Longitud de Debye

Espesor de la doble capa eléctrica (EDL)

En plasmas y electrolitos , la longitud de Debye (también llamada radio de Debye ) es una medida del efecto electrostático neto de un portador de carga en una solución y hasta qué punto persiste su efecto electrostático. ^[1] Una esfera de Debye es un volumen cuyo radio es la longitud de Debye. Con cada longitud de Debye, las cargas se apantallan cada vez más eléctricamente . Cada longitud de Debye , el potencial eléctrico disminuirá en magnitud en 1 / e. La longitud de Debye es un parámetro importante en la física del plasma , los electrolitos y los coloides ( teoría DLVO${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}}$). El vector de onda de cribado de Debye correspondiente para partículas de densidad , carga a una temperatura viene dado por en unidades gaussianas . Las expresiones en unidades MKS se darán a continuación. Las cantidades análogas a temperaturas muy bajas ( ) se conocen como la longitud de Thomas-Fermi y el vector de onda de Thomas-Fermi. Son de interés para describir el comportamiento de los electrones en metales a temperatura ambiente.${\displaystyle k_{\rm {D}}=1/\lambda _{\rm {D}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$${\displaystyle T}$${\displaystyle k_{\rm {D}}^{2}=4\pi nq^{2}/(k_{\rm {B}}T)}$${\displaystyle T\to 0}$

La longitud de Debye lleva el nombre del físico y químico holandés-estadounidense Peter Debye (1884-1966), premio Nobel de Química.

Origen fisico

La longitud de Debye surge naturalmente en la descripción termodinámica de grandes sistemas de cargas móviles. En un sistema de diferentes especies de cargas, la -ésima especie lleva carga y tiene concentración en la posición . De acuerdo con el llamado "modelo primitivo", estas cargas se distribuyen en un medio continuo que se caracteriza sólo por su permitividad estática relativa , . Esta distribución de cargas dentro de este medio da lugar a un potencial eléctrico que satisface la ecuación de Poisson :${\displaystyle N}$${\displaystyle j}$${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$,

donde , es la constante eléctrica y es una densidad de carga externa (lógicamente, no espacialmente) al medio.${\displaystyle \varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}}$

Las tarifas de móviles no sólo contribuyen en el establecimiento , pero también se mueven en respuesta a The Associated fuerza de Coulomb , . Si asumimos además que el sistema está en equilibrio termodinámico con un baño de calor a temperatura absoluta , entonces las concentraciones de cargas discretas,, pueden considerarse promedios termodinámicos (conjuntos) y el potencial eléctrico asociado como un campo medio termodinámico . Con estos supuestos, la concentración de la -ésima especie de carga se describe mediante la distribución de Boltzmann ,${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)}$,

donde es la constante de Boltzmann y donde es la concentración media de cargas de especies .${\displaystyle k_{\rm {B}}}$${\displaystyle n_{j}^{0}}$${\displaystyle j}$

Al identificar las concentraciones instantáneas y el potencial en la ecuación de Poisson con sus contrapartes de campo medio en la distribución de Boltzmann, se obtiene la ecuación de Poisson-Boltzmann :

${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$.

Las soluciones a esta ecuación no lineal son conocidas para algunos sistemas simples. Se pueden obtener soluciones para sistemas más generales en el límite de alta temperatura (acoplamiento débil) , mediante Taylor expandiendo la exponencial:${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}}$.

Esta aproximación produce la ecuación de Poisson-Boltzmann linealizada

${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$

que también se conoce como la ecuación de Debye-Hückel : ^{[2] [3] [4] [5] [6]} El segundo término en el lado derecho desaparece para los sistemas que son eléctricamente neutros. El término entre paréntesis dividido por , tiene las unidades de una longitud inversa al cuadrado y por análisis dimensional conduce a la definición de la escala de longitud característica.${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$

que comúnmente se conoce como la longitud de Debye-Hückel. Como la única escala de longitud característica en la ecuación de Debye-Hückel, establece la escala para variaciones en el potencial y en las concentraciones de especies cargadas. Todas las especies cargadas contribuyen a la longitud de Debye-Hückel de la misma manera, independientemente del signo de sus cargas. Para un sistema eléctricamente neutro, la ecuación de Poisson se convierte en${\displaystyle \lambda _{D}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}$

Para ilustrar el cribado de Debye, el potencial producido por una carga puntual externa es${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}}$

El potencial de Coulomb desnudo es filtrado exponencialmente por el medio, a una distancia de la longitud de Debye.

