El teorema de De Gua es un análogo tridimensional del teorema de Pitágoras y lleva el nombre de Jean Paul de Gua de Malves .
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Si un tetraedro tiene una esquina en ángulo recto (como la esquina de un cubo ), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta a la esquina en ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras.
Generalizaciones
El teorema de Pitágoras y el teorema de de Gua son casos especiales ( n = 2, 3) de un teorema general sobre n -simplices con una esquina en ángulo recto . Éste, a su vez, es un caso especial de un teorema aún más general de Donald R. Conant y William A. Beyer, [1] que puede enunciarse de la siguiente manera.
Sea U un subconjunto medible de un subespacio afín k -dimensional de (entonces ). Para cualquier subconjuntocon exactamente k elementos, dejeser la proyección ortogonal de U sobre el tramo lineal de, dónde y es la base estándar para. Luego
dónde es el volumen k -dimensional de U y la suma es sobre todos los subconjuntoscon exactamente k elementos.
El teorema de De Gua y su generalización (arriba) a n -simplices con ángulos rectos corresponden al caso especial donde k = n −1 y U es un ( n −1) -simplex encon vértices en los ejes de coordenadas . Por ejemplo, suponga que n = 3, k = 2 y U es el triángulo en con los vértices A , B y C en el-, - y -ejes, respectivamente. Los subconjuntos de con exactamente 2 elementos son , y . Por definición, es la proyección ortogonal de sobre la -plano, entonces es el triangulo con vértices O , B y C , donde O es el origen de. Similar, y , por lo que el teorema de Conant-Beyer dice
que es el teorema de de Gua.
La generalización del teorema de De Gua a n -simplices con ángulos rectos también se puede obtener como un caso especial a partir de la fórmula del determinante de Cayley-Menger .
Historia
Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785) publicó el teorema en 1783, pero al mismo tiempo otro matemático francés, Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818), también publicó una versión un poco más general . Sin embargo, el teorema también lo habían conocido mucho antes Johann Faulhaber (1580-1635) y René Descartes (1596-1650). [2] [3]
Notas
- ^ Donald R Conant y William A Beyer (marzo de 1974). "Teorema de Pitágoras generalizado". The American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 81 (3): 262–265. doi : 10.2307 / 2319528 . JSTOR 2319528 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Teorema de Gua" . MathWorld .
- ^ Howard Whitley Eves: Grandes momentos en matemáticas (antes de 1650) . Asociación Matemática de América, 1983, ISBN 9780883853108 , S. 37 ( extracto , p. 37, en Google Books )
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Gua" . MathWorld .
- Sergio A. Alvarez: Nota sobre un teorema de Pitágoras n-dimensional , Universidad Carnegie Mellon.
- Teorema de De Gua, teorema de Pitágoras en 3-D - Ilustración gráfica y propiedades relacionadas del tetraedro.
Otras lecturas
- Kheyfits, Alexander (2004). "El teorema de cosenos para pirámides". The College Mathematics Journal . Asociación Matemática de América. 35 (5): 385–388. JSTOR 4146849 . Prueba del teorema de de Gua y de generalizaciones a tetraedros arbitrarios y pirámides.
- Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "El teorema de cosenos para pirámides" . El inteligente matemático . SpringerLink.Aplicación del teorema de de Gua para probar un caso especial de la fórmula de Heron .