En matemáticas , una variedad casi compleja es una variedad suave equipada con una estructura compleja lineal suave en cada espacio tangente . Cada variedad compleja es una variedad casi compleja, pero hay variedades casi complejas que no son variedades complejas. Las estructuras casi complejas tienen aplicaciones importantes en geometría simpléctica .
El concepto se debe a Charles Ehresmann y Heinz Hopf en la década de 1940. [1]
Definicion formal
Sea M una variedad suave. Una estructura casi compleja J en M es una estructura compleja lineal (es decir, un mapa lineal que cuadra a -1) en cada espacio tangente de la variedad, que varía suavemente en la variedad. En otras palabras, tenemos un campo tensorial suave J de grado (1, 1) tal que cuando se considera como un isomorfismo de paquete de vectores en el paquete tangente . Un colector equipado con una estructura casi compleja se denomina colector casi complejo .
Si M admite una estructura casi compleja, debe ser de dimensión uniforme. Esto se puede ver de la siguiente manera. Suponga que M es n- dimensional, y sea J : TM → TM una estructura casi compleja. Si J 2 = −1 entonces (det J ) 2 = (−1) n . Pero si M es una variedad real, entonces det J es un número real; por lo tanto, n debe ser incluso si M tiene una estructura casi compleja. Se puede demostrar que también debe ser orientable .
Un sencillo ejercicio de álgebra lineal muestra que cualquier espacio vectorial de dimensión uniforme admite una estructura lineal compleja. Por lo tanto, una variedad dimensional par siempre admite un tensor de rango (1, 1) puntual (que es solo una transformación lineal en cada espacio tangente) tal que J p 2 = −1 en cada punto p . Solo cuando este tensor local se puede unir para definirlo globalmente, la estructura compleja lineal puntual produce una estructura casi compleja, que luego se determina de forma única. La posibilidad de este parcheo, y por lo tanto la existencia de una estructura casi compleja en una variedad M, equivale a una reducción del grupo de estructura del haz tangente de GL (2 n , R ) a GL ( n , C ) . La cuestión de la existencia es entonces una topológica puramente algebraica y se comprende bastante bien.
Ejemplos de
Para cada entero n, el espacio plano R 2 n admite una estructura casi compleja. Un ejemplo de una estructura tan casi compleja es (1 ≤ i , j ≤ 2 n ):incluso yo ,por extraño i .
Las únicas esferas que admiten estructuras casi complejas son S 2 y S 6 ( Borel & Serre (1953) ). En particular, a S 4 no se le puede dar una estructura casi compleja (Ehresmann y Hopf). En el caso de S 2 , la estructura casi compleja proviene de una estructura compleja honesta en la esfera de Riemann . La 6-esfera, S 6 , cuando se considera como el conjunto de octoniones imaginarios de norma unitaria , hereda una estructura casi compleja de la multiplicación de octoniones; la cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . [2]
Topología diferencial de variedades casi complejas
Así como una estructura compleja en un espacio vectorial V permite una descomposición de V C en V + y V - (los espacios propios de J correspondientes a + i y - i , respectivamente), una estructura casi compleja en M permite una descomposición de la haz tangente complejado TM C (que es el haz de vectores de espacios tangentes complejados en cada punto) en TM + y TM - . Una sección de TM + se denomina campo vectorial de tipo (1, 0), mientras que una sección de TM - es un campo vectorial de tipo (0, 1). Así, J corresponde a la multiplicación por i en los campos del vector (1, 0) del paquete tangente complejado, y la multiplicación por - i en los campos del vector (0, 1).
Así como construimos formas diferenciales a partir de poderes exteriores del paquete cotangente , podemos construir poderes exteriores del paquete cotangente complexificado (que es canónicamente isomórfico al paquete de espacios duales del paquete tangente complexificado). La estructura casi compleja induce la descomposición de cada espacio de formas r
En otras palabras, cada Ω r ( M ) C admite una descomposición en una suma de Ω ( p , q ) ( M ), con r = p + q .
Como con cualquier suma directa , hay una proyección canónica π p , q desde Ω r ( M ) C a Ω ( p , q ) . También tenemos el exterior derivado d que mapea Ω r ( M ) C a Ω r 1 ( M ) C . Por lo tanto, podemos utilizar la estructura casi compleja para refinar la acción de la derivada exterior a las formas de tipo definido.
así que eso es un mapa que aumenta la parte holomórfica del tipo en uno (toma formas de tipo ( p , q ) a formas de tipo ( p +1, q )), yes un mapa que aumenta en uno la parte antiholomórfica del tipo. Estos operadores se denominan operadores Dolbeault .
Dado que la suma de todas las proyecciones debe ser el mapa de identidad , observamos que la derivada exterior se puede escribir
Estructuras casi complejas integrables
Cada variedad compleja es en sí misma una variedad casi compleja. En coordenadas holomorfas locales uno puede definir los mapas
(al igual que una rotación en sentido antihorario de π / 2) o
Se comprueba fácilmente que este mapa define una estructura casi compleja. Así, cualquier estructura compleja en una variedad produce una estructura casi compleja, que se dice que es "inducida" por la estructura compleja, y se dice que la estructura compleja es "compatible con" la estructura casi compleja.
La pregunta inversa, si la estructura casi compleja implica la existencia de una estructura compleja, es mucho menos trivial y, en general, no es cierta. En una variedad arbitraria casi compleja siempre se pueden encontrar coordenadas para las cuales la estructura casi compleja toma la forma canónica anterior en cualquier punto p dado . Sin embargo, en general, no es posible encontrar coordenadas de modo que J tome la forma canónica en un vecindario completo de p . Tales coordenadas, si existen, se denominan "coordenadas holomórficas locales para J". Si M admite coordenadas holomórficas locales para J alrededor de cada punto entonces estos parche juntos para formar un holomórficas atlas para M que le dan una estructura compleja, que por otra parte induce J . Entonces se dice que J es ' integrable '. Si J es inducido por una estructura compleja, entonces es inducido por una estructura compleja única.
Dado cualquier mapa lineal A en cada espacio tangente de M ; es decir, A es un campo tensorial de rango (1, 1), entonces el tensor de Nijenhuis es un campo tensorial de rango (1,2) dado por
o, para el caso habitual de una estructura casi compleja A = J tal que,
Las expresiones individuales de la derecha dependen de la elección de los campos vectoriales suaves X e Y , pero el lado izquierdo en realidad depende solo de los valores puntuales de X e Y , razón por la cual N A es un tensor. Esto también se desprende de la fórmula del componente.
En términos del corchete de Frölicher-Nijenhuis , que generaliza el corchete de Lie de los campos vectoriales, el tensor de Nijenhuis N A es sólo la mitad de [ A , A ].
El teorema de Newlander-Nirenberg establece que una estructura J casi compleja es integrable si y solo si N J = 0. La estructura compleja compatible es única, como se discutió anteriormente. Dado que la existencia de una estructura casi compleja integrable es equivalente a la existencia de una estructura compleja, esto a veces se toma como la definición de una estructura compleja.
Hay varios otros criterios que son equivalentes a la desaparición del tensor de Nijenhuis y que, por lo tanto, proporcionan métodos para verificar la integrabilidad de una estructura casi compleja (y de hecho, cada uno de estos se puede encontrar en la literatura):
- El corchete de Lie de dos campos de vectores (1, 0) cualesquiera es de nuevo de tipo (1, 0)
Cualquiera de estas condiciones implica la existencia de una estructura compleja única compatible.
La existencia de una estructura casi compleja es una cuestión topológica y es relativamente fácil de responder, como se discutió anteriormente. La existencia de una estructura integrable casi compleja, por otro lado, es una cuestión analítica mucho más difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si S 6 admite una estructura casi compleja integrable, a pesar de una larga historia de afirmaciones finalmente no verificadas. Los problemas de suavidad son importantes. Para el analítico real J , el teorema de Newlander-Nirenberg se sigue del teorema de Frobenius ; para C ∞ (y menos suave) J , se requiere análisis (con técnicas más difíciles a medida que se debilita la hipótesis de regularidad).
Triples compatibles
Suponga que M está equipado con una forma simpléctica ω , una métrica riemanniana g y una estructura J casi compleja . Desde ω y g son no degenerada , que cada uno induce un isomorfismo haz TM → T * M , en el que el primer mapa, denotado varphi ω , está dada por el producto interior varphi ω ( u ) = i u ω = ω ( u , •) y el otro, denotado φ g , viene dado por la operación análoga para g . Con esto entendido, las tres estructuras ( g , ω , J ) forman un triple compatible cuando cada estructura puede ser especificada por las otras dos de la siguiente manera:
- g ( u , v ) = ω ( u , Jv )
- ω ( u , v ) = g ( Ju , v )
- J ( u ) = ( φ g ) −1 ( φ ω ( u )).
En cada una de estas ecuaciones, las dos estructuras del lado derecho se denominan compatibles cuando la construcción correspondiente produce una estructura del tipo especificado. Por ejemplo, ω y J son compatibles si y solo si ω (•, J •) es una métrica de Riemann. El haz en M cuyas secciones son las estructuras casi complejas compatibles con ω tiene fibras contráctiles : las estructuras complejas en las fibras tangentes compatibles con la restricción a las formas simplécticas.
Usando propiedades elementales de la forma simpléctica ω , se puede demostrar que una estructura casi compleja compatible J es una estructura casi de Kähler para la métrica de Riemann ω ( u , Jv ). Además, si J es integrable, entonces ( M , ω , J ) es una variedad de Kähler .
Estos triples están relacionados con la propiedad 2 de 3 del grupo unitario .
Estructura generalizada casi compleja
Nigel Hitchin introdujo la noción de una estructura casi compleja generalizada en la variedad M , que fue elaborada en las disertaciones doctorales de sus estudiantes Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti . Una estructura casi compleja ordinaria es una elección de un subespacio semidimensional de cada fibra del haz tangente complejo TM . Una estructura casi compleja generalizada es una elección de un subespacio isotrópico semidimensional de cada fibra de la suma directa de los haces tangentes y cotangentes complejos . En ambos casos, se exige que la suma directa del subpaquete y su conjugado complejo produzca el paquete original.
Una estructura casi compleja se integra a una estructura compleja si el subespacio de media dimensión se cierra bajo el soporte de Lie . Una estructura casi compleja generalizada se integra a una estructura compleja generalizada si el subespacio se cierra bajo el corchete de Courant . Si además este espacio semidimensional es el aniquilador de un espino puro que desaparece en ninguna parte, entonces M es una variedad Calabi-Yau generalizada .
Ver también
- Variedad casi cuaterniónica
- Clase Chern
- Soporte Frölicher – Nijenhuis
- Colector Kähler
- Colector de Poisson
- Colector Rizza
- Variedad simpléctica
Referencias
- ^ Van de Ven, A. (junio de 1966). "Sobre los números de Chern de ciertas variedades complejas y casi complejas" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 55 (6): 1624–1627.
- ^ Agricola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "Sobre la historia del problema Hopf". Geometría diferencial y sus aplicaciones . 57 : 1-9. arXiv : 1708.01068 .
- Newlander, agosto; Nirenberg, Louis (1957). "Coordenadas analíticas complejas en variedades casi complejas". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 65 (3): 391–404. doi : 10.2307 / 1970051 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970051 . Señor 0088770 .
- Cannas da Silva, Ana (2001). Conferencias sobre geometría simpléctica . Saltador. ISBN 3-540-42195-5. Información sobre triples compatibles, colectores Kähler y Hermitian, etc.
- Wells, Raymond O. (1980). Análisis diferencial en colectores complejos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0. Sección corta que presenta material básico estándar.
- Rubei, Elena (2014). Geometría algebraica, un diccionario conciso . Berlín / Boston: Walter De Gruyter. ISBN 978-3-11-031622-3.
- Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1953). "Groupes de Lie et puissances réduites de Steenrod". Revista Estadounidense de Matemáticas . 75 (3): 409–448. doi : 10.2307 / 2372495 . JSTOR 2372495 . Señor 0058213 .