En matemáticas , el grupo ortogonal indefinida , O ( p , q ) es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un n - dimensional verdadero espacio vectorial que la licencia invariante un no degenerado , forma simétrica bilineal de firma ( p , q ) , donde n = p + q . La dimensión del grupo es n ( n - 1) / 2 .
El grupo ortogonal especial indefinido , SO ( p , q ) es el subgrupo de O ( p , q ) que consta de todos los elementos con determinante 1. A diferencia del caso definido, SO ( p , q ) no está conectado - tiene 2 componentes - y hay dos subgrupos de índices finitos adicionales, a saber, el SO + ( p , q ) y O + ( p , q ) conectados , que tiene 2 componentes - ver § Topología para la definición y discusión.
La firma del formulario determina el grupo hasta el isomorfismo ; Intercambiar p con q equivale a reemplazar la métrica por su negativo, por lo que se obtiene el mismo grupo. Si p o q es igual a cero, entonces el grupo es isomorfo al grupo ortogonal ordinario O ( n ). Suponemos en lo que sigue que tanto p como q son positivos.
El grupo O ( p , q ) se define para espacios vectoriales sobre los reales . Para espacios complejos , todos los grupos O ( p , q ; C ) son isomorfos al grupo ortogonal habitual O ( p + q ; C ) , ya que la transformadacambia la firma de un formulario. Esto no debe confundirse con el grupo unitario indefinido U ( p , q ) que conserva una forma sesquilínea de firma ( p , q ) .
En la dimensión par n = 2 p , O ( p , p ) se conoce como el grupo ortogonal dividido .
Ejemplos de
El ejemplo básico son las asignaciones de compresión , que es el grupo SO + (1, 1) de (el componente de identidad de) transformaciones lineales que preservan la hipérbola unitaria . Concretamente, estas son las matricesy se puede interpretar como rotaciones hiperbólicas, al igual que el grupo SO (2) se puede interpretar como rotaciones circulares.
En física, el grupo de Lorentz O (1,3) es de importancia central, siendo el escenario del electromagnetismo y la relatividad especial . (Algunos textos usan O (3,1) para el grupo de Lorentz; sin embargo, O (1,3) prevalece en la teoría cuántica de campos porque las propiedades geométricas de la ecuación de Dirac son más naturales en O (1,3)) .
Definición de matriz
Se puede definir O ( p , q ) como un grupo de matrices , al igual que para el grupo ortogonal clásico O ( n ). Considera el matriz diagonal dada por
Entonces podemos definir una forma bilineal simétrica en por la fórmula
- ,
dónde es el producto interior estándar en.
Entonces definimos ser el grupo de matrices que conservan esta forma bilineal: [1]
- .
Más explícitamente, consta de matrices tal que [2]
- ,
dónde es la transposición de .
Se obtiene un grupo isomorfo (de hecho, un subgrupo conjugado de GL ( p + q ) ) reemplazando g con cualquier matriz simétrica con p valores propios positivos y q negativos. Diagonalizar esta matriz da una conjugación de este grupo con el grupo estándar O ( p , q ) .
Topología
Suponiendo que tanto p como q son positivos, ninguno de los grupos O ( p , q ) ni SO ( p , q ) están conectados , teniendo cuatro y dos componentes respectivamente. π 0 (O ( p , q )) ≅ C 2 × C 2 es el Grupo de Klein , con cada factor es si un elemento conservas o la inversión de las orientaciones respectivas sobre los p y q subespacios dimensionales en la que la forma es definida; tenga en cuenta que invertir la orientación en solo uno de estos subespacios invierte la orientación en todo el espacio. El grupo ortogonal especial tiene componentes π 0 (SO ( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) }, cada uno de los cuales conserva ambas orientaciones o invierte ambas orientaciones, en cualquier caso conservando la Orientación general. [ aclaración necesaria ]
El componente de identidad de O ( p , q ) a menudo se denota SO + ( p , q ) y puede identificarse con el conjunto de elementos en SO ( p , q ) que conservan ambas orientaciones. Esta notación está relacionada con la notación O + (1, 3) para el grupo de Lorentz ortocrónico , donde + se refiere a preservar la orientación en la primera dimensión (temporal).
El grupo O ( p , q ) tampoco es compacto , sino que contiene los subgrupos compactos O ( p ) y O ( q ) que actúan sobre los subespacios en los que la forma es definida. De hecho, O ( p ) × O ( q ) es un subgrupo compacto máximo de O ( p , q ) , mientras que S (O ( p ) × O ( q )) es un subgrupo compacto máximo de SO ( p , q ) . Asimismo, SO ( p ) × SO ( q ) es un subgrupo compacto máximo de SO + ( p , q ) . Por tanto, los espacios son homotopía equivalente a productos de grupos ortogonales (especiales), a partir de los cuales se pueden calcular invariantes algebro-topológicas. (Ver subgrupo compacto máximo ).
En particular, el grupo fundamental de SO + ( p , q ) es el producto de los grupos fundamentales de los componentes, π 1 (SO + ( p , q )) = π 1 (SO ( p )) × π 1 (SO ( q )) , y viene dado por:
π 1 (SO + ( p , q )) p = 1 p = 2 p ≥ 3 q = 1 C 1 Z C 2 q = 2 Z Z × Z Z × C 2 q ≥ 3 C 2 C 2 × Z C 2 × C 2
Grupo ortogonal dividido
En dimensiones pares, el grupo medio O ( n , n ) se conoce como el grupo ortogonal dividido , y es de particular interés, ya que ocurre como el grupo de transformaciones de T-dualidad en la teoría de cuerdas, por ejemplo. Es el grupo de Lie dividido correspondiente al álgebra de Lie compleja por lo que 2 n (el grupo de Lie de la forma real dividida del álgebra de Lie); más precisamente, el componente de identidad es el grupo de Lie dividido, ya que los componentes sin identidad no pueden reconstruirse a partir del álgebra de Lie. En este sentido es opuesto al grupo ortogonal definido O ( n ): = O ( n , 0) = O (0, n ) , que es la forma real compacta del álgebra de Lie compleja.
El caso (1, 1) corresponde al grupo multiplicativo de los números complejos divididos .
En términos de ser un grupo de tipo Lie , es decir, la construcción de un grupo algebraico a partir de un álgebra de Lie, los grupos ortogonales divididos son grupos de Chevalley , mientras que los grupos ortogonales no divididos requieren una construcción un poco más complicada y son grupos de Steinberg .
Los grupos ortogonales divididos se utilizan para construir la variedad de banderas generalizadas sobre campos no algebraicamente cerrados.
Ver también
- Grupo ortogonal
- Grupo Lorentz
- Grupo Poincaré
- Forma bilineal simétrica
Referencias
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Anthony Knapp , Grupos de mentiras más allá de una introducción , segunda edición, Progreso en matemáticas, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5 : consulte la página 372 para obtener una descripción del grupo ortogonal indefinido
- VL Popov (2001) [1994], "Grupo ortogonal" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Joseph A. Wolf , Espacios de curvatura constante , (1967) página. 335.
- ^ Salón 2015 Sección 1.2.3
- ↑ Hall 2015 Capítulo 1, Ejercicio 1