En análisis matemático , la fórmula de Darboux es una fórmula introducida por Gaston Darboux ( 1876 ) para sumar series infinitas usando integrales o evaluar integrales usando series infinitas. Es una generalización al plano complejo de la fórmula de suma de Euler-Maclaurin , que se usa para propósitos similares y se deriva de manera similar (por integración repetida por partes de una elección particular de integrando ). La fórmula de Darboux también se puede utilizar para derivar la serie de Taylor a partir del cálculo .
Declaración
Si φ ( t ) es un polinomio de grado n y f una función analítica, entonces
La fórmula se puede probar mediante la integración repetida por partes .
Casos especiales
Si se toma φ como un polinomio de Bernoulli en la fórmula de Darboux, se obtiene la fórmula de suma de Euler-Maclaurin . Tomar φ como ( t - 1) n da la fórmula para una serie de Taylor .
Referencias
- Darboux (1876), "Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 3 (II): 291–312
- Whittaker, ET y Watson, GN "Una fórmula debida a Darboux". §7.1 en Un curso de análisis moderno , 4ª ed. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, pág. 125, 1990. [1]