En matemáticas , la medida de Hausdorff es una generalización de las nociones tradicionales de área y volumen a dimensiones no enteras, específicamente fractales y sus dimensiones de Hausdorff . Es un tipo de medida exterior , llamado así por Felix Hausdorff , que asigna un número en [0, ∞] a cada conjunto eno, más generalmente, en cualquier espacio métrico .
La medida de Hausdorff de dimensión cero es el número de puntos en el conjunto (si el conjunto es finito) o ∞ si el conjunto es infinito. Asimismo, la medida unidimensional de Hausdorff de una curva simple enes igual a la longitud de la curva, y la medida bidimensional de Hausdorff de un subconjunto medible de Lebesgue dees proporcional al área del conjunto. Así, el concepto de medida de Hausdorff generaliza la medida de Lebesgue y sus nociones de conteo, longitud y área. También generaliza el volumen. De hecho, existen medidas d- dimensionales de Hausdorff para cualquier d ≥ 0, que no es necesariamente un número entero. Estas medidas son fundamentales en la teoría de medidas geométricas . Aparecen de forma natural en el análisis armónico o en la teoría del potencial .
Definición
Dejar ser un espacio métrico . Para cualquier subconjunto, dejar denotar su diámetro, es decir
Dejar ser cualquier subconjunto de y un número real. Definir
donde el mínimo es sobre todas las cubiertas contables de por conjuntos satisfactorio .
Tenga en cuenta que es monótono y no aumenta ya que el mas grande es decir, se permiten más colecciones de conjuntos, lo que hace que el mínimo no sea mayor. Por lo tanto,existe pero puede ser infinito. Dejar
Se puede ver que es una medida exterior (más precisamente, es una medida exterior métrica ). Según el teorema de extensión de Carathéodory , su restricción al campo σ de conjuntos medibles de Carathéodory es una medida. Se llama el- medida de Hausdorff dimensional de. Debido a la propiedad de medida exterior métrica , todos los subconjuntos de Borel de están mensurable.
En la definición anterior, los conjuntos en la cobertura son arbitrarios.
Sin embargo, podemos exigir que los juegos de cubiertas sean abiertos o cerrados, o en espacios normativos incluso convexos, que rendirán lo mismo.números, por lo tanto, la misma medida. En restringir los juegos de cobertura para que sean bolas puede cambiar las medidas pero no cambia la dimensión de los juegos medidos.
Propiedades de las medidas de Hausdorff
Tenga en cuenta que si d es un entero positivo, la medida de Hausdorff dimensional d dees un cambio de escala de la medida habitual de Lebesgue d- dimensional que está normalizado de modo que la medida de Lebesgue del cubo unitario [0,1] d es 1. De hecho, para cualquier conjunto de Borel E ,
donde α d es el volumen de la unidad d -ball ; se puede expresar usando la función gamma de Euler
Observación . Algunos autores adoptan una definición de medida de Hausdorff ligeramente diferente a la elegida aquí, con la diferencia de que está normalizada de tal manera que la medida d- dimensional de Hausdorff en el caso del espacio euclidiano coincide exactamente con la medida de Lebesgue.
Relación con la dimensión de Hausdorff
Resulta que si puede tener un valor finito distinto de cero para como máximo uno . Es decir, la medida de Hausdorff es cero para cualquier valor por encima de cierta dimensión e infinito por debajo de cierta dimensión, análoga a la idea de que el área de una línea es cero y la longitud de una forma 2D es en cierto sentido infinita. Esto conduce a una de varias posibles definiciones equivalentes de la dimensión de Hausdorff:
donde llevamos
Tenga en cuenta que no se garantiza que la medida de Hausdorff deba ser finita y distinta de cero para algún d y, de hecho, la medida en la dimensión de Hausdorff aún puede ser cero; en este caso, la dimensión de Hausdorff todavía actúa como un punto de inflexión entre medidas de cero e infinito.
Generalizaciones
En la teoría de medidas geométricas y campos relacionados, el contenido de Minkowski se usa a menudo para medir el tamaño de un subconjunto de un espacio de medidas métricas. Para dominios adecuados en el espacio euclidiano, las dos nociones de tamaño coinciden, hasta normalizaciones generales que dependen de las convenciones. Más precisamente, un subconjunto de se ha dicho -rectificable si es la imagen de un conjunto acotado enbajo una función de Lipschitz . Si, entonces el -contenido de Minkowski dimensional de un cerrado -subconjunto rectificable de es igual a veces el -medida de Hausdorff dimensional ( Federer 1969 , Teorema 3.2.29).
En geometría fractal , algunos fractales con dimensión de Hausdorff tener cero o infinito -medida de Hausdorff dimensional. Por ejemplo, es casi seguro que la imagen del movimiento browniano plano tiene dimensión 2 de Hausdorff y su medida de Hausdorff bidimensional es cero. Para "medir" el "tamaño" de tales conjuntos, los matemáticos han considerado la siguiente variación en la noción de la medida de Hausdorff:
- En la definición de la medida es reemplazado por dónde ¿Satisface cualquier función de conjunto creciente monótona?
Esta es la medida de Hausdorff de con función de manómetro o -Medida Hausdorff. A-conjunto dimensional puede satisfacer pero con un apropiado Ejemplos de funciones de calibre incluyen
El primero da casi con seguridad resultados positivos y -medida finita al camino browniano en Cuándo , y este último cuando .
Ver también
Referencias
- Evans, Lawrence C .; Gariepy, Ronald F. (1992), Teoría de la medida y propiedades finas de las funciones , CRC Press.
- Federer, Herbert (1969), Teoría de medidas geométricas , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
- Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass" (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1–2): 157–179, doi : 10.1007 / BF01457179.
- Morgan, Frank (1988), Teoría de la medida geométrica , Academic Press.
- Rogers, CA (1998), medidas de Hausdorff , Cambridge Mathematical Library (3a ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
- Szpilrajn, E (1937), "La dimension et la mesure" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81–89.
enlaces externos
- Dimensión de Hausdorff en Encyclopedia of Mathematics
- Medida de Hausdorff en Encyclopedia of Mathematics