Cubo

Un objeto geométrico tridimensional con 6 caras cuadradas.

Este artículo trata sobre la forma tridimensional. Para cubos en cualquier dimensión, consulte Hypercube . Para otros usos, consulte Cube (desambiguación) .

Hexaedro regular
(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio)
Tipo	Sólido platónico
Elementos	F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2)
Caras por lados	6 {4}
Notación de Conway	C
Símbolos de Schläfli	{4,3}
	t {2,4} o {4} × {} tr {2,2} o {} × {} × {}
Configuración de la cara	V3.3.3.3
Símbolo de Wythoff	3 | 2 4
Diagrama de Coxeter
Simetría	O h , B 3 , [4,3], (* 432)
Grupo de rotacion	O , [4,3] + , (432)
Referencias	U 06 , C 18 , W 3
Propiedades	regulares , convexa zonohedron
Ángulo diedro	90 °
4.4.4 ( figura de vértice )	Octaedro ( poliedro dual )
Neto

Red de un cubo

Modelo 3D de un cubo

En geometría , un cubo ^[1] es un objeto sólido tridimensional delimitado por seis caras, facetas o lados cuadrados , con tres juntas en cada vértice .

El cubo es el único hexaedro regular y es uno de los cinco sólidos platónicos . Tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

El cubo es también un cuadrado de paralelepípedo , un equilátero paralelepípedo y un derecho romboedro . Es un prisma cuadrado regular en tres orientaciones y un trapezoedro trigonal en cuatro orientaciones.

El cubo es dual con el octaedro . Tiene simetría cúbica u octaédrica .

El cubo es el único poliedro convexo cuyas caras son todas cuadrados .

Proyecciones ortogonales

El cubo tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales , centradas, en un vértice, aristas, cara y normal a su figura de vértice . El primero y el tercero corresponden a los planos Coxeter A ₂ y B ₂ .

Proyecciones ortogonales

Centrado por	Cara	Vértice
Aviones Coxeter	B 2	A 2
Simetría proyectiva	[4]	[6]
Vistas inclinadas

Mosaico esférico

El cubo también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en el plano a través de una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas de la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.

Proyección ortográfica	Proyección estereográfica

Coordenadas cartesianas

Para un cubo centrado en el origen, con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de 2, las coordenadas cartesianas de los vértices son

(± 1, ± 1, ± 1)

mientras que el interior consta de todos los puntos ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) con −1 < x _i <1 para todo i .

Ecuación en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

En geometría analítica , la superficie de un cubo con centro ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) y longitud de arista de 2a es el lugar geométrico de todos los puntos ( x , y , z ) tales que

${\displaystyle \max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.}$

Un cubo también puede considerarse el caso límite de un superelipsoide 3D cuando los tres exponentes se acercan al infinito.

Fórmulas

Para un cubo de longitud de borde :${\displaystyle a}$

área de superficie	${\displaystyle 6a^{2}\,}$	volumen	${\displaystyle a^{3}\,}$
cara en diagonal	${\displaystyle {\sqrt {2}}a}$	diagonal espacial	${\textstyle {\sqrt {3}}a}$
radio de esfera circunscrita	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$	radio de esfera tangente a los bordes	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$
radio de esfera inscrita	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	ángulos entre caras (en radianes )	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Como el volumen de un cubo es la tercera potencia de sus lados , las terceras potencias se llaman cubos , por analogía con los cuadrados y las segundas potencias.${\displaystyle a\times a\times a}$

Un cubo tiene el mayor volumen entre los cuboides (cajas rectangulares) con un área de superficie determinada . Además, un cubo tiene el mayor volumen entre los cuboides con el mismo tamaño lineal total (largo + ancho + alto).

Punto en el espacio

Para un cubo cuya esfera circunscrita tiene radio R , y para un punto dado en su espacio tridimensional con distancias d _i desde los ocho vértices del cubo, tenemos: ^[2]

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}}{8}}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}}{8}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.}$

Duplicar el cubo

Duplicar el cubo , o el problema de Delian , fue el problema planteado por los antiguos matemáticos griegos de usar solo un compás y una regla para comenzar con la longitud del borde de un cubo dado y construir la longitud del borde de un cubo con el doble de la volumen del cubo original. No pudieron resolver este problema, y ​​en 1837 Pierre Wantzel demostró que era imposible porque la raíz cúbica de 2 no es un número construible .

Simetría y coloraciones uniformes

Árbol de simetría octaédrica

El cubo tiene tres colores uniformes, nombrados por los colores de las caras cuadradas alrededor de cada vértice: 111, 112, 123.

El cubo tiene cuatro clases de simetría, que se pueden representar coloreando las caras con vértice transitivo . La simetría octaédrica más alta O _h tiene todas las caras del mismo color. La simetría diedro D _4h proviene de que el cubo es un prisma, con los cuatro lados del mismo color. El subconjunto prismático D _2d tiene el mismo color que el anterior y D _2h tiene colores alternos para sus lados para un total de tres colores, emparejados por lados opuestos. Cada forma de simetría tiene un símbolo de Wythoff diferente .