La longitud de Debye-Hückel puede expresarse en términos de la longitud de Bjerrum como${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2}}$,

donde es el número entero de carga que relaciona la carga de la -ésima especie iónica con la carga elemental .${\displaystyle z_{j}=q_{j}/e}$${\displaystyle j}$ ${\displaystyle e}$

En un plasma

En un plasma no isotérmico, las temperaturas de los electrones y las especies pesadas pueden diferir, mientras que el medio de fondo puede tratarse como el vacío ( ), y la longitud de Debye es${\displaystyle \varepsilon _{r}=1}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{i}}}}}$

donde

λ _D es la longitud de Debye,

ε ₀ es la permitividad del espacio libre ,

k _B es la constante de Boltzmann ,

q _e es la carga de un electrón ,

T _e y T _i son las temperaturas de los electrones y los iones, respectivamente,

n _e es la densidad de electrones,

n _j es la densidad de las especies atómicas j , con carga iónica positiva z _j q _e

Incluso en el plasma frío cuasineutral, donde la contribución de iones prácticamente parece ser mayor debido a la menor temperatura de los iones, el término iónico a menudo se elimina, lo que da lugar a

${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}}$

aunque esto solo es válido cuando la movilidad de los iones es insignificante en comparación con la escala de tiempo del proceso. ^[7]

Valores típicos

En plasmas espaciales donde la densidad de electrones es relativamente baja, la longitud de Debye puede alcanzar valores macroscópicos, como en la magnetosfera, el viento solar, el medio interestelar y el medio intergaláctico. Consulte la tabla a continuación: ^[8]

Plasma	Densidad n e (m −3 )	Temperatura del electrón T (K)	Campo magnético B (T)	Longitud de Debye λ D (m)
Núcleo solar	10 32	10 7	-	10 −11
Tokamak	10 20	10 8	10	10 −4
Descarga de gas	10 16	10 4	-	10 −4
Ionosfera	10 12	10 3	10 −5	10 −3
Magnetosfera	10 7	10 7	10 −8	10 2
Viento solar	10 6	10 5	10 −9	10
Medio interestelar	10 5	10 4	10 −10	10
Medio intergaláctico	1	10 6	-	10 5

En una solución de electrolitos

En un electrolito o una suspensión coloidal , la longitud de Debye ^{[9] [10] [11]} para un electrolito monovalente generalmente se denota con el símbolo κ ⁻¹

${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2N_{\rm {A}}e^{2}I}}}}$

donde

I es la fuerza iónica del electrolito en unidades molares (M o mol / L),

ε ₀ es la permitividad del espacio libre ,

ε _r es la constante dieléctrica ,

k _B es la constante de Boltzmann ,

T es la temperatura absoluta en kelvin ,

N _A es el número de Avogadro .

${\displaystyle e}$es la carga elemental ,

o, para un electrolito monovalente simétrico,

${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}}$

donde

R es la constante de gas ,

F es la constante de Faraday ,

C ₀ es la concentración de electrolitos en unidades molares (M o mol / L).

Alternativamente,

${\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{3}I}}}}$

donde

${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$es la longitud de Bjerrum del medio.

Para agua a temperatura ambiente, λ _B ≈ 0,7 nm.

A temperatura ambiente (20 ° C o 70 ° F), se puede considerar en el agua la relación: ^[12]

${\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}}$

donde

κ ⁻¹ se expresa en nanómetros (nm)

I es la fuerza iónica expresada en molar (M o mol / L)

Existe un método para estimar un valor aproximado de la longitud de Debye en líquidos usando conductividad, que se describe en la Norma ISO ^[9] y el libro. ^[10]

En semiconductores

La longitud de Debye se ha vuelto cada vez más significativa en el modelado de dispositivos de estado sólido a medida que las mejoras en las tecnologías litográficas han permitido geometrías más pequeñas. ^{[13] [14] [15]}

Se da la longitud Debye de los semiconductores :

${\displaystyle L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}}$

donde

ε es la constante dieléctrica,

k _B es la constante de Boltzmann,

T es la temperatura absoluta en kelvin,

q es la carga elemental, y

N _dop es la densidad neta de dopantes (donantes o aceptores).

Cuando los perfiles de dopaje superan la longitud de Debye, los portadores mayoritarios ya no se comportan de acuerdo con la distribución de los dopantes. En cambio, una medida del perfil de los gradientes de dopaje proporciona un perfil "efectivo" que se adapta mejor al perfil de la densidad de portadores mayoritarios.

En el contexto de los sólidos, la longitud de Debye también se denomina longitud de cribado de Thomas-Fermi .

Ver también

• Longitud de Bjerrum
• Efecto Debye-Falkenhagen
• Oscilación de plasma
• Efecto de blindaje
• Efecto de cribado

Referencias

1. Debye, P .; Hückel, E. (2019) [1923]. Traducido por Braus, Michael J. "Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen" [La teoría de los electrolitos. I. Depresión del punto de congelación y fenómeno relacionado]. Physikalische Zeitschrift . 24 (9): 185-206.
2. Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: transporte en dispositivos microfluídicos . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
3. Li, D. (2004). Electrocinética en Microfluídica . Prensa académica. ISBN 0-12-088444-5.
4. PC Clemmow y JP Dougherty (1969). Electrodinámica de partículas y plasmas . Redwood City CA: Addison-Wesley . págs. § 7.6.7, pág. 236 ff. ISBN 978-0-201-47986-7.
5. RA Robinson y RH Stokes (2002). Soluciones de electrolitos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover . pag. 76. ISBN 978-0-486-42225-1.
6. Ver Brydges, David C .; Martin, Ph. A. (1999). "Sistemas de Coulomb en baja densidad: una revisión". Revista de física estadística . 96 (6/5): 1163-1330. arXiv : cond-mat / 9904122 . Código bibliográfico : 1999JSP .... 96.1163B . doi : 10.1023 / A: 1004600603161 . S2CID 54979869 . 
7. IH Hutchinson Principios de diagnóstico de plasma ISBN 0-521-38583-0 
8. Kip Thorne (2012). "Capítulo 20: La cinética de partículas del plasma" (PDF) . Aplicaciones de la física clásica . Consultado el 7 de septiembre de 2017 .
9. Norma internacional ISO 13099-1, 2012, "Sistemas coloidales - Métodos para la determinación del potencial Zeta - Parte 1: Fenómenos electroacústicos y electrocinéticos"
10. Dukhin, AS; Goetz, PJ (2017). Caracterización de líquidos, nano y micropartículas y cuerpos porosos mediante Ultrasonido . Elsevier. ISBN 978-0-444-63908-0.
11. Russel, WB; Saville, DA; Schowalter, WR (1989). Dispersiones coloidales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-42600-6.
12. Israelachvili, J. (1985). Fuerzas intermoleculares y superficiales . Prensa académica. ISBN 0-12-375181-0.
13. Stern, Eric; Robin Wagner; Fred J. Sigworth; Ronald Breaker; Tarek M. Fahmy; Mark A. Reed (1 de noviembre de 2007). "Importancia de la longitud de la pantalla de Debye en sensores de transistores de efecto de campo de nanocables" . Nano Letras . 7 (11): 3405–3409. Código Bibliográfico : 2007NanoL ... 7.3405S . doi : 10.1021 / nl071792z . PMC 2713684 . PMID 17914853 .  
14. Guo, Lingjie; Effendi Leobandung; Stephen Y. Chou (199). "Una memoria semiconductora de óxido de metal de un solo electrón de silicio a temperatura ambiente con puerta flotante a nanoescala y canal ultra estrecho". Letras de Física Aplicada . 70 (7): 850. Código Bibliográfico : 1997ApPhL..70..850G . doi : 10.1063 / 1.118236 .
15. Tiwari, Sandip; Farhan Rana; Kevin Chan; Leathen Shi; Hussein Hanafi (1996). "Efectos de carga única y confinamiento en memorias nanocristalinas". Letras de Física Aplicada . 69 (9): 1232. Código bibliográfico : 1996ApPhL..69.1232T . doi : 10.1063 / 1.117421 .

Otras lecturas

• Goldston y Rutherford (1997). Introducción a la física del plasma . Filadelfia: Instituto de Publicaciones de Física .
• Lyklema (1993). Fundamentos de la ciencia de interfaces y coloides . Nueva York: Academic Press .