En matemáticas , específicamente en geometría diferencial , la geometría infinitesimal de variedades de Riemann con dimensión mayor que 2 es demasiado complicada para ser descrita por un solo número en un punto dado. Riemann introdujo una forma abstracta y rigurosa de definir la curvatura de estas variedades, ahora conocida como tensor de curvatura de Riemann . Nociones similares han encontrado aplicaciones en todas partes en geometría diferencial.
Para una discusión más elemental, consulte el artículo sobre curvatura que analiza la curvatura de curvas y superficies en 2 y 3 dimensiones, así como la geometría diferencial de superficies .
La curvatura de una variedad pseudo-riemanniana se puede expresar de la misma manera con sólo ligeras modificaciones.
Formas de expresar la curvatura de una variedad de Riemann
El tensor de curvatura de Riemann
La curvatura de una variedad de Riemann se puede describir de varias formas; el más estándar es el tensor de curvatura, dado en términos de una conexión Levi-Civita (o diferenciación covariante )y soporte de mentira por la siguiente fórmula:
Aquí es una transformación lineal del espacio tangente de la variedad; es lineal en cada argumento. Si y son campos de vectores de coordenadas entonces y por lo tanto la fórmula se simplifica a
es decir, el tensor de curvatura mide la no conmutatividad de la derivada covariante .
La transformación lineal también se llama transformación de curvatura o endomorfismo .
NÓTESE BIEN. Hay algunos libros donde el tensor de curvatura se define con signo opuesto.
Simetrías e identidades
El tensor de curvatura tiene las siguientes simetrías:
La última identidad fue descubierta por Ricci , pero a menudo se la llama la primera identidad Bianchi , solo porque se parece a la identidad Bianchi a continuación. Los dos primeros deben abordarse como antisimetría y propiedad del álgebra de Lie respectivamente, ya que el segundo significa que R ( u , v ) para todo u , v son elementos del álgebra de Lie pseudo-ortogonal. Los tres juntos deben denominarse estructura de curvatura pseudo-ortogonal . Dan lugar a un tensor solo por identificaciones con objetos del álgebra tensorial, pero también hay identificaciones con conceptos en el álgebra de Clifford. Observemos que estos tres axiomas de una estructura de curvatura dan lugar a una teoría de la estructura bien desarrollada, formulada en términos de proyectores (un proyector de Weyl, que da lugar a la curvatura de Weyl, y un proyector de Einstein, necesario para la configuración del sistema gravitacional de Einstein. ecuaciones). Esta teoría de la estructura es compatible con la acción de los grupos pseudo-ortogonales más dilataciones . Tiene fuertes vínculos con la teoría de grupos de Lie y álgebras, triples de Lie y álgebras de Jordan. Vea las referencias dadas en la discusión.
Las tres identidades forman una lista completa de simetrías del tensor de curvatura, es decir, dado cualquier tensor que satisfaga las identidades anteriores, se podría encontrar una variedad de Riemann con tal tensor de curvatura en algún punto. Cálculos simples muestran que tal tensor tienecomponentes independientes. Sin embargo, otra identidad útil se desprende de estos tres:
La identidad Bianchi (a menudo la segunda identidad Bianchi ) involucra los derivados covariantes:
Curvatura seccional
La curvatura seccional es una descripción adicional, equivalente pero más geométrica, de la curvatura de las variedades de Riemann. Es una funciónque depende de una sección (es decir, un 2-plano en los espacios tangentes). Es la curvatura de Gauss del- sección en p ; aquí- la sección es una pieza de superficie definida localmente que tiene el planocomo un plano tangente en p , obtenido de geodésicas que comienzan en p en las direcciones de la imagen debajo el mapa exponencial en la p .
Si son dos vectores linealmente independientes en luego
La siguiente fórmula indica que la curvatura seccional describe completamente el tensor de curvatura:
O en una fórmula más simple:
Forma de curvatura
La forma de conexión ofrece una forma alternativa de describir la curvatura. Se usa más para paquetes de vectores generales y para paquetes principales , pero funciona igual de bien para el paquete tangente con la conexión Levi-Civita . La curvatura de una variedad riemanniana n- dimensional está dada por una matriz antisimétrica n × nde 2 formas (o equivalentemente una forma 2 con valores en, el álgebra de Lie del grupo ortogonal , que es el grupo de estructura del haz tangente de una variedad de Riemann).
Dejar Ser una sección local de bases ortonormales. Entonces se puede definir la forma de conexión, una matriz antisimétrica de formas 1 que satisfacen a partir de la siguiente identidad
Entonces la forma de curvatura es definido por
- .
Tenga en cuenta que la expresión ""es la abreviatura de y por lo tanto no necesariamente desaparece. A continuación se describe la relación entre la forma de curvatura y el tensor de curvatura:
Este enfoque se basa en todas las simetrías del tensor de curvatura excepto en la primera identidad de Bianchi , que toma forma
dónde es un n -vector de formas 1 definido por. La segunda identidad de Bianchi toma forma
D denota la derivada covariante exterior
El operador de curvatura
A veces es conveniente pensar en la curvatura como operador en bivectores tangentes (elementos de), que se define de forma única por la siguiente identidad:
Es posible hacer esto precisamente debido a las simetrías del tensor de curvatura (es decir, antisimetría en el primer y último par de índices y simetría de bloque de esos pares).
Más tensores de curvatura
En general, los siguientes tensores y funciones no describen completamente el tensor de curvatura, sin embargo, juegan un papel importante.
Curvatura escalar
La curvatura escalar es una función en cualquier variedad de Riemann, generalmente denotada por Sc . Es el rastro completo del tensor de curvatura; dada una base ortonormal en el espacio tangente en p tenemos
donde Ric denota tensor de Ricci . El resultado no depende de la elección de la base ortonormal. A partir de la dimensión 3, la curvatura escalar no describe completamente el tensor de curvatura.
Curvatura de Ricci
La curvatura de Ricci es un operador lineal en el espacio tangente en un punto, generalmente denotado por Ric . Dada una base ortonormalen el espacio tangente en p tenemos
El resultado no depende de la elección de la base ortonormal. Con cuatro o más dimensiones, la curvatura de Ricci no describe completamente el tensor de curvatura.
Las expresiones explícitas para el tensor de Ricci en términos de la conexión Levi-Civita se dan en el artículo sobre los símbolos de Christoffel .
Tensor de curvatura de Weyl
El tensor de curvatura de Weyl tiene las mismas simetrías que el tensor de curvatura de Riemann, pero con una restricción adicional: su traza (como se usa para definir la curvatura de Ricci) debe desaparecer.
El tensor de Weyl es invariante con respecto a un cambio conforme de métrica. Es decir, si dos métricas están relacionadas como g '= fg para alguna función escalar positivo f , entonces W' = W .
En las dimensiones 2 y 3, el tensor de Weyl desaparece, pero en 4 o más dimensiones, el tensor de Weyl puede ser distinto de cero. Para una variedad de curvatura constante , el tensor de Weyl es cero. Además, W = 0 si y solo si la métrica es localmente conforme a la métrica euclidiana .
Descomposición de Ricci
Aunque individualmente, el tensor de Weyl y el tensor de Ricci no determinan en general el tensor de curvatura completo, el tensor de curvatura de Riemann se puede descomponer en una parte de Weyl y una parte de Ricci. Esta descomposición se conoce como descomposición de Ricci y juega un papel importante en la geometría conforme de las variedades de Riemann. En particular, se puede usar para mostrar que si la métrica se reescala por un factor conforme de, entonces el tensor de curvatura de Riemann cambia a (visto como un (0, 4) -tensor):
dónde denota el producto Kulkarni – Nomizu y Hess es el arpillera.
Cálculo de curvatura
Para el cálculo de la curvatura
- de hipersuperficies y subvariedades ver la segunda forma fundamental ,
- en coordenadas ver la lista de fórmulas en geometría riemanniana o derivada covariante ,
- mediante marcos móviles, consulte la forma de conexión y curvatura de Cartan .
- la ecuación de Jacobi puede ayudar si se sabe algo sobre el comportamiento de las geodésicas .
Referencias
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.
- Woods, FS (1901). "Espacio de curvatura constante". Los anales de las matemáticas . 3 (1/4): 71–112. JSTOR 1967636 .