Nombre	Hexaedro regular	Prisma cuadrado	Trapezoprisma rectangular	Cuboide rectangular	Prisma rómbico	Trapezoedro trigonal
Diagrama de Coxeter
Símbolo de Schläfli	{4,3}	{4} × {} rr {4,2}	s 2 {2,4}	{} 3 tr {2,2}	{} × 2 {}
Símbolo de Wythoff	3 | 4 2	4 2 | 2		2 2 2 |
Simetría	O h [4,3] (* 432)	D 4 h [4,2] (* 422)	D 2d [4,2 + ] (2 * 2)	D 2 h [2,2] (* 222)		D 3d [6,2 + ] (2 * 3)
Orden de simetría	24	dieciséis	8	8		12
Imagen ( coloración uniforme )	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Relaciones geométricas

Las 11 redes del cubo.

Estos conocidos dados de seis caras tienen forma de cubo.

Un cubo tiene once redes (una se muestra arriba): es decir, hay once formas de aplanar un cubo hueco cortando siete bordes. ^[3] Para colorear el cubo de modo que no haya dos caras adyacentes del mismo color, se necesitarían al menos tres colores.

El cubo es la celda del único mosaico regular del espacio euclidiano tridimensional . También es único entre los sólidos platónicos por tener caras con un número par de lados y, en consecuencia, es el único miembro de ese grupo que es un zonoedro (cada cara tiene simetría puntual).

El cubo se puede cortar en seis pirámides cuadradas idénticas . Si estas pirámides cuadradas se unen a las caras de un segundo cubo, se obtiene un dodecaedro rómbico (con pares de triángulos coplanares combinados en caras rómbicas).

Otras dimensiones

El análogo de un cubo en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones tiene un nombre especial: un tesseracto o hipercubo . Más adecuadamente, un hipercubo (o n cubo dimensional o simplemente n -cube) es el análogo del cubo en n espacio euclidiano dimensional y una tesseract es el hipercubo fin-4. Un hipercubo también se llama politopo de medida .

También hay análogos del cubo en dimensiones inferiores: un punto en la dimensión 0, un segmento de línea en una dimensión y un cuadrado en dos dimensiones.

Poliedros relacionados

El dual de un cubo es un octaedro , visto aquí con vértices en el centro de las caras cuadradas del cubo.

El hemicubo es el cociente 2 a 1 del cubo.

El cociente del cubo por el mapa antípoda produce un poliedro proyectivo , el hemicubo .

Si el cubo original tiene una longitud de borde 1, su poliedro doble (un octaedro ) tiene una longitud de borde .${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}/2}$

El cubo es un caso especial en varias clases de poliedros generales:

Nombre	¿Iguales longitudes de borde?	¿Ángulos iguales?	¿Angulos correctos?
Cubo	sí	sí	sí
Romboedro	sí	sí	No
Cuboides	No	sí	sí
Paralelepípedo	No	sí	No
hexaedro cuadrilátero	No	No	No

Los vértices de un cubo se pueden agrupar en dos grupos de cuatro, cada uno formando un tetraedro regular ; de manera más general, esto se conoce como un semicubo . Estos dos juntos forman un compuesto regular , la stella octangula . La intersección de los dos forma un octaedro regular. Las simetrías de un tetraedro regular corresponden a las de un cubo que mapea cada tetraedro a sí mismo; las otras simetrías del cubo mapean los dos entre sí.

Uno de estos tetraedros regulares tiene un volumen de 1/3de la del cubo. El espacio restante consta de cuatro tetraedros irregulares iguales con un volumen de1/6 de la del cubo, cada uno.

El cubo rectificado es el cuboctaedro . Si se cortan las esquinas más pequeñas obtenemos un poliedro con seis caras octogonales y ocho triangulares. En particular, podemos obtener octágonos regulares ( cubo truncado ). El rombicuboctaedro se obtiene cortando tanto las esquinas como los bordes en la cantidad correcta.

Un cubo se puede inscribir en un dodecaedro de modo que cada vértice del cubo sea un vértice del dodecaedro y cada borde sea una diagonal de una de las caras del dodecaedro; tomar todos esos cubos da lugar al compuesto regular de cinco cubos.

Si dos esquinas opuestas de un cubo se truncan a la profundidad de los tres vértices directamente conectados a ellos, se obtiene un octaedro irregular. Ocho de estos octaedros irregulares se pueden unir a las caras triangulares de un octaedro regular para obtener el cuboctaedro.

El cubo está relacionado topológicamente con una serie de poliedros esféricos y mosaicos con figuras de vértice de orden 3 .

* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: { n , 3} v t mi
Esférico				Euclidiana	Hyperb compacto.		Paraco.	Hiperbólico no compacto
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

El cuboctaedro pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.

Poliedros octaédricos uniformes
Simetría : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= o	= o	=
Poliedros duales a uniformes
V4 3	V3.8 2	V (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

El cubo está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de mosaicos regulares, que se extiende hacia el plano hiperbólico : {4, p}, p = 3,4,5 ...

