Forma diferencial compleja
En matemáticas , una forma diferencial compleja es una forma diferencial en una variedad (generalmente una variedad compleja ) a la que se le permite tener coeficientes complejos .
Las formas complejas tienen amplias aplicaciones en geometría diferencial . En variedades complejas, son fundamentales y sirven como base para gran parte de la geometría algebraica , la geometría de Kähler y la teoría de Hodge . Sobre variedades no complejas, también juegan un papel en el estudio de estructuras casi complejas , la teoría de espinores y estructuras CR .
Normalmente, las formas complejas se consideran debido a alguna descomposición deseable que admiten las formas. En una variedad compleja, por ejemplo, cualquier forma k compleja puede descomponerse únicamente en una suma de las llamadas formas ( p , q ) : aproximadamente, cuñas de p diferenciales de las coordenadas holomórficas con q diferenciales de sus conjugados complejos. El conjunto de formas ( p , q ) se convierte en el objeto primitivo de estudio y determina una estructura geométrica más fina en la variedad que las formas k . Existen incluso estructuras más finas, por ejemplo, en los casos en que se aplica la teoría de Hodge .
Suponga que M es una variedad compleja de dimensión compleja n . Entonces hay un sistema de coordenadas local que consta de n funciones de valores complejos z 1 , ..., z n de manera que las transiciones de coordenadas de un parche a otro son funciones holomórficas de estas variables. El espacio de las formas complejas tiene una estructura rica, que depende fundamentalmente del hecho de que estas funciones de transición son holomórficas, en lugar de simplemente suaves .
Comenzamos con el caso de las formas uniformes. Primero descomponga las coordenadas complejas en sus partes real e imaginaria: z j = x j + iy j para cada j . Dejando
Sea Ω 1,0 el espacio de formas diferenciales complejas que contienen solo 'sy Ω 0,1 el espacio de formas que contienen solo ' s. Se puede demostrar, mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann , que los espacios Ω 1,0 y Ω 0,1 son estables bajo cambios de coordenadas holomórficas. En otras palabras, si uno hace una elección diferente w i del sistema de coordenadas holomórficas, entonces los elementos de Ω 1,0 se transforman tensorialmente , al igual que los elementos de Ω 0,1 . Por tanto, los espacios Ω 0,1 y Ω 1,0 determinan haces de vectores complejos en la variedad compleja.
