuido de la aceleración convectiva en el flujo de Stokes. La aceleración convectiva domina los efectos viscosos lejos del cilindro (Batchelor, 2000, p. 245). Se puede encontrar una solución cuando se tiene en cuenta la aceleración convectiva, por ejemplo, utilizando las ecuaciones de Oseen (Batchelor, 2000, págs. 245–246).
- ^ a b c Batchelor (2000), págs. 337–343 y láminas.
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- ^ Batchelor (2000), p. 500.
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- ↑ a b Prandtl (1904).
- ^ Batchelor (2000) págs. 302–314 y 331–337.
- ↑ Garrett Birkhoff, Hydrodynamics: a study in logic, fact, and similitude , Princeton University Press, 1950
- ^ Birkhoff (1950) p. 4.
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- ^ Lo más cercano a la primera cita viene, en la página 5:
- " ... Ahora se suele afirmar que tales paradojas se deben a las diferencias entre los fluidos" reales "que tienen una viscosidad pequeña pero finita, y los fluidos" ideales "que tienen una viscosidad cero. Por lo tanto, se da a entender esencialmente que se puede rectificar la afirmación de Lagrange, por sustituyendo "Navier-Stokes" por "Euler". Esta afirmación se discutirá críticamente en el Capítulo II; bien puede ser correcta en principio para el flujo viscoso incompresible . Sin embargo, tomado literalmente, creo que sigue siendo muy engañoso, a menos que se preste atención explícita se paga a las hipótesis plausibles enumeradas anteriormente, y a la falta de rigor que implica su uso. Aunque no conozco ningún caso en el que una deducción, tanto física como matemáticamente rigurosa, haya llevado a una conclusión errónea, muy pocas de las deducciones de la hidrodinámica racional se puede establecer rigurosamente. Las más interesantes involucran el uso libre de las Hipótesis (A) - (F) ... "
- " ... Se deben a Euler las primeras fórmulas generales para el movimiento de fluidos ... presentadas en la notación simple y luminosa de diferencias parciales ... Mediante este descubrimiento, toda la mecánica de fluidos se redujo a un solo punto de análisis, y si el las ecuaciones involucradas eran integrables, se podía determinar completamente, en todos los casos, el movimiento de un fluido movido por cualquier fuerza ... "
- ↑ Por ejemplo, la paradoja de la constancia de la velocidad de la luz en todas las direcciones fue resuelta por la teoría especial de la relatividad .
- ^ Este artículo sigue la derivación de la Sección 6.4 de Batchelor (2000).
Referencias
Histórico
- d'Alembert, Jean le Rond (1752), Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides
- d'Alembert, Jean le Rond (1768), "Memoir XXXIV", Opuscules Mathématiques , 5 (§I ed.), págs. 132-138
- Prandtl, Ludwig (1904), Movimiento de fluidos con muy poca viscosidad (PDF) , 452 , Memorando técnico de la NACA
Otras lecturas
- Batchelor, G. (2000), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge Mathematical Library (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66396-0, MR 1744638
- Falkovich, G. (2011), Mecánica de fluidos, un curso corto para físicos , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00575-4
- Grimberg, G .; Pauls, W .; Frisch, U. (2008), "Génesis de la paradoja de d'Alembert y elaboración analítica del problema de arrastre", Physica D , 237 (14-17): 1878-1886, arXiv : 0801.3014 , Bibcode : 2008PhyD..237.1878G , doi : 10.1016 / j.physd.2008.01.015 , S2CID 15979390
- Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987), Mecánica de fluidos , Curso de física teórica , 6 (2a ed.), Pergamon Press , ISBN 978-0-08-009104-4
- Stewartson, K. (1981), "La paradoja de D'Alembert", SIAM Review , 23 (3): 308–343, doi : 10.1137 / 1023063
enlaces externos
- Flujo potencial y la paradoja de d'Alembert en MathPages