* n 42 mutación de simetría de teselaciones regulares: {4, n } v t mi
Esférico	Euclidiana	Hiperbólico compacto				Paracompacto
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4, ∞}

Con simetría diedro , Dih ₄ , el cubo está relacionado topológicamente en una serie de poliedros uniformes y teselaciones 4.2n.2n, que se extienden hacia el plano hiperbólico:

* n 42 mutación de simetría de teselaciones truncadas: 4.2 n .2 n v t mi
Simetría * n 42 [n, 4]	Esférico		Euclidiana	Hiperbólico compacto				Paracomp.
	* 242 [2,4]	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	* 542 [5,4]	* 642 [6,4]	* 742 [7,4]	* 842 [8,4] ...	* ∞42 [∞, 4]
Figuras truncadas
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
figuras n-kis
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Todas estas figuras tienen simetría octaédrica .

El cubo es parte de una secuencia de poliedros rómbicos y teselaciones con simetría de grupo de Coxeter [ n , 3] . El cubo puede verse como un hexaedro rómbico donde los rombos son cuadrados.

Mutaciones de simetría de teselaciones cuasirregulares duales: V (3.n) 2
* n32	Esférico			Euclidiana	Hiperbólico
	* 332	* 432	* 532	* 632	* 732	* 832 ...	* ∞32
Embaldosado
Conf.	V (3,3) 2	V (3,4) 2	V (3,5) 2	V (3,6) 2	V (3,7) 2	V (3,8) 2	V (3.∞) 2

El cubo es un prisma cuadrado :

Familia de prismas uniformes v t mi
Poliedro
Coxeter
Embaldosado
Config.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4

Como trapezoedro trigonal , el cubo está relacionado con la familia de simetría diédrica hexagonal.

Poliedros esféricos diédricos hexagonales uniformes
Simetría : [6,2] , (* 622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2 * 3)
{6,2}	t {6,2}	r {6,2}	t {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	s {2,6}
Duales a uniformes
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	V2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Compuestos regulares y uniformes de cubos.

Compuesto de tres cubos

Compuesto de cinco cubos

En panales uniformes y policora

Es un elemento de 9 de 28 panales uniformes convexos :

Panal cúbico	Panal prismático cuadrado truncado	Nido de abeja prismático cuadrado chato	Panal prismático triangular alargado	Panal prismático triangular giroelongado
Panal cúbico cantelado	Panal cúbico cantitruncado	Panal cúbico runcitruncado	Panal cúbico alternado runcinado

También es un elemento de cinco policoras uniformes de cuatro dimensiones :

Tesseract	16 celdas canteladas	Tesseract runcinado	Cantitruncado de 16 celdas	Runcitruncated 16 celdas

Gráfico cúbico

Gráfico cúbico
Lleva el nombre de	Q 3
Vértices	8
Bordes	12
Radio	3
Diámetro	3
Circunferencia	4
Automorfismos	48
Número cromático	2
Propiedades	Gráfico hamiltoniano , regular , simétrico , distancia-regular , distancia-transitivo , conectado por 3 vértices , bipartito , plano
Tabla de gráficos y parámetros

El esqueleto del cubo (los vértices y las aristas) forman un gráfico , con 8 vértices y 12 aristas. Es un caso especial del gráfico de hipercubo . ^[4] Es uno de los 5 gráficos platónicos , cada uno de los cuales es un esqueleto de su sólido platónico .

Una extensión es la gráfica de Hamming k -ary tridimensional , que para k = 2 es la gráfica cúbica. Los gráficos de este tipo ocurren en la teoría del procesamiento paralelo en computadoras.

Ver también

• Tesseract
• Trapezoedro

Referencias

1. Cubo inglésdel francés antiguo <latín cubus <griego κύβος ( kubos ) que significa "un cubo, un dado, vértebra". A su vez de PIE * keu (b) - , "doblar, girar".
2. Parque, Poo-Sung. "Distancias regulares de politopos", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Archivado el 10 de octubre de 2016 en la Wayback Machine.
3. Weisstein, Eric W. "Cubo" . MathWorld .
4. Weisstein, Eric W. "Gráfico cúbico" . MathWorld .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cube" . MathWorld .
• Cubo: Modelo de poliedro interactivo *
• Volumen de un cubo , con animación interactiva
• Cubo (sitio de Robert Webb)

v t mi Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Politopo uniforme 4	5 celdas	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes	5-simplex	5 ortoplex • 5 cubos	5-demicubo
6 politopos uniformes	6-simplex	6 ortoplex • 6 cubos	6-demicubo	1 22 • 2 21
7 politopos uniformes	7-simplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicubo	1 32 • 2 31 • 3 21
Politopo uniforme de 8	8 simplex	8 ortoplex • 8 cubos	8-demicubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes	9 simplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubo
Politopo uniforme 10	10-simplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubo
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplex • